The LCM contains all distinct primes appearing in both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes are (2), (3), (5), and (17), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Count only distinct prime bases, not their powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाले सभी भिन्न अभाज्य शामिल होंगे। चरण 2: भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (17) हैं, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातें नहीं, केवल अलग अभाज्य आधार गिनें।
\(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), and \(770=2\times5\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2\times11=22\) and \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), so \(L\div H=105\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first check common primes and then all distinct primes. चरण 1: \(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), \(770=2\times5\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2\times11=22\) और \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), इसलिए \(L\div H=105\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी भिन्न अभाज्य देखें।
In division, subtract powers of the same base. चरण 1: \(H=2^4\times3^3\times5\) और \(L=2^7\times3^6\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{7-4}\times3^{6-3}\times5^{2-1}=2^3\times3^3\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
The powers of (3) are (5), (2), and (4), so the highest power is (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest power instead of adding powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (5), (2) और (4) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: घातों को जोड़ने के बजाय सबसे बड़ी घात चुनें।
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^3\times3^6\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (6), so (L) has (6) and (H) has (2).
Step 3
Exam Tip
Keep the higher-power and lower-power rules separate. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (6) हैं, इसलिए (L) में (6) और (H) में (2) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग रखें।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), and \(280=2^3\times5\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times5\times7=840\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest divisible number, find the LCM. चरण 1: शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), \(280=2^3\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times5\times7=840\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
The powers of (2) are (5), (7), and (4), so the highest power is (7).
Step 3
Exam Tip
In LCM, do not add powers; take the highest power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की सबसे बड़ी घात लेनी है। चरण 2: (2) की घातें (5), (7) और (4) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (7) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में घातें जोड़ते नहीं, बड़ी घात लेते हैं।
Subtracting (15) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), and \(88=2^3\times11\), so LCM \(=2^3\times5\times7\times11=3080\). Hence the number is (3080+15=3095).
Step 3
Exam Tip
Add the common remainder at the end. चरण 1: संख्या में से (15) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), \(88=2^3\times11\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times5\times7\times11=3080\) है। अतः संख्या (3080+15=3095) है। चरण 3: समान शेष को अंत में जोड़ें।
\(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\), and \(245=5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are (2), (3), (5), and \(7^2\), so LCM \(=2\times3\times5\times49=1470\).
Step 3
Exam Tip
Take the common highest power \(7^2\) only once. चरण 1: \(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\) और \(245=5\times7^2\) है। चरण 2: बड़ी घातें (2), (3), (5) और \(7^2\) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2\times3\times5\times49=1470\) है। चरण 3: समान बड़ी घात \(7^2\) को एक बार ही लें।
The second number has \(3^3\), so (b=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
For LCM, check the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात (6) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(3^3\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
The smallest number divisible by both is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^7\), \(3^4\), (5), and (11).
Step 3
Exam Tip
Include all required prime powers together. चरण 1: दोनों से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: बड़ी घातें \(2^7\), \(3^4\), (5) और (11) हैं। चरण 3: सभी जरूरी अभाज्य घातों को साथ लें।
\(132=2^2\times3\times11\) and \(220=2^2\times5\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) appears only in the second number as \(5^1\), so its power in the LCM is (1).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is included in the LCM. चरण 1: \(132=2^2\times3\times11\) और \(220=2^2\times5\times11\) है। चरण 2: (5) केवल दूसरी संख्या में \(5^1\) के रूप में है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
\(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\), and \(289=17^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (17) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\) और \(289=17^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (17) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1147).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1147) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
The smallest number divisible by both is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (3) and (5), so the higher power (5) is used.
Step 3
Exam Tip
For divisibility, choose the required highest power. चरण 1: दोनों से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: (3) की घातें (3) और (5) हैं, इसलिए बड़ी घात (5) ली जाएगी। चरण 3: विभाज्यता के लिए आवश्यक सबसे बड़ी घात चुनें।
When difference is asked, find the LCM correctly first. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{224\times336}{112}=672\) है। चरण 2: अंतर (672-112=560) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले लघुत्तम समापवर्त्य सही निकालें।
यदि \(2^8\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^6\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (4), so (L) has (4) and (H) has (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (4) हैं, इसलिए (L) में (4) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
Prime factorise: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), and (7), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Count distinct prime bases, not powers. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (7) होंगे, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातों को नहीं, अलग अभाज्य आधारों को गिनें।
The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^5\times3^4\times5^3=324000\).
Step 3
Exam Tip
Multiply the highest powers carefully. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^3=324000\) है। चरण 3: बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(60=2^2\times3\times5\), so LCM \(=2^2\times3^3\times5=540\).
Step 3
Exam Tip
For repeated-time questions, use LCM. चरण 1: साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The highest power of (3) must be (5), so (a=5); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
For LCM, identify the maximum power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की सबसे बड़ी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें।
In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (36), (54), and (90) is (540), so the number is (540-7=533).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the common difference and subtract it from the LCM. चरण 1: हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: (36), (54) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (540) है, इसलिए संख्या (540-7=533) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ।
HCF is \(2^3\times3^2\times5\), and LCM is \(2^6\times3^5\times5^2\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
In ratios, subtract exponents of the same base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^5\times5^2\times13\) होगा। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^3\times5\times13\) मिलता है। चरण 3: अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ।
LCM uses the highest power of every prime present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^5\), \(3^4\), (5), (7), and (11).
Step 3
Exam Tip
Include a prime even if it occurs in only one number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर उपस्थित अभाज्य की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\), \(3^4\), (5), (7) और (11) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी शामिल करें।
यदि (N) ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो \(2^5\times3^2\times7\) और \(2^3\times3^4\times5\) दोनों से विभाजित होती है, तथा (M) इन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है, तो \(\frac{N}{M}\) क्या होगा?
The smallest divisible number (N) is the LCM, and (M) is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(N=2^5\times3^4\times5\times7\) and \(M=2^3\times3^2\), so \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
While dividing, subtract powers of the same base. चरण 1: सबसे छोटी विभाज्य संख्या (N) लघुत्तम समापवर्त्य होगी और (M) महत्तम समापवर्तक होगा। चरण 2: \(N=2^5\times3^4\times5\times7\) और \(M=2^3\times3^2\), इसलिए \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\)। चरण 3: भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ।
In each case, the difference between divisor and remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by (48), (72), and (120).
Step 2
Why this answer is correct
Their LCM is (720), so the smallest number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
In such questions, spotting the common difference makes the calculation much easier. चरण 1: हर स्थिति में भाजक और शेष का अंतर (5) है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह (48), (72) और (120) से पूरी तरह विभाजित होगी। चरण 2: इनका लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (720-5=715) होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानना गणना को बहुत आसान बना देता है।
The LCM includes all distinct primes appearing in the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes are (2), (3), (5), and (13), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers; count only distinct prime bases. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाले सभी भिन्न अभाज्य शामिल होंगे। चरण 2: यहाँ भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (13) हैं, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातें गिननी नहीं हैं, केवल अलग अभाज्य आधार गिनने हैं।
\(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=3\times7=21\) and \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), so \(L\div H=60\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, find HCF and LCM by their separate rules. चरण 1: \(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\) है। चरण 2: \(H=3\times7=21\) और \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), इसलिए \(L\div H=60\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य अलग-अलग नियमों से निकालें।
In division, subtract exponents of the same base. चरण 1: \(H=2^4\times3^2\times5\) और \(L=2^6\times3^5\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{6-4}\times3^{5-2}\times5^{2-1}=2^2\times3^3\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
The powers of (3) are (4), (2), and (3), so the highest power is (4).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest power instead of adding the powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (4), (2) और (3) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (4) है। चरण 3: घातों को जोड़ने की बजाय सबसे बड़ी घात चुनें।
