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पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+2y=8) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+2y=8). Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखें: \(3x=24\), इसलिए \(x=8\) और बिंदु \((8,0)\) है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें: \(4y=24\), इसलिए \(y=6\) और बिंदु \((0,6)\) है। अतः विकल्प A सही है; विकल्प B में दोनों अवरोधों के मान गलत हैं, जबकि C और D में सही बिंदुओं का क्रम या पहचान बदल दी गई है। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए y=0 और y-अवरोध के लिए x=0 रखें। / To find the \(x\)-intercept, put \(y=0\): \(3x=24\), so \(x=8\) and the point is \((8,0)\). To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\): \(4y=24\), so \(y=6\) and the point is \((0,6)\). Therefore, option A is correct; option B gives incorrect values, while C and D misidentify or reverse the intercept points. Exam tip: set \(y=0\) for the x-intercept and \(x=0\) for the y-intercept.
( (5,-2) ) पर (5-2(-2)=9) और (2(5)+(-2)=8)। प्रतिच्छेद बिंदु को ( (x,y) ) क्रम में लिखें। / At ( (5,-2) ), (5-2(-2)=9) and (2(5)+(-2)=8). Write the intersection point in ( (x,y) ) order.
( (4,2) ) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु ही हल होता है। / Substituting ( (4,2) ) makes both equations true. In graphical method, the common point of both lines is the solution.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), इसलिए (x=6) और (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding both equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
प्रतिच्छेद-बिंदु वह बिंदु होता है जो दोनों रेखाओं पर स्थित होता है। (3, 2) रखने पर 2(3) − 2 = 4 और 3 + 2(2) = 7, इसलिए यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। अन्य विकल्पों में से कोई भी दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा में प्रतिच्छेद-बिंदु जाँचने के लिए उसके x और y मानों को दोनों समीकरणों में रखें। / The intersection point lies on both lines. Substituting (3, 2) gives 2(3) − 2 = 4 and 3 + 2(2) = 7, so it satisfies both equations. The other options do not satisfy both equations simultaneously. Exam tip: verify a graphical intersection point by substituting its coordinates into both equations.
A. \\((8,0)\\) और \\((0,6)\\)/\\((8,0)\\) and \\((0,6)\\)
Explanation
Simple Explanation
\\(x\\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \\(y=0\\) रखें: \\(3x=24\\), इसलिए \\(x=8\\) और बिंदु \\((8,0)\\) है। \\(y\\)-अवरोध के लिए \\(x=0\\) रखें: \\(4y=24\\), इसलिए \\(y=6\\) और बिंदु \\((0,6)\\) है। अतः क्रमशः सही युग्म \\((8,0)\\), \\((0,6)\\) है। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए \\(y=0\\) और y-अवरोध के लिए \\(x=0\\) रखें। / To find the \\(x\\)-intercept, put \\(y=0\\): \\(3x=24\\), so \\(x=8\\) and the point is \\((8,0)\\). To find the \\(y\\)-intercept, put \\(x=0\\): \\(4y=24\\), so \\(y=6\\) and the point is \\((0,6)\\). Therefore, the ordered pair in the stated sequence is \\((8,0)\\), \\((0,6)\\). Exam tip: set \\(y=0\\) for the x-intercept and \\(x=0\\) for the y-intercept.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना है: \(3(x+2y=7)\) से \(3x+6y=21\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होता है और रेखाएँ संपाती होती हैं। समांतर और भिन्न रेखाओं के लिए गुणांकों का अनुपात समान, पर नियतांकों का अनुपात अलग होता है। परीक्षा में जाँचने के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। / The second equation is exactly three times the first: multiplying \(x+2y=7\) by 3 gives \(3x+6y=21\). Hence both equations represent the same graph, so the lines are coincident. For parallel and distinct lines, the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) are equal but the ratio of the constants is different. Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the two lines are coincident.
( (2,2) ) दोनों समीकरणों में (6) देता है। जो बिंदु दोनों रेखाओं पर हो वही प्रतिच्छेद बिंदु है। / ( (2,2) ) gives (6) in both equations. The point lying on both lines is the intersection point.
बिंदु \((2,5)\) के लिए \(x=2\) और \(y=5\) रखने पर \(5x-2y=5(2)-2(5)=10-10=0\) मिलता है। इसलिए यह बिंदु रेखा पर स्थित है। उदाहरण के लिए, \((2,3)\) रखने पर मान \(10-6=4\) आता है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांकों को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / For the point \((2,5)\), substituting \(x=2\) and \(y=5\) gives \(5x-2y=5(2)-2(5)=10-10=0\). Therefore, the point lies on the line. For example, substituting \((2,3)\) gives \(10-6=4\), so it does not lie on the line. In an exam, quickly test a point by substituting its coordinates into the equation.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहली रेखा से \(y=2\) मिलता है। इसे दूसरी समीकरण में रखने पर \(3x+2=14\), अतः \(3x=12\) और \(x=4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((4,2)\) है। विकल्प A में \(x\) और \(y\) के निर्देशांक उलट गए हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु जाँचने के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखकर सत्यापित करें। / The intersection point must satisfy both equations. From the first line, \(y=2\). Substituting this into the second equation gives \(3x+2=14\), so \(3x=12\) and \(x=4\). Therefore, the intersection point is \((4,2)\). In option A, the x- and y-coordinates are interchanged. Exam tip: verify an intersection point by substituting both coordinates into both equations.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण से \(x=4\) मिलता है। इसे दूसरे समीकरण में रखने पर \(2(4)+y=11\), इसलिए \(y=3\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((4,3)\) है। विकल्प B में निर्देशांकों का क्रम बदल दिया गया है, इसलिए वह \(x=4\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / The intersection point must satisfy both equations. From the first equation, \(x=4\). Substituting this into the second equation gives \(2(4)+y=11\), so \(y=3\). Therefore, the intersection point is \((4,3)\). Option B reverses the coordinates and does not satisfy \(x=4\). Exam tip: Always substitute the proposed point into both equations to verify it.
बिंदु (3, 0) को दोनों समीकरणों में रखने पर 2(3) − 0 = 6 और 3 + 0 = 3 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों रेखाएँ (3, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं और यही ग्राफीय हल है। उदाहरण के लिए, (2, 1) दूसरे समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन पहले में 4 − 1 = 3 मिलता है, 6 नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु की जाँच हमेशा दोनों समीकरणों में करें। / Substituting (3, 0) into both equations gives 2(3) − 0 = 6 and 3 + 0 = 3. Therefore, the two lines intersect at (3, 0), which is the graphical solution. For example, (2, 1) satisfies the second equation, but in the first equation it gives 4 − 1 = 3, not 6. Exam tip: always verify the intersection point in both equations.
C. भिन्न समांतर रेखाएँ होंगी/They will be distinct parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर दोनों रेखाओं की ढाल समान, लेकिन उनके अवरोध अलग होते हैं। इसलिए वे भिन्न समांतर रेखाएँ होती हैं और उनमें कोई सामान्य हल नहीं होता; अतः युग्म असंगत कहलाता है। ध्यान रखें: तीनों अनुपात समान हों तो रेखाएँ संपाती होती हैं। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines have the same slope but different intercepts. Therefore, they are distinct parallel lines and have no common solution, so the pair is inconsistent. Exam tip: if all three ratios are equal, the lines are coincident.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (x+2y=6) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (x+2y=6). Therefore both lines are the same and have infinitely many solutions.
( (4,3) ) रखने पर (4(4)-3=13) नहीं है, इसलिए जाँच जरूरी है। सही हल ( \left\(\frac{18}{5},\frac{17}{5}\right\) ) है। / Substituting ( (4,3) ) gives (4(4)-3=13), so checking is necessary. The correct solution is ( \left\(\frac{18}{5},\frac{17}{5}\right\) ).
प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों का समान हल होता है। बिंदु (2, 3) रखने पर \(2(2)+3(3)=4+9=13\) और \(2+3=5\) प्राप्त होता है, इसलिए यह दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। अन्य विकल्पों में \(x+y=5\) तो है, लेकिन वे \(2x+3y=13\) को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा में प्रतिच्छेदन बिंदु जाँचने के लिए दोनों समीकरणों में निर्देशांक रखने की युक्ति अपनाएँ। / The intersection point is the common solution of both linear equations. Substituting (2, 3) gives \(2(2)+3(3)=4+9=13\) and \(2+3=5\), so this point lies on both lines. The other options satisfy \(x+y=5\), but not \(2x+3y=13\). Exam tip: verify a graphical intersection point by substituting its coordinates into both equations.
( (4,3) ) रखने पर (4+2(3)=10) और (2(4)-3=5)। ग्राफीय हल वही बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो। / Substituting ( (4,3) ) gives (4+2(3)=10) and (2(4)-3=5). The graphical solution is the point lying on both lines.
( (3,2) ) रखने पर (2(3)+3(2)=12) है, इसलिए यह भी सही नहीं है। सही हल ( \( \frac{21}{5},\frac{16}{5}\) ) होता है, अतः ऐसे विकल्पों में पुनः गणना जरूरी है। / Putting ( (3,2) ) gives (2(3)+3(2)=12), so it is not correct. The correct solution is ( \(\frac{21}{5},\frac{16}{5}\) ), so recalculation is needed in such options.
( (5,1) ) पर (5+1=6) और (5-1=4)। हल जाँचने के लिए दिए बिंदु को दोनों समीकरणों में रखें। / At ( (5,1) ), (5+1=6) and (5-1=4). To check a solution substitute the point in both equations.
\(x=0\) रखने पर \(4(0)-3y=12\), इसलिए \(-3y=12\) और \(y=-4\) मिलता है। अतः प्राप्त बिंदु \((0,-4)\) है। \((0,4)\) में ऋण चिह्न की गलती है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर मिलने वाला बिंदु हमेशा y-अक्ष पर स्थित होता है। / Substituting \(x=0\) gives \(4(0)-3y=12\), so \(-3y=12\) and \(y=-4\). Therefore, the point is \((0,-4)\). The option \((0,4)\) results from missing the negative sign. Exam tip: setting \(x=0\) gives the point where the line intersects the y-axis.
( (2,-1) ) रखने पर (2-2(-1)=4) और (2(2)-(-1)=5)। ऋण मान वाले बिंदुओं में चिह्न ध्यान से देखें। / Putting ( (2,-1) ) gives (2-2(-1)=4) and (2(2)-(-1)=5). Watch signs carefully with negative coordinates.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (2x+y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (2x+y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
( (3,2) ) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ग्राफीय विधि में यही प्रतिच्छेद बिंदु हल होता है। / ( (3,2) ) satisfies both equations. In graphical method this intersection point is the solution.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। \((6,4)\) रखने पर \(2(6)+4=16\) और \(6+4=10\), इसलिए यही ग्राफीय हल है। उदाहरण के लिए, \((5,5)\) दूसरे समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन पहले को नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु जाँचने के लिए उसके निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखकर सत्यापन करें। / The point of intersection must satisfy both linear equations simultaneously. Substituting \((6,4)\) gives \(2(6)+4=16\) and \(6+4=10\), so it is the graphical solution. For example, \((5,5)\) satisfies the second equation but not the first. Exam tip: verify a proposed intersection point by substituting its coordinates into both equations.
दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। घटाने पर \((x+3y)-(x+y)=15-7\), इसलिए \(2y=8\) और \(y=4\)। तब \(x+y=7\) से \(x=3\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,4)\) है। उदाहरण के लिए, निकट विकल्प \((4,3)\) दूसरे समीकरण को तो संतुष्ट करता है, लेकिन पहले को नहीं। परीक्षा टिप: ग्राफीय हल हमेशा दोनों रेखाओं का साझा बिंदु होता है। / The coordinates of the intersection point must satisfy both equations. Subtracting the second equation from the first gives \((x+3y)-(x+y)=15-7\), so \(2y=8\) and \(y=4\). Using \(x+y=7\), we get \(x=3\). Therefore, the intersection point is \((3,4)\). For example, the close distractor \((4,3)\) satisfies the second equation but not the first. Exam tip: The graphical solution is the common point of both lines.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
C. जब दोनों रेखाएँ भिन्न और समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
ग्राफीय विधि में हल दोनों रेखाओं के सामान्य बिंदु से मिलता है। भिन्न समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई सामान्य बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक हल होता है, जबकि संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न समांतर रेखाएँ असंगत युग्म को दर्शाती हैं। / In the graphical method, a solution is represented by a common point of the two lines. Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair has no solution. Lines intersecting at one point give one solution, whereas coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: distinct parallel lines represent an inconsistent pair.
C. जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटें/When lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
ठीक एक हल तब मिलता है जब दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं। वही बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। / Exactly one solution is obtained when both lines intersect at one point. That point is the common solution of both equations.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर x = 5 प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में रखने पर 5 + 4y = 17, इसलिए y = 3। अतः ग्राफीय हल (5, 3) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी विकल्प को दोनों समीकरणों में रखकर तुरंत जाँच की जा सकती है; (3, 5) पहले समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। / The intersection point must satisfy both equations. Subtracting the first equation from the second gives x = 5. Substituting this into the first equation, 5 + 4y = 17, so y = 3. Therefore, the graphical solution is (5, 3). Exam tip: Substitute each option into both equations for a quick check; (3, 5) does not satisfy the first equation.
