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बिंदु \((4,2)\) को दोनों समीकरणों में जाँचने पर \(4+2(2)=8\) और \(2(4)+2=10\) प्राप्त होता है। इसलिए यह दोनों रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु और ग्राफ पर उनका प्रतिच्छेद-बिंदु है। निकट विकल्प \((3,2)\) पहले समीकरण को संतुष्ट नहीं करता, क्योंकि \(3+2(2)=7\)। परीक्षा में प्रतिच्छेद-बिंदु की पुष्टि करने के लिए उसके निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखें। / Substituting the point \((4,2)\) into both equations gives \(4+2(2)=8\) and \(2(4)+2=10\). Therefore, \((4,2)\) is the common point and hence the graphical intersection of the two lines. The nearby option \((3,2)\) is incorrect because it gives \(3+2(2)=7\), not 8, in the first equation. Exam tip: verify an intersection point in both equations.
समीकरण 5x + y = 26 में y = 1 रखने पर 5x + 1 = 26 मिलता है। अतः 5x = 25 और x = 5। इसलिए प्राप्त क्रमित युग्म (5, 1) है। विकल्प B में x और y के मान उलट दिए गए हैं। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को मूल समीकरण में रखने की आदत रखें। / Substituting y = 1 in 5x + y = 26 gives 5x + 1 = 26, so 5x = 25 and x = 5. Therefore, the ordered pair is (5, 1). In option B, the x- and y-coordinates are interchanged. As an exam tip, verify a point by substituting both coordinates into the original equation.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
निर्देशांक बिंदु (x, y) में पहला मान x-निर्देशांक और दूसरा मान y-निर्देशांक होता है। इसलिए (7, 13) में y = 13 है। विकल्प 7 x का मान है, y का नहीं। परीक्षा में याद रखें: किसी बिंदु (x, y) का दूसरा निर्देशांक y होता है। / In an ordered pair (x, y), the first coordinate is the x-coordinate and the second coordinate is the y-coordinate. Therefore, in (7, 13), y = 13. The value 7 is the x-coordinate, not the y-coordinate. Exam tip: the second coordinate of (x, y) always gives the value of y.
बिंदु (3, 7) के लिए x = 3 और y = 7 रखने पर 3x − y = 3(3) − 7 = 9 − 7 = 2 प्राप्त होता है। इसलिए यह बिंदु रेखा पर स्थित है। अन्य बिंदु समीकरण को संतुष्ट नहीं करते; उदाहरण के लिए (1, 3) के लिए 3(1) − 3 = 0 होता है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके x और y मान सीधे समीकरण में रखें। / For the point (3, 7), substituting x = 3 and y = 7 gives 3x − y = 3(3) − 7 = 9 − 7 = 2. Therefore, the point lies on the line. The other points do not satisfy the equation; for example, (1, 3) gives 3(1) − 3 = 0. In an exam, test a point by directly substituting its coordinates into the equation.
पहले समीकरण \(3x+3y=24\) के प्रत्येक पद को 3 से भाग देने पर \(x+y=8\) प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और उनके अनंत समाधानों का एक ही समुच्चय होगा। परीक्षा-युक्ति: यदि एक समीकरण दूसरे का अशून्य नियत गुणज हो, तो दोनों रेखाएँ संपाती अर्थात् एक ही रेखा होती हैं। / Dividing every term of the first equation, \(3x+3y=24\), by 3 gives \(x+y=8\), which is the second equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Exam tip: If one linear equation is a non-zero constant multiple of the other, their graphs are coincident, or the same line.
दो रेखाओं का केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद होना बताता है कि युग्म का एक अद्वितीय हल है। इसलिए यह युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। इसके विपरीत, समानांतर रेखाएँ असंगत होती हैं और संपाती रेखाएँ संगत एवं आश्रित होती हैं। परीक्षा में याद रखें: एक प्रतिच्छेद बिंदु = एक अद्वितीय हल = संगत एवं स्वतंत्र युग्म। / When two lines intersect at exactly one point, the pair has one unique solution. Therefore, it is called a consistent and independent pair. In contrast, parallel lines form an inconsistent pair, while coincident lines form a consistent and dependent pair. Exam tip: one intersection point means one unique solution and hence a consistent, independent pair.
भिन्न समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता और रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। इसके विपरीत, प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक हल और संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में याद रखें: भिन्न समांतर रेखाएँ असंगत युग्म को दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of linear equations has no solution. In contrast, intersecting lines give one solution, while coincident lines give infinitely many solutions. Exam tip: distinct parallel lines represent an inconsistent pair of equations.
पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर x = 4 प्राप्त होता है। इसे x + y = 9 में रखने पर 4 + y = 9, इसलिए y = 5। अतः प्रतिच्छेद बिंदु (4, 5) है। विकल्प (3, 6) में दूसरा समीकरण तो संतुष्ट होता है, लेकिन 2x + y = 12, 13 नहीं। परीक्षा में उत्तर जाँचने के लिए प्राप्त बिंदु को दोनों समीकरणों में अवश्य रखें। / Subtracting the second equation from the first gives x = 4. Substituting this in x + y = 9 gives 4 + y = 9, so y = 5. Therefore, the point of intersection is (4, 5). The distractor (3, 6) satisfies the second equation, but 2x + y = 12, not 13. In an exam, verify the ordered pair in both equations.
y = 0 रखने पर 6x + 0 = 36, इसलिए x = 6 मिलता है। अतः प्राप्त बिंदु (6, 0) है, जो इस रेखा का x-अवरोध है। विकल्प (36, 0) में x का मान निकालने की प्रक्रिया पूरी नहीं की गई है। परीक्षा में y = 0 रखने पर मिलने वाले बिंदु को x-अवरोध याद रखें। / Substituting y = 0 gives 6x + 0 = 36, so x = 6. Therefore, the point is (6, 0), which is the x-intercept of the line. The point (36, 0) is incorrect because 36 is not the value of x after solving the equation. In exams, remember that setting y = 0 gives the x-intercept.
A. (x)-अक्ष के समांतर रेखा/Line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=8) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदल सकता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=8), (y) is fixed and (x) can vary. Hence, it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
समीकरण में \(x=3\) रखने पर \(y=4(3)-2=12-2=10\) मिलता है। इसलिए संबंधित क्रमित युग्म \((x,y)=(3,10)\) है। विकल्प B और D में \(x\) तथा \(y\) के निर्देशांक उलट दिए गए हैं, जबकि विकल्प A में गणना की त्रुटि है। परीक्षा में याद रखें कि क्रमित युग्म में पहला निर्देशांक \(x\) और दूसरा \(y\) होता है। / Substituting \(x=3\) into the equation gives \(y=4(3)-2=12-2=10\). Therefore, the corresponding ordered pair is \((x,y)=(3,10)\). Options B and D interchange the \(x\)- and \(y\)-coordinates, while option A results from an arithmetic error. Exam tip: in an ordered pair, the first coordinate is \(x\) and the second is \(y\).
(x=2) रखने पर (y=2+5=7), इसलिए ( (2,7) ) सही है। रेखा पर बिंदु जाँचने के लिए मान रखें। / Putting (x=2) gives (y=2+5=7), so ( (2,7) ) is correct. Substitute values to check a point on a line.
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसी रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (4) times the first, so both are the same line. Such lines have infinitely many solutions.
पूरे समीकरण को (4) से भाग देने पर (2x+y=5) मिलता है। सरल रूप से रेखाओं की तुलना आसान होती है। / Dividing the whole equation by (4) gives (2x+y=5). The simplified form makes line comparison easier.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. So the lines are parallel and have no solution.
(y)-अवरोध के लिए (x=0), इसलिए (y=18)। (y)-अक्ष पर हर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, (x=0), so (y=18). Every point on the (y)-axis has (x)-coordinate (0).
दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु ही दोनों रैखिक समीकरणों का साझा हल होता है। इसलिए बिंदु (4, 6) से x = 4 और y = 6 प्राप्त होते हैं। विकल्प B में निर्देशांकों का क्रम उलट दिया गया है। परीक्षा में ordered pair के क्रम (x, y) को हमेशा ध्यान रखें। / The point where two lines intersect is the common solution of both linear equations. Therefore, the point (4, 6) gives x = 4 and y = 6. Option B reverses the order of the coordinates. In an exam, remember to write an ordered pair in the order (x, y).
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
C. जब दोनों रेखाएँ अलग-अलग समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, जबकि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक अद्वितीय हल होता है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में समान ढलान और अलग-अलग अवरोध वाली रेखाएँ no solution दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of equations has no solution. Coincident lines have infinitely many solutions, while intersecting lines have one unique solution. Exam tip: lines with the same slope but different intercepts represent no solution.
C. जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटें/When lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
ठीक एक हल तब मिलता है जब दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं। यही बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल है। / Exactly one solution is obtained when both lines intersect at one point. That point is the common solution of both equations.
बिंदु \((3,2)\) के लिए \(x=3\) और \(y=2\) रखने पर \(2x-3y=2(3)-3(2)=6-6=0\) प्राप्त होता है। इसलिए यह बिंदु रेखा पर स्थित है। उदाहरण के लिए, \((2,1)\) रखने पर मान \(4-3=1\) आता है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके निर्देशांकों को सीधे समीकरण में रखें। / For the point \((3,2)\), substitute \(x=3\) and \(y=2\): \(2x-3y=2(3)-3(2)=6-6=0\). Hence, the point lies on the line. For example, substituting \((2,1)\) gives \(4-3=1\), so it does not lie on the line. In an exam, the quickest method is to substitute each point into the equation.
दोनों समीकरणों को घटाने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। इसे \(x+3y=10\) में रखने पर \(4+3y=10\), इसलिए \(y=2\)। अतः रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((4,2)\) है। विकल्प \((2,4)\) में पहला समीकरण तो संतुष्ट होता है, लेकिन \(2(2)+3(4)=16\neq14\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में बिंदु जाँचने के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में अवश्य रखें। / Subtracting the first equation from the second gives \(x=4\). Substituting this into \(x+3y=10\) gives \(4+3y=10\), so \(y=2\). Therefore, the lines intersect at \((4,2)\). The distractor \((2,4)\) satisfies the first equation but gives \(2(2)+3(4)=16\neq14\), so it is not the common solution. In an exam, verify an intersection point in both equations.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
किसी क्रमित युग्म (x, y) में पहला निर्देशांक x और दूसरा निर्देशांक y होता है। इसलिए (3, 10) में y का मान 10 है। विकल्प 3, x का मान दर्शाता है, y का नहीं। परीक्षा में प्रतिच्छेद बिंदु पढ़ते समय पहले निर्देशांक को x और दूसरे को y के रूप में पहचानें। / In an ordered pair (x, y), the first coordinate represents x and the second coordinate represents y. Therefore, in (3, 10), the value of y is 10. Option 3 represents the value of x, not y. In an exam, remember that the coordinates of an intersection point are written in the order (x, y).
किसी बिंदु के रेखा पर स्थित होने के लिए उसके निर्देशांकों को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। विकल्प C के लिए \(2(3)-5=6-5=1\), इसलिए \((3,5)\) सही बिंदु है। उदाहरण के लिए, निकटतम दिखने वाला विकल्प D रखने पर \(2(4)-6=2\), जो 1 के बराबर नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे समीकरण में रखें। / A point lies on a line if its coordinates satisfy the equation of the line. For option C, \(2(3)-5=6-5=1\), so \((3,5)\) lies on the line. For example, option D gives \(2(4)-6=2\), not 1, so it is incorrect. Exam tip: Substitute the given \(x\)- and \(y\)-coordinates directly into the equation to test a point.
पहले समीकरण \(2x+2y=18\) के दोनों पक्षों को \(2\) से भाग देने पर \(x+y=9\) प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और इनके अनंत हल होंगे। परीक्षा में याद रखें: समान रेखाओं के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। / Dividing both sides of the first equation, \(2x+2y=18\), by \(2\) gives \(x+y=9\), which is exactly the second equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. Exam tip: equations represent the same line when one is a non-zero multiple of the other.
दो अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। ग्राफ पर उभयनिष्ठ बिंदु ही युग्म के हल को दर्शाता है, इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता और यह असंगत युग्म कहलाता है। परीक्षा में याद रखें: प्रतिच्छेदी रेखाएँ—एक हल, संपाती रेखाएँ—अनंत हल, तथा अलग-अलग समांतर रेखाएँ—कोई हल नहीं। / Two distinct parallel lines have no common point. Since a common point on the graph represents a solution of the pair, such a pair has no solution and is called an inconsistent pair. Exam tip: intersecting lines give one solution, coincident lines give infinitely many solutions, and distinct parallel lines give no solution.
दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने पर, पहले समीकरण में से दूसरे को घटाने पर \(x=3\) मिलता है। अब \(x+y=8\) में \(x=3\) रखने पर \(y=5\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((3,5)\) है। जाँच: \(2(3)+5=11\) और \(3+5=8\)। ग्राफ़ीय विधि में दोनों रेखाओं का साझा बिंदु ही युग्म का हल होता है। / Subtracting the second equation from the first gives \(x=3\). Substituting this into \(x+y=8\) gives \(y=5\). Therefore, the intersection point is \((3,5)\). Check: \(2(3)+5=11\) and \(3+5=8\). In the graphical method, the common point of the two lines represents the solution of the pair. Exam tip: verify both coordinates in both equations.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2x=16\), इसलिए \(x=8\)। अब \(x+y=12\) में रखने पर \(y=4\)। अतः प्रतिच्छेदन बिंदु \((8,4)\) है। विकल्प B में \(x-y=4-8=-4\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा युक्ति: प्रतिच्छेदन बिंदु की जाँच के लिए उसके निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखें। / Adding the two equations gives \(2x=16\), so \(x=8\). Substituting this into \(x+y=12\) gives \(y=4\). Therefore, the point of intersection is \((8,4)\). In option B, \(x-y=4-8=-4\), so it does not satisfy the second equation. Exam tip: Verify a common point by substituting its coordinates into both equations.
