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रेखा \(x=9\) पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 9 होता है, जबकि रेखा \(y=3\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 3 होता है। इसलिए दोनों रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु \((9,3)\) है। विकल्प A में निर्देशांकों का क्रम उलट गया है। परीक्षा में याद रखें: बिंदु \((x,y)\) में पहला मान x-निर्देशांक और दूसरा मान y-निर्देशांक होता है। / Every point on the line \(x=9\) has x-coordinate 9, and every point on the line \(y=3\) has y-coordinate 3. Therefore, their common point is \((9,3)\). In option A, the coordinates are reversed. Exam tip: in \((x,y)\), the first value is the x-coordinate and the second value is the y-coordinate.
A. (x)-अक्ष के समांतर रेखा/Line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=6) में (y) स्थिर है और (x) बदल सकता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=6), (y) is fixed and (x) can vary. Hence, it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
\(x=2\) रखने पर \(y=3(2)-1=6-1=5\) प्राप्त होता है। इसलिए बिंदु \((x,y)=(2,5)\) होगा। विकल्प A में \(y=3\) लिया गया है, जो सही मान नहीं है। परीक्षा में बिंदु लिखते समय क्रम \((x,y)\) अवश्य रखें। / Substituting \(x=2\) gives \(y=3(2)-1=6-1=5\). Therefore, the point is \((x,y)=(2,5)\). In option A, the value of \(y\) is incorrectly taken as 3. In the exam, remember to write coordinates in the order \((x,y)\).
(x=3) रखने पर (y=3+4=7), इसलिए ( (3,7) ) सही है। रेखा पर बिंदु जाँचने के लिए (x) का मान रखें। / Putting (x=3) gives (y=3+4=7), so ( (3,7) ) is correct. To check a point on a line, substitute the value of (x).
ग्राफिकल विधि में दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु ही दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। यहाँ प्रतिच्छेद बिंदु \((6,2)\) है, इसलिए \(x=6\) और \(y=2\), अर्थात विकल्प D सही है। विकल्प A में निर्देशांकों का क्रम उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: बिंदु \((x,y)\) में पहला निर्देशांक हमेशा \(x\) और दूसरा \(y\) होता है। / In the graphical method, the point of intersection of two lines is the common solution of both equations. Since the intersection point is \((6,2)\), we have \(x=6\) and \(y=2\), so option D is correct. Option A incorrectly reverses the coordinates. Exam tip: In \((x,y)\), the first coordinate is always \(x\) and the second is \(y\).
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so both are the same line. In this case, there are infinitely many solutions.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Hence, the lines are parallel and have no solution.
\(x\)-अवरोध वह बिंदु होता है जहाँ रेखा \(x\)-अक्ष को काटती है, इसलिए वहाँ \(y=0\) होता है। समीकरण में रखने पर \(4x=20\), अतः \(x=5\)। इसलिए \(x\)-अवरोध \((5,0)\) है। ध्यान रखें कि \((0,20)\) \(y\)-अवरोध है, क्योंकि वहाँ \(x=0\) होता है। / The \(x\)-intercept is the point where the line crosses the \(x\)-axis, so \(y=0\). Substituting this into the equation gives \(4x=20\), hence \(x=5\). Therefore, the \(x\)-intercept is \((5,0)\). Remember that \((0,20)\) is the \(y\)-intercept because \(x=0\) there.
y-अवरोधन ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब \(3(0)+y=15\), इसलिए y=15 और बिंदु \((0,15)\) मिलता है। विकल्प A x-अवरोधन है, क्योंकि उसमें y=0 होता है। परीक्षा में याद रखें: y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। / To find the y-intercept, put x=0 in the equation. Then \(3(0)+y=15\), so y=15 and the point is \((0,15)\). Option A is the x-intercept because it is obtained by putting y=0. Exam tip: every point on the y-axis has x-coordinate 0.
हल उस सामान्य बिंदु के निर्देशांक होते हैं जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं। परीक्षा में बिंदु को हमेशा ( (x,y) ) क्रम में लिखें। / The solution is the coordinates of the common point where both lines meet. In exams, always write the point in ( (x,y) ) order.
समीकरण में \\(y=0\\) रखने पर \\(3x+2(0)=12\\), अतः \\(3x=12\\) और \\(x=4\\) प्राप्त होता है। इसलिए बिंदु \\((4,0)\\) है। विकल्प B में \\(x=0\\) रखने पर मिलने वाला y-अवरोध है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें। / Putting \\(y=0\\) in the equation gives \\(3x+2(0)=12\\), so \\(3x=12\\) and \\(x=4\\). Therefore, the point is \\((4,0)\\). Option B is obtained by putting \\(x=0\\), so it represents the y-intercept instead. Exam tip: To find the x-intercept, set \\(y=0\\).
\(x=0\) रखने पर \(2(0)+3y=12\), अर्थात् \(3y=12\), इसलिए \(y=4\)। अतः प्राप्त बिंदु \((0,4)\) है, जो इस रेखा का \(y\)-अवरोध भी है। विकल्प B में \(x\) और \(y\) के मान बदल जाते हैं, जबकि C और D समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा में \(x=0\) रखने पर मिलने वाला बिंदु सीधे \(y\)-अवरोध के रूप में पहचानें। / Substituting \(x=0\) gives \(2(0)+3y=12\), so \(3y=12\) and \(y=4\). Therefore, the point is \((0,4)\), which is also the \(y\)-intercept of the line. In option B, the values of \(x\) and \(y\) are interchanged, while C and D do not satisfy the equation. Exam tip: setting \(x=0\) gives the point where the line meets the \(y\)-axis.
\(y=1\) रखने पर \(x-1=3\), इसलिए \(x=4\) प्राप्त होता है। अतः बिंदु \((x,y)=(4,1)\) है। विकल्प B में निर्देशांक का क्रम उलट गया है, जबकि ग्राफ में क्रमित युग्म हमेशा \((x,y)\) लिखा जाता है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) का मान निकालें और फिर बिंदु को \((x,y)\) के रूप में लिखें। / Substituting \(y=1\) gives \(x-1=3\), so \(x=4\). Therefore, the point is \((x,y)=(4,1)\). Option B reverses the coordinate order; a point is written as \((x,y)\), not \((y,x)\). Exam tip: find the missing coordinate first, then write the ordered pair as \((x,y)\).
x = 5 को समीकरण में रखने पर 5 + y = 8 मिलता है, इसलिए y = 3। अतः प्राप्त बिंदु (5, 3) है। विकल्प B में x और y के मानों का क्रम बदल गया है, जबकि बिंदु हमेशा (x, y) क्रम में लिखा जाता है। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को समीकरण में रखकर सत्यापित करें। / Substituting x = 5 in the equation gives 5 + y = 8, so y = 3. Therefore, the required point is (5, 3). In option B, the x- and y-values are written in the reverse order, whereas a point is always written as (x, y). Exam tip: Verify a point by substituting both coordinates into the equation.
A. दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद के निर्देशांक से/From the coordinates of intersection
Explanation
Simple Explanation
हल प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों से मिलता है। केवल अवरोध तब पर्याप्त नहीं जब दूसरी रेखा भी दी गई हो। / The solution is obtained from the coordinates of the intersection point. Intercepts alone are not enough when a second line is given.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। बिंदु (2, 0) रखने पर x + y = 2 + 0 = 2 और x − y = 2 − 0 = 2 प्राप्त होता है, इसलिए यही सही बिंदु है। (0, 2) पहले समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन दूसरे को नहीं। परीक्षा में जाँचने के लिए विकल्प के निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखें। / The point of intersection must satisfy both equations simultaneously. For (2, 0), x + y = 2 + 0 = 2 and x − y = 2 − 0 = 2, so it is the correct point. The point (0, 2) satisfies the first equation but not the second. Exam tip: substitute the coordinates of each option into both equations.
समीकरण \(y=1\) और \(y=4\) दोनों क्षैतिज रेखाओं को दर्शाते हैं। उनके \(y\)-अवरोध अलग-अलग हैं, इसलिए वे कभी एक-दूसरे को नहीं काटेंगी और समांतर होंगी। वे संपाती नहीं हैं, क्योंकि संपाती रेखाओं का प्रत्येक बिंदु समान होता है। परीक्षा में याद रखें: \(y=c\) का ग्राफ क्षैतिज रेखा होता है। / The equations \(y=1\) and \(y=4\) represent horizontal lines. Since their \(y\)-intercepts are different, they never meet and are parallel. They are not coincident because coincident lines have all points in common. Exam tip: the graph of \(y=c\) is always a horizontal line.
समीकरण \(y=0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। ऐसे सभी बिंदु x-अक्ष पर स्थित होते हैं, इसलिए यह x-अक्ष का समीकरण है। y-अक्ष के लिए \(x=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: क्षैतिज रेखाओं के लिए y का मान स्थिर होता है और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए x का मान स्थिर होता है। / The equation \(y=0\) means that the y-coordinate of every point is zero. All such points lie on the x-axis, so this is the equation of the x-axis. The y-axis is represented by \(x=0\). Exam tip: a horizontal line has a constant y-value, while a vertical line has a constant x-value.
समीकरण \(x=0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य है, जबकि \(y\)-निर्देशांक कोई भी मान हो सकता है। ऐसे सभी बिंदु \(y\)-अक्ष पर स्थित होते हैं, इसलिए सही उत्तर \(y\)-अक्ष है। \(x\)-अक्ष के लिए \(y=0\) होता है—यह एक उपयोगी परीक्षा-स्मरण युक्ति है। / The equation \(x=0\) means that the \(x\)-coordinate of every point is zero, while the \(y\)-coordinate may have any value. All such points lie on the \(y\)-axis, so the correct answer is the \(y\)-axis. The \(x\)-axis is represented by \(y=0\), which is a useful exam tip to remember.
किसी क्रमित युग्म (x, y) में पहला निर्देशांक x और दूसरा निर्देशांक y होता है। इसलिए बिंदु (5, 2) का y-निर्देशांक 2 है। विकल्प 5 x-निर्देशांक है, y-निर्देशांक नहीं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में निर्देशांकों का क्रम हमेशा (x, y) पढ़ें। / In an ordered pair (x, y), the first coordinate is x and the second coordinate is y. Therefore, the y-coordinate of (5, 2) is 2. Option 5 is the x-coordinate, not the y-coordinate. Exam tip: Always read the coordinates in the order (x, y).
किसी क्रमित युग्म \((x, y)\) में पहला मान \(x\)-निर्देशांक और दूसरा मान \(y\)-निर्देशांक होता है। इसलिए \((1, 2)\) में \(x=1\) है। विकल्प 2 वास्तव में \(y\)-निर्देशांक है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में निर्देशांकों का क्रम हमेशा \((x, y)\) होता है। / In an ordered pair \((x, y)\), the first value is the \(x\)-coordinate and the second value is the \(y\)-coordinate. Therefore, for \((1, 2)\), \(x=1\). Option 2 is the \(y\)-coordinate, not the \(x\)-coordinate. Exam tip: Always read coordinates in the order \((x, y)\).
बिंदु \((4,2)\) के निर्देशांक समीकरण में रखने पर \(x-2y=4-2(2)=4-4=0\) प्राप्त होता है। इसलिए यह बिंदु रेखा पर स्थित है। अन्य विकल्पों के लिए समीकरण का मान शून्य नहीं आता। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मानों को सीधे समीकरण में रखें। / Substituting the coordinates of \((4,2)\) gives \(x-2y=4-2(2)=4-4=0\). Therefore, the point lies on the line. The other points do not make the left-hand side equal to zero. In such questions, verify a point by substituting its coordinates directly into the equation.
समीकरण \(2x+y=4\) में \(x=0\) रखने पर \(y=4\), इसलिए बिंदु \((0,4)\) मिलता है। इसी प्रकार \(y=0\) रखने पर \(2x=4\), अर्थात् \(x=2\), इसलिए \((2,0)\) दूसरा बिंदु है। विकल्प B के बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते; जैसे \((4,0)\) रखने पर बायाँ पक्ष 8 हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: रेखा के दो सरल बिंदु पाने के लिए क्रमशः \(x=0\) और \(y=0\) रखें। / Putting \(x=0\) in \(2x+y=4\) gives \(y=4\), so \((0,4)\) lies on the line. Putting \(y=0\) gives \(2x=4\), hence \(x=2\), so \((2,0)\) is the second point. The points in option B do not satisfy the equation; for example, substituting \((4,0)\) gives a left side of 8. Exam tip: To obtain two convenient points, set \(x=0\) and \(y=0\) successively.
x-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखें, जिससे \(x=6\) और बिंदु \((6,0)\) मिलता है। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=6\) और बिंदु \((0,6)\) मिलता है। इसलिए A सही है। विकल्प B में दोनों निर्देशांक 3 हैं, लेकिन \(3+3=6\) होने के बावजूद वे क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष के अवरोध नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए \(y=0\) और y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / To find the x-intercept, put \(y=0\), giving \(x=6\) and the point \((6,0)\). To find the y-intercept, put \(x=0\), giving \(y=6\) and the point \((0,6)\). Hence, A is correct. In option B, both coordinates are 3; although \(3+3=6\), those points are not on the respective axes. Exam tip: set \(y=0\) for the x-intercept and \(x=0\) for the y-intercept.
दोनों समीकरणों को घटाने पर \\(x=2\\) प्राप्त होता है। इसे \\(x+y=5\\) में रखने पर \\(y=3\\) मिलता है। इसलिए दोनों ग्राफों का प्रतिच्छेद बिंदु \\(2,3\\) है। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \\(2(3)+2=8\\), जो 7 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए उत्तर को दोनों में जाँचें। / Subtracting the second equation from the first gives \\(x=2\\). Substituting this into \\(x+y=5\\) gives \\(y=3\\). Therefore, the intersection point is \\(2,3\\). For example, option B gives \\(2(3)+2=8\\), so it does not satisfy the first equation. Exam tip: verify a graphical-solution point in both equations.
युग्म \((7, 3)\) रखने पर \(x+y=7+3=10\) और \(x-y=7-3=4\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं और ग्राफ पर संबंधित दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((7,3)\) होगा। उदाहरण के लिए, \((6,4)\) में पहला समीकरण तो संतुष्ट होता है, लेकिन \(6-4=2\), इसलिए वह हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी क्रमित युग्म को दोनों समीकरणों में रखकर जाँचें। / For the ordered pair \((7, 3)\), \(x+y=7+3=10\) and \(x-y=7-3=4\). Thus, it satisfies both equations, so \((7,3)\) is the intersection point of the two lines on the graph. For example, \((6,4)\) satisfies the first equation but \(6-4=2\), not 4. Exam tip: substitute the coordinates into both equations to verify a solution.
संपाती रेखाएँ पूरी तरह एक-दूसरे पर स्थित होती हैं, इसलिए उनके प्रत्येक सामान्य बिंदु से समीकरणों का एक हल प्राप्त होता है। ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं और इसे संगत एवं आश्रित युग्म कहते हैं। विकल्प C गलत है, क्योंकि स्वतंत्र युग्म की रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। परीक्षा-युक्ति: संपाती रेखाएँ ⇒ अनंत हल ⇒ संगत एवं आश्रित युग्म। / Coincident lines lie exactly on top of each other, so every point on the common line is a solution of both equations. Hence, the pair has infinitely many solutions and is called consistent and dependent. Option C is incorrect because an independent pair has lines that intersect at exactly one point. Exam tip: coincident lines imply infinitely many solutions and a consistent dependent pair.
दो रेखाओं का केवल एक साझा बिंदु होने का अर्थ है कि समीकरणों का केवल एक अद्वितीय हल है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। असंगत युग्म की रेखाएँ समानांतर होती हैं और उनका कोई हल नहीं होता, जबकि संगत और आश्रित युग्म में दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं तथा अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: एक प्रतिच्छेदी बिंदु—एक अद्वितीय हल—संगत एवं स्वतंत्र युग्म। / A single common point means that the pair has exactly one unique solution. Therefore, it is consistent and independent. In an inconsistent pair, the lines are parallel and have no solution, whereas a consistent dependent pair has coincident lines and infinitely many solutions. Exam tip: one point of intersection means one unique solution, so the pair is consistent and independent.
दो रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने का अर्थ है कि वे समांतर और भिन्न हैं, इसलिए समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है। ऐसा युग्म असंगत कहलाता है। इसके विपरीत, आश्रित युग्म में दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हो, तो युग्म असंगत होता है। / If two lines have no common point, they are distinct parallel lines, so the pair of equations has no solution. Such a pair is called inconsistent. In contrast, a dependent pair represents coincident lines and has infinitely many solutions. Exam tip: No point of intersection on the graph means an inconsistent pair.
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं, इसलिए (y=3)। ग्राफ में (y)-अक्ष पर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=3). On the (y)-axis, the (x)-coordinate is (0).
