Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
x = 2 रखने पर 3(2) + y = 9, अर्थात 6 + y = 9। इसलिए y = 9 − 6 = 3 और संबंधित बिंदु (2, 3) होगा। विकल्प 6 केवल 3x का मान है, y का नहीं। परीक्षा-युक्ति: सारणी बनाते समय पहले x का मान रखें और फिर y निकालें। / Substituting x = 2 gives 3(2) + y = 9, so 6 + y = 9. Therefore, y = 9 − 6 = 3, and the corresponding point is (2, 3). The value 6 is only the value of 3x, not y. Exam tip: When preparing a table for graphing, substitute the chosen x-value first and then calculate y.
दिए गए समीकरण में \(x=2\) रखने पर \(2+y=7\) मिलता है। अतः \(y=7-2=5\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प 7 समीकरण का दायाँ पक्ष है, \(y\) का मान नहीं। ग्राफ बनाने के लिए प्राप्त बिंदु \((2,5)\) को रेखा पर अंकित किया जा सकता है। / Substituting \(x=2\) in the equation gives \(2+y=7\). Therefore, \(y=7-2=5\), so option A is correct. The value 7 is the right-hand side of the equation, not the value of \(y\). For the graphical method, the point \((2,5)\) can be plotted on the line.
A. x-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा/Horizontal line parallel to the x-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(y=2\) में y का मान हमेशा 2 रहता है, जबकि x का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,2)\) के रूप में होंगे और यह x-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा बनाएगा। y-अक्ष के समांतर रेखा के लिए समीकरण \(x=\text{स्थिरांक}\) होता है। परीक्षा टिप: \(y=c\) हमेशा क्षैतिज और \(x=c\) हमेशा ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाता है। / In the equation \(y=2\), the y-coordinate is always 2, while x can take any value. Thus, all its points are of the form \((x,2)\), forming a horizontal line parallel to the x-axis. A line parallel to the y-axis has an equation of the form \(x=\text{constant}\). Exam tip: \(y=c\) represents a horizontal line, whereas \(x=c\) represents a vertical line.
A. (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा/A vertical line parallel to the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(x=3\) में प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 3 होता है, जबकि \(y\)-निर्देशांक कोई भी मान ले सकता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \(y\)-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित होते हैं। विकल्प B \(y=3\) के लिए सही होता। परीक्षा टिप: \(x=\) नियत होने पर रेखा ऊर्ध्वाधर और \(y=\) नियत होने पर रेखा क्षैतिज होती है। / In the equation \(x=3\), the \(x\)-coordinate of every point is 3, while the \(y\)-coordinate can have any value. Hence, all such points lie on a vertical line parallel to the \(y\)-axis. Option B would be correct for \(y=3\). Exam tip: a constant \(x\)-value gives a vertical line, whereas a constant \(y\)-value gives a horizontal line.
(x=4) रखने पर (y=4+1=5), इसलिए ( (4,5) ) रेखा पर है। ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को सीधे जाँचें। / Putting (x=4) gives (y=4+1=5), so ( (4,5) ) lies on the line. In such questions, check the options directly.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। बिंदु (3, 3) के लिए \(3+3=6\) और \(3-3=0\), इसलिए यही ग्राफीय हल है। विकल्प B में पहला समीकरण सही है, लेकिन \(6-0\neq0\), इसलिए वह दूसरी रेखा पर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दोनों समीकरणों में दिए गए बिंदु के निर्देशांक रखकर जाँच करें। / The point of intersection must satisfy both equations. For (3, 3), \(3+3=6\) and \(3-3=0\), so it is the graphical solution. Option B satisfies the first equation but \(6-0\neq0\), so it does not lie on the second line. Exam tip: Substitute the coordinates into both equations to verify the intersection point.
\(y=0\) रखने पर समीकरण \(x+2(0)=8\) हो जाता है, इसलिए \(x=8\)। अतः रेखा का x-अक्ष पर अवरोध बिंदु \((8,0)\) है। विकल्प 4 केवल 2 के गुणांक से भ्रम के कारण आ सकता है। परीक्षा में x-अवरोध निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Substituting \(y=0\) in the equation gives \(x+2(0)=8\), so \(x=8\). Therefore, the x-intercept of the line is the point \((8,0)\). The value 4 may result from confusing the coefficient 2 with the required calculation. Exam tip: To find the x-intercept, always put \(y=0\).
समीकरण 2x + y = 6 में x = 0 रखने पर 2(0) + y = 6 मिलता है, अतः y = 6। इसलिए रेखा का y-अवरोध 6 है और वह बिंदु (0, 6) होगा। विकल्प B में 3 लेना सही नहीं है, क्योंकि x = 0 होने पर 2x का मान 0 हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x = 0 रखें। / Substituting x = 0 in 2x + y = 6 gives 2(0) + y = 6, so y = 6. Thus, the y-intercept of the line is 6 and the corresponding point is (0, 6). Option B is incorrect because when x = 0, the term 2x becomes 0. Exam tip: To find the y-intercept, put x = 0.
बिंदु ( (2,3) ) पर (2+3=5), इसलिए यह रेखा पर है। विकल्प जाँचते समय (x) और (y) को समीकरण में रखें। / For ( (2,3) ), (2+3=5), so it lies on the line. While checking options, substitute (x) and (y) in the equation.
A. दोनों समीकरणों का हल/Solution of both equations
Explanation
Simple Explanation
जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं वही युग्म (x,y) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद बिंदु को हमेशा हल मानें। / The point where both lines meet gives the pair (x,y) satisfying both equations. In exams, always treat the intersection point as the solution.
एक बहुपद का ग्राफ़ \\((-5,0)\\) पर \(x\)-अक्ष को काटता और \\((2,0)\\) पर \(x\)-अक्ष को छूता है। इस सूचना के आधार पर वास्तविक (distinct) शून्यकों की संख्या क्या है?
ग्राफ़ पर \\((-5,0)\\) पर काटना दर्शाता है कि \(x=-5\) एक वास्तविक शून्यक है (आम तौर पर विषम बहुलकता)। \\((2,0)\\) पर छूना दर्शाता है कि \(x=2\) भी वास्तविक शून्यक है (समान्यतः सम बहुलकता, जैसे गुणनफल में द्वि-गुणकता)। दोनों अलग-अलग \(x\)-मान हैं इसलिए अलग-अलग वास्तविक शून्यक की कुल संख्या 2 है। विकल्प तीन उस भ्रम पर आधारित हो सकता है कि multiplicity के साथ गिने तो \(x=2\) की बहुलकता 2 होने पर कुल शून्यक 3 हो सकते हैं — पर प्रश्न में distinct (अलग) शून्यक माँगे गए हैं। परीक्षा टिप: ध्यान दें कि प्रश्न में "distinct" या "with multiplicity" पूछा गया है; छूना (touch) हमेशा एक वास्तविक शून्यक देता है भले ही उसकी बहुलकता 2 या सम हो। / Crossing at \((-5,0)\) means \(x=-5\) is a real root (typically odd multiplicity). Touching at \((2,0)\) means \(x=2\) is also a real root (typically even multiplicity, e.g. multiplicity 2). These are two distinct real zeros, so the answer is two. The option "three" might arise if one counts multiplicities (for example multiplicity 1 at \(-5\) and multiplicity 2 at \(2\) gives three roots counting multiplicity), but the question asks for distinct real zeros. Exam tip: always check whether the question asks for distinct roots or roots counted with multiplicity when interpreting touch vs. cross.
