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\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(7(0)-2y=14\), अर्थात् \(-2y=14\), इसलिए \(y=-7\)। अतः \(y\)-अवरोध \(\left(0,-7\right)\) है। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि \(\left(2,0\right)\) और \(\left(-2,0\right)\) \(x\)-अवरोध से संबंधित बिंदु हैं। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(7(0)-2y=14\), so \(-2y=14\) and \(y=-7\). Therefore, the \(y\)-intercept is \(\left(0,-7\right)\). Option B has the wrong sign, while \(\left(2,0\right)\) and \(\left(-2,0\right)\) represent possible \(x\)-intercept points, not the \(y\)-intercept. Exam tip: Set \(x=0\) to find the \(y\)-intercept.
A. बिंदु (\left\(4,4\right\))/Point (\left\(4,4\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=4), फिर (4+y=8) से (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=4), then (4+y=8) gives (y=4). In a real situation, the meeting point is the intersection.
रेखा के समीकरण में दोनों दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक रखने पर समीकरण सत्य होना चाहिए। \((2,4)\) के लिए \(x+y=2+4=6\), और \((5,1)\) के लिए \(x+y=5+1=6\), इसलिए सही समीकरण \(x+y=6\) है। विकल्प B केवल पहले बिंदु को संतुष्ट करता है, दूसरे को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी रेखा का समीकरण जाँचने के लिए दिए गए सभी बिंदुओं को उसमें प्रतिस्थापित करें। / Both given points must satisfy the equation of the line. For \((2,4)\), \(x+y=2+4=6\), and for \((5,1)\), \(x+y=5+1=6\). Therefore, the correct equation is \(x+y=6\). Option B satisfies only the first point, not the second. Exam tip: Substitute every given point into an equation before selecting it.
प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों को साथ हल करते हैं। पहली रेखा पर \(y=0\) है। इसे दूसरी समीकरण में रखने पर \(5x+2(0)=25\), इसलिए \(x=5\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,0)\) है। विकल्प C में \(x=25\) मान लिया गया है, जबकि \(5x=25\) से \(x=5\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=0\) वाली रेखा के प्रतिच्छेद के लिए दूसरे समीकरण में सीधे \(y=0\) रखें। / To find the intersection, solve the two equations simultaneously. Since the first line has \(y=0\), substitute this in the second equation: \(5x+2(0)=25\), giving \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,0)\). Option C incorrectly takes \(x=25\), ignoring the coefficient 5. Exam tip: when one line is \(y=0\), substitute \(y=0\) directly into the other equation.
रेखा \(x=0\), y-अक्ष को दर्शाती है। प्रतिच्छेद बिंदु के लिए \(x=0\) को \(3x+2y=12\) में रखने पर \(2y=12\), अतः \(y=6\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((0,6)\) है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \((0,4)\) रखने पर \(3x+2y=8\), 12 नहीं मिलता। परीक्षा-सुझाव: प्रतिच्छेद बिंदु जाँचने के लिए प्राप्त \(x\) और \(y\) दोनों को मूल समीकरणों में रखें। / The line \(x=0\) represents the y-axis. For the point of intersection, substitute \(x=0\) in \(3x+2y=12\), giving \(2y=12\) and hence \(y=6\). Therefore, the intersection point is \((0,6)\). Option C is incorrect because \((0,4)\) gives \(3x+2y=8\), not 12. Exam tip: Always substitute both coordinates of the obtained point back into the original equations to verify the intersection.
A. बिंदु (\left\(5,7\right\))/Point (\left\(5,7\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=5) रखने पर (2\left\(5\right\)+y=17), इसलिए (y=7)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) पहले से तय रहता है। / Putting (x=5) gives (2\left\(5\right\)+y=17), so (y=7). In a vertical line, (x) is already fixed.
पहले समीकरण के प्रत्येक पद को 3 से भाग देने पर \(x+2y=8\) प्राप्त होता है, जो दूसरे समीकरण के समान है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और रेखाएँ संपाती होंगी। इनके अनंत हल होंगे। समांतर और अलग रेखाओं के लिए दोनों रेखाओं के बाएँ पक्ष के गुणांक समान अनुपात में होते हैं, लेकिन नियतांक उस अनुपात में नहीं होता। परीक्षा में \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\) और \(c_1/c_2\) की तुलना करें; तीनों बराबर हों तो रेखाएँ संपाती होती हैं। / Dividing every term of the first equation by 3 gives \(x+2y=8\), which is exactly the second equation. Hence both equations represent the same line on the graph, so the lines are coincident and have infinitely many solutions. Parallel distinct lines require the constant terms not to be in the same ratio as the coefficients. Exam tip: compare \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and \(c_1/c_2\); if all three ratios are equal, the lines are coincident.
\(y=0\) रखने पर \(6x+0=18\), इसलिए \(x=3\) प्राप्त होता है। अतः बिंदु \((3,0)\) है, जो \(x\)-अक्ष पर रेखा का \(x\)-अवरोध दर्शाता है। विकल्प B में निर्देशांक उलट दिए गए हैं, जबकि 18 को सीधे निर्देशांक मान लेना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Substituting \(y=0\) gives \(6x+0=18\), so \(x=3\). Therefore, the point is \((3,0)\), which represents the x-intercept of the line on the x-axis. In option B, the coordinates are interchanged, while 18 cannot be directly taken as a coordinate. Exam tip: Set \(y=0\) to find the x-intercept.
\(x=0\) रखने पर \(2(0)-7y=14\), अर्थात् \(-7y=14\), इसलिए \(y=-2\) मिलता है। अतः बिंदु \((0,-2)\) है। विकल्प C में \(y=0\) रखकर \(x=7\) मिलता है, इसलिए वह x-अवरोध है, माँगा गया बिंदु नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Substituting \(x=0\) gives \(2(0)-7y=14\), so \(-7y=14\) and \(y=-2\). Therefore, the point is \((0,-2)\). Option C results from setting \(y=0\), which gives the x-intercept rather than the required point. Exam tip: Set \(x=0\) to find the y-intercept.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखते हैं, क्योंकि यह बिंदु \(x\)-अक्ष पर स्थित होता है। तब \(5x+2(0)=20\), अर्थात् \(5x=20\) और \(x=4\)। इसलिए \(x\)-अवरोध \((4,0)\) है। विकल्प B वास्तव में \(y\)-अवरोध है, क्योंकि उसमें \(x=0\) है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\), जबकि \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / To find the \(x\)-intercept, put \(y=0\) because the point lies on the \(x\)-axis. Thus, \(5x+2(0)=20\), so \(5x=20\) and \(x=4\). Therefore, the \(x\)-intercept is \((4,0)\). Option B is the \(y\)-intercept because it has \(x=0\). Exam tip: set \(y=0\) for the \(x\)-intercept and \(x=0\) for the \(y\)-intercept.
किसी रेखा का \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं, क्योंकि \(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य होता है। अतः \(4(0)-3y=24\), जिससे \(y=-8\) प्राप्त होता है। इसलिए \(y\)-अवरोध \((0,-8)\) है। विकल्प C में \(y=0\) रखा गया है, इसलिए वह \(x\)-अवरोध है। परीक्षा में याद रखें: \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\), जबकि \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, set \(x=0\), because every point on the \(y\)-axis has an \(x\)-coordinate of zero. Thus, \(4(0)-3y=24\), giving \(y=-8\). Therefore, the \(y\)-intercept is \((0,-8)\). Option C is the \(x\)-intercept because it is obtained by setting \(y=0\). Exam tip: set \(x=0\) for the \(y\)-intercept and \(y=0\) for the \(x\)-intercept.
प्रतिच्छेद-बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर \(3x=9\), अतः \(x=3\)। अब \(x+y=9\) में रखने पर \(y=6\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रतिच्छेद-बिंदु \((3,6)\) है। उदाहरण के लिए, विकल्प C में \(x+y=9\) तो है, लेकिन \(4x+y=21\), इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / The intersection point must satisfy both line equations. Subtracting the second equation from the first gives \(3x=9\), so \(x=3\). Substituting this into \(x+y=9\) gives \(y=6\). Therefore, the intersection point is \((3,6)\). For example, option C satisfies \(x+y=9\), but \(4x+y=21\), so it is incorrect. Exam tip: always verify the obtained point in both equations.
B. बिंदु (\left\(4,3\right\))/Point (\left\(4,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(4,3\right\)) रखने पर (2\left\(4\right\)-3\left\(3\right\)=-1), इसलिए यह नहीं है। सही हल (\left\(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right\)) है। / Substituting (\left\(4,3\right\)) gives (2\left\(4\right\)-3\left\(3\right\)=-1), so it is not correct. The correct solution is (\left\(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right\)).
B. बिंदु (\left\(4,3\right\))/Point (\left\(4,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(4,3\right\)) पर (4+3\left\(3\right\)=13) नहीं है इसलिए विकल्प जाँचें। सही प्रतिच्छेद (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\)) है। / At (\left\(4,3\right\)), (4+3\left\(3\right\)=13), so check options carefully. The correct intersection is (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\)).
A. बिंदु (\left\(5,3\right\))/Point (\left\(5,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(5,3\right\)) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में यही सामान्य बिंदु हल होता है। / Substituting (\left\(5,3\right\)) makes both equations true. In graphical method this common point is the solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). In real life, the meeting point is the intersection point.
रेखा \(y=4\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 4 होता है। इसे दूसरी रेखा में रखने पर \(2x+3(4)=22\), अर्थात् \(2x=10\) और \(x=5\)। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((5,4)\) है। विकल्प B में x और y के निर्देशांक उलट दिए गए हैं। परीक्षा में क्षैतिज रेखा \(y=c\) के लिए पहले y-निर्देशांक निश्चित करें। / Every point on the line \(y=4\) has y-coordinate 4. Substituting this into the other equation gives \(2x+3(4)=22\), so \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,4)\). Option B incorrectly swaps the x- and y-coordinates. Exam tip: for a horizontal line \(y=c\), the y-coordinate is fixed at \(c\).
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों समीकरण संतुष्ट होने चाहिए। \(x=-2\) को \(3x+y=1\) में रखने पर \(3(-2)+y=1\), अर्थात \(-6+y=1\), इसलिए \(y=7\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((-2,7)\) है। विकल्प C में \(y\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=-2\) पर प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-2\) ही होता है। / The intersection point must satisfy both equations. Substituting \(x=-2\) into \(3x+y=1\) gives \(3(-2)+y=1\), or \(-6+y=1\), so \(y=7\). Therefore, the intersection point is \((-2,7)\). Option C has the wrong sign for the \(y\)-coordinate. Exam tip: Every point on the vertical line \(x=-2\) has \(x\)-coordinate \(-2\).
पहला समीकरण (5) से भाग देने पर (x+2y=6) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / Dividing the first equation by (5) gives (x+2y=6). Hence both lines are coincident and give infinitely many solutions.
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(7(0)+2y=28\), अर्थात् \(y=14\)। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,14)\) पर काटती है। विकल्प B \(x\)-अवरोध है, क्योंकि उसमें \(y=0\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(7(0)+2y=28\), so \(y=14\). Therefore, the line cuts the \(y\)-axis at \((0,14)\). Option B is the \(x\)-intercept because it is obtained by putting \(y=0\). Exam tip: For a \(y\)-intercept, always set \(x=0\).
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=10), इसलिए (x=5) और (y=2)। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु है। / Subtracting the equations gives (2x=10), so (x=5) and (y=2). This is the intersection point on the graph.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों का साझा हल होता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(3x=12\), अतः \(x=4\)। अब \(x-3y=-6\) में \(x=4\) रखने पर \(4-3y=-6\), इसलिए \(y=\frac{10}{3}\)। अतः सही बिंदु \(\left(4,\frac{10}{3}\right)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट दिए गए हैं। परीक्षा टिप: ग्राफ में प्रतिच्छेद बिंदु पढ़ने के बाद दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँच करें। / The intersection point is the common solution of both equations. Adding the equations gives \(3x=12\), so \(x=4\). Substituting this into \(x-3y=-6\) gives \(4-3y=-6\), hence \(y=\frac{10}{3}\). Therefore, the intersection is \(\left(4,\frac{10}{3}\right)\). Option B incorrectly reverses the coordinates. Exam tip: After reading an intersection point from a graph, verify it in both equations.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=5), फिर (5+y=9) से (y=4)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=5), then (5+y=9) gives (y=4). In real life, the meeting point is the intersection.
रेखा y = 0, x-अक्ष को दर्शाती है। प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए 4x + y = 20 में y = 0 रखने पर 4x = 20 मिलता है, इसलिए x = 5 और बिंदु (5, 0) है। विकल्प (0, 5) में x और y के मान उलट गए हैं, जबकि (4, 0) में x का मान गलत है। परीक्षा में y = 0 को x-अक्ष और x = 0 को y-अक्ष के रूप में याद रखें। / The line y = 0 represents the x-axis. To find the intersection, substitute y = 0 in 4x + y = 20: 4x = 20, so x = 5. Therefore, the intersection point is (5, 0). In (0, 5), the coordinates are interchanged, while (4, 0) does not satisfy the equation. Exam tip: y = 0 represents the x-axis, whereas x = 0 represents the y-axis.
रेखा x = 0 पर x का मान शून्य होता है। पहली रेखा में x = 0 रखने पर 3y = 12, इसलिए y = 4 और प्रतिच्छेद बिंदु (0, 4) है। विकल्प (4, 0) x-अक्ष पर मिलने वाला बिंदु है, क्योंकि उसमें y = 0 रखा गया है। परीक्षा में x = 0 को y-अक्ष और y = 0 को x-अक्ष के रूप में याद रखें। / On the line x = 0, the value of x is zero. Substituting x = 0 in the first equation gives 3y = 12, so y = 4. Therefore, the intersection point is (0, 4). The point (4, 0) is the x-intercept, obtained by setting y = 0. In exams, remember that x = 0 represents the y-axis, while y = 0 represents the x-axis.
बिंदु \\(1,5\\) को विकल्प A में रखने पर \\(2(1)+5=7\\) प्राप्त होता है और बिंदु \\(3,1\\) के लिए \\(2(3)+1=7\\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों बिंदु समीकरण \\(2x+y=7\\) को संतुष्ट करते हैं और यही उनकी रेखा का समीकरण है। उदाहरण के लिए, विकल्प C में पहले बिंदु के लिए \\(1+5=6\\) सही है, लेकिन दूसरे के लिए \\(3+1=4\\neq6\\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दो दिए गए बिंदुओं को किसी विकल्प में रखकर जाँच करना सबसे तेज़ तरीका है। / Substituting the point \\(1,5\\) in option A gives \\(2(1)+5=7\\), and substituting \\(3,1\\) gives \\(2(3)+1=7\\). Thus, both points satisfy \\(2x+y=7\\), so this equation represents their line. For example, option C works for the first point because \\(1+5=6\\), but it fails for the second point since \\(3+1=4\\neq6\\). Exam tip: The quickest method is to substitute both given points into each option.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=16), इसलिए (x=8) और (y=4)। वास्तविक समस्या में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding the equations gives (2x=16), so (x=8) and (y=4). In a real problem, the meeting point is the graphical solution.
मूलबिंदु पर x=0 और y=0 होते हैं। विकल्प B में रखने पर 3(0)+0=0 तथा 0-2(0)=0 प्राप्त होता है, इसलिए दोनों रेखाएँ मूलबिंदु से गुजरती हैं और वहीं प्रतिच्छेद करती हैं। अन्य विकल्पों में कम-से-कम एक समीकरण मूलबिंदु को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: किसी समीकरण युग्म के मूलबिंदु से गुजरने की जाँच के लिए x=0 और y=0 रखें। / At the origin, x=0 and y=0. Substituting these values in option B gives 3(0)+0=0 and 0-2(0)=0, so both lines pass through the origin and intersect there. In each other option, at least one equation is not satisfied by the origin. Exam tip: To check whether a pair of lines passes through the origin, substitute x=0 and y=0 in both equations.
पहली रेखा पर \(y=-1\) होता है। इसे दूसरी समीकरण में रखने पर \(2x-(-1)=9\), अर्थात् \(2x+1=9\) और \(x=4\) मिलता है। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु \((4,-1)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट दिए गए हैं, जबकि विकल्प C और D में क्रमशः \(x\) या \(y\) का मान गलत है। परीक्षा-युक्ति: क्षैतिज रेखा \(y=\text{constant}\) में प्रतिच्छेद-बिंदु का \(y\)-निर्देशांक तुरंत ज्ञात हो जाता है। / On the first line, \(y=-1\). Substituting this in the second equation gives \(2x-(-1)=9\), or \(2x+1=9\), so \(x=4\). Therefore, the point of intersection is \((4,-1)\). In option B the coordinates are reversed, while options C and D have an incorrect \(x\)-value or \(y\)-value, respectively. Exam tip: For a horizontal line of the form \(y=\text{constant}\), the y-coordinate of the intersection is known immediately.
पहली रेखा \(x=6\) के कारण प्रतिच्छेद बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 6 होगा। इसे दूसरी रेखा में रखने पर \(6+y=10\), इसलिए \(y=4\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((6,4)\) है। विकल्प \((6,10)\) में \(y\) का मान गलत रूप से 10 लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में जाँच लें। / Since the first line is \(x=6\), the x-coordinate of the intersection must be 6. Substituting this in the second equation gives \(6+y=10\), so \(y=4\). Therefore, the intersection point is \((6,4)\). In \((6,10)\), the value of y has been incorrectly taken as 10. Exam tip: Always substitute the proposed point into both equations to verify it.
