समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर (a*b=b) परिभाषित है। (1*2) का मान क्या है?
On the set \(A=\{1,2\}\), (a*b=b) is defined. What is the value of (1*2)?
#operation evaluation
#finite set
#binary operation
A (2)
B (1)
C (3)
D (0)
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Step 1
Concept
दिए गए नियम में परिणाम दूसरा तत्व होता है। / According to the given rule, the result is the second element.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2) में दूसरा तत्व (2) है। / In (1*2), the second element is (2).
Step 3
Exam Tip
संक्रिया का नियम सामान्य जोड़ या गुणा से अलग हो सकता है। / The operation rule may be different from usual addition or multiplication.
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यदि (a*b=e) और (b*a=e), जहाँ (e) तत्समक अवयव है, तो (b) को (a) का क्या कहा जाता है?
If (a*b=e) and (b*a=e), where (e) is the identity element, what is (b) called for (a)?
#inverse element
#identity
#binary operation
A प्रतिलोम अवयव / Inverse element
B तत्समक अवयव / Identity element
C बंद अवयव / Closed element
D सहप्रांतीय अवयव / Codomain element
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Correct Answer
A. प्रतिलोम अवयव / Inverse element
Step 1
Concept
प्रतिलोम वह तत्व है जो (a) के साथ संक्रिया करके तत्समक दे। / An inverse is an element that combines with (a) to give the identity.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (a*b=e) और (b*a=e), इसलिए (b) प्रतिलोम है। / Here (a*b=e) and (b*a=e), so (b) is the inverse.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम हमेशा किसी तत्समक अवयव के संदर्भ में समझें। / Always understand inverse with respect to an identity element.
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यदि (e) ऐसा तत्व है कि (a*e=e*a=a) हर (a) के लिए, तो (e) क्या कहलाता है?
If (e) is an element such that (a*e=e*a=a) for every (a), what is (e) called?
#identity element
#definition
#binary operation
A तत्समक अवयव / Identity element
B प्रतिलोम अवयव / Inverse element
C बाहरी अवयव / Outside element
D अपरिभाषित अवयव / Undefined element
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Correct Answer
A. तत्समक अवयव / Identity element
Step 1
Concept
(e) के साथ संक्रिया करने पर (a) नहीं बदलता। / Operating with (e) does not change (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तत्व तत्समक अवयव कहलाता है। / Such an element is called the identity element.
Step 3
Exam Tip
तत्समक दोनों ओर से काम करे तो उत्तर मजबूत होता है। / The identity should work from both sides.
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यदि ((a*b)*c=a*(b*c)) हर (a,b,c) के लिए सत्य हो, तो कौन सा गुण है?
If ((a*b)*c=a*(b*c)) is true for every (a,b,c), which property is it?
#associative property
#binary operation
#definition
A साहचर्यता / Associativity
B क्रमविनिमेयता / Commutativity
C बंदता / Closure
D प्रतिलोम / Inverse
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Correct Answer
A. साहचर्यता / Associativity
Step 1
Concept
यहाँ कोष्ठक बदलने पर परिणाम नहीं बदलता। / Here changing the grouping does not change the result.
Step 2
Why this answer is correct
यह साहचर्यता कहलाती है। / This property is called associativity.
Step 3
Exam Tip
साहचर्यता में क्रम नहीं, बल्कि समूह बनाने का तरीका बदलता है। / In associativity, the order is not changed; only grouping changes.
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यदि किसी द्विआधारी संक्रिया में (a*b=b*a) हर (a,b) के लिए सत्य हो, तो संक्रिया कैसी कहलाती है?
If (a*b=b*a) is true for every (a,b) in a binary operation, what is the operation called?
#commutative property
#binary operation
#definition
A क्रमविनिमेय / Commutative
B साहचर्य / Associative
C तत्समक / Identity
D प्रतिलोम / Inverse
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय / Commutative
Step 1
Concept
यहाँ दो तत्वों का क्रम बदलने पर परिणाम समान रहता है। / Here changing the order of two elements does not change the result.
Step 2
Why this answer is correct
यही क्रमविनिमेयता की परिभाषा है। / This is the definition of commutativity.
Step 3
Exam Tip
जोड़ और गुणा जैसे सामान्य उदाहरणों से इस गुण को याद रखें। / Remember this property using usual addition and multiplication.
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समुच्चय ({0,1}) पर (a*b) को (a+b) का (2) से शेषफल माना गया है। (1) का प्रतिलोम क्या है?
On the set ({0,1}), (a*b) is the remainder of (a+b) on division by (2). What is the inverse of (1)?
#modulo 2
#inverse element
#binary operation
A (1)
B (0)
C (2)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity in this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(1*1) में (1+1=2) का शेषफल (0) है। / In (1*1), (1+1=2), whose remainder modulo (2) is (0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) अपना ही प्रतिलोम है। / Therefore (1) is its own inverse.
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समुच्चय ({0,1}) पर (a*b) को (a+b) को (2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। तत्समक अवयव क्या है?
On the set ({0,1}), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (2). What is the identity element?
#modulo addition
#identity element
#binary operation
A (0)
B (1)
C दोनों (0) और (1) / Both (0) and (1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
यह दो पर शेषफल वाला जोड़ है। / This is addition using remainder modulo (2).
Step 2
Why this answer is correct
(a*0) करने पर शेषफल (a) ही रहता है। / Doing (a*0) leaves the remainder as (a).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले जोड़ में (0) तत्समक की तरह काम करता है। / In remainder-based addition, (0) acts as the identity.
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समुच्चय ({0,1}) पर सामान्य जोड़ द्विआधारी संक्रिया क्यों नहीं है?
Why is usual addition not a binary operation on the set ({0,1})?
#addition on finite set
#not closed
#binary operation
A क्योंकि \(1+1=2\notin{0,1}\) / Because \(1+1=2\notin{0,1}\)
B क्योंकि \(0+1=1\in{0,1}\) / Because \(0+1=1\in{0,1}\)
C क्योंकि (0+0=0) / Because (0+0=0)
D क्योंकि जोड़ में दो तत्व नहीं होते / Because addition does not have two elements
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Correct Answer
A. क्योंकि \(1+1=2\notin{0,1}\) / Because \(1+1=2\notin{0,1}\)
Step 1
Concept
बंदता हर जोड़ी के लिए चाहिए। / Closure must hold for every pair.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (1) दोनों समुच्चय में हैं, पर उनका योग (2) समुच्चय में नहीं है। / (1) and (1) are in the set, but their sum (2) is not in the set.
Step 3
Exam Tip
एक असफल जोड़ी से बंदता टूट जाती है। / One failed pair breaks closure.
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पूर्णांकों के समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=|a-b|) कैसा है?
On the set of integers \(\mathbb{Z}\), what type is (a*b=|a-b|)?
#absolute value
#integers
#binary operation
A द्विआधारी संक्रिया / Binary operation
B द्विआधारी संक्रिया नहीं / Not a binary operation
C केवल अपरिमेय परिणाम देता है / Gives only irrational results
D हमेशा ऋणात्मक परिणाम देता है / Always gives negative results
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Correct Answer
A. द्विआधारी संक्रिया / Binary operation
Step 1
Concept
\(a,b\in\mathbb{Z}\) हों तो (a-b) पूर्णांक होता है। / If \(a,b\in\mathbb{Z}\), then (a-b) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|) गैरऋणात्मक पूर्णांक है, और वह \(\mathbb{Z}\) में शामिल है। / (|a-b|) is a non-negative integer, and it belongs to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{Z}\) में सभी गैरऋणात्मक पूर्णांक भी आते हैं। / \(\mathbb{Z}\) includes all non-negative integers too.
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सामान्य गुणा के अंतर्गत (5) का प्रतिलोम क्या है?
What is the inverse of (5) under usual multiplication?
#multiplicative inverse
#real numbers
#binary operation
A \(\frac{1}{5}\)
B (-5)
C (0)
D (5)
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Correct Answer
A. \(\frac{1}{5}\)
Step 1
Concept
गुणा में तत्समक (1) है। / The identity under multiplication is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(5) का प्रतिलोम वह संख्या है जिससे गुणा करने पर (1) मिले। / The inverse of (5) is the number that gives (1) when multiplied.
Step 3
Exam Tip
\(5\cdot\frac{1}{5}=1\), इसलिए प्रतिलोम \(\frac{1}{5}\) है। / Since \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), the inverse is \(\frac{1}{5}\).
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वास्तविक संख्याओं पर सामान्य गुणा का तत्समक अवयव कौन सा है?
What is the identity element for usual multiplication on real numbers?
#multiplicative identity
#real numbers
#binary operation
A (1)
B (0)
C (-1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
गुणा में तत्समक (e) के लिए \(a\cdot e=a\) चाहिए। / For multiplication identity (e), we need \(a\cdot e=a\).
Step 2
Why this answer is correct
(e=1) लेने पर हर वास्तविक (a) के लिए \(a\cdot1=a\) होता है। / Taking (e=1), \(a\cdot1=a\) for every real (a).
Step 3
Exam Tip
सामान्य गुणा का तत्समक (1) याद रखें। / Remember that the identity for usual multiplication is (1).
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यदि (a*b=a+2b), तो क्रमविनिमेयता के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (a*b=a+2b), which statement about commutativity is correct?
#commutativity
#binary operation
#not commutative
A यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
B यह हमेशा क्रमविनिमेय है / It is always commutative
C यह बंद नहीं है / It is not closed
D यह केवल (a=b) पर परिभाषित है / It is defined only when (a=b)
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Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय नहीं है / It is not commutative
Step 1
Concept
(1*2=1+4=5)। / (1*2=1+4=5).
Step 2
Why this answer is correct
(2*1=2+2=4), इसलिए दोनों अलग हैं। / (2*1=2+2=4), so the two values are different.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता जाँचने के लिए स्थान बदलकर मान मिलाएँ। / To test commutativity, interchange the positions and compare.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) के लिए सही कथन कौन सा है?
For (a*b=a+b+ab) on real numbers, which statement is correct?
#associative operation
#special operation
#binary operation
A यह साहचर्य है / It is associative
B यह बंद नहीं है / It is not closed
C यह केवल प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on natural numbers
D इसमें तत्समक अवयव नहीं है / It has no identity element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह साहचर्य है / It is associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b+ab=(a+1)(b+1)-1) लिखा जा सकता है। / (a*b=a+b+ab=(a+1)(b+1)-1).
Step 2
Why this answer is correct
यह रूप गुणा से जुड़ा है और गुणा साहचर्य है। / This form is linked to multiplication, and multiplication is associative.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में रूप बदलकर गुण पहचानना आसान होता है। / Rewriting the rule helps identify the property.
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यदि (a*b=a+b+ab), तो (2*3) का मान क्या है?
If (a*b=a+b+ab), what is the value of (2*3)?
#binary operation
#value finding
#formula based
A (11)
B (5)
C (6)
D (12)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
नियम में (a=2) और (b=3) रखें। / Substitute (a=2) and (b=3) in the rule.
Step 2
Why this answer is correct
\(2*3=2+3+2\cdot3=11\)। / \(2*3=2+3+2\cdot3=11\).
Step 3
Exam Tip
पहले नियम पढ़ें, फिर सामान्य गणना करें। / First read the rule, then calculate normally.
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यदि (a*b=a+2b), तो (3*4) का मान क्या होगा?
If (a*b=a+2b), what is the value of (3*4)?
#operation evaluation
#binary operation
#easy calculation
A (11)
B (10)
C (14)
D (7)
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Step 1
Concept
संक्रिया में (a=3) और (b=4) रखें। / Put (a=3) and (b=4) in the operation.
Step 2
Why this answer is correct
(3*4=3+2(4)=11)। / (3*4=3+2(4)=11).
Step 3
Exam Tip
ऐसी संक्रियाओं में चिन्ह को सामान्य गुणा न समझें, दिए गए नियम का ही उपयोग करें। / Do not treat the symbol as usual multiplication; use the given rule.
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समुच्चय \([0,\infty\)) पर (a*b=\min(a,b)) है। क्या इसका तत्समक अवयव है?
On the set \([0,\infty\)), (a*b=\min(a,b)). Does it have an identity element?
#minimum operation
#no identity
#binary operation
A नहीं / No
B हाँ, (0) / Yes, (0)
C हाँ, (1) / Yes, (1)
D हाँ, हर (a) / Yes, every (a)
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(\min(a,e)=a) हर \(a\ge0\) के लिए चाहिए। / We need (\min(a,e)=a) for every \(a\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (e) सभी (a) से बड़ा या बराबर होना चाहिए, पर \([0,\infty\)) में सबसे बड़ा तत्व नहीं है। / This requires (e) to be greater than or equal to all (a), but \([0,\infty\)) has no greatest element.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संक्रिया में सबसे बड़ा तत्व तत्समक बनता है, यदि वह समुच्चय में हो। / For a minimum operation, the greatest element is the identity if it exists.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab+1) है। क्या इसका तत्समक अवयव है?
On real numbers, (a*b=ab+1). Does it have an identity element?
#no identity
#binary operation
#real numbers
A नहीं / No
B हाँ, (0) / Yes, (0)
C हाँ, (1) / Yes, (1)
D हाँ, (-1) / Yes, (-1)
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(ae+1=a) से (e) हर (a) के लिए समान नहीं मिल सकता, और (a=0) पर (1=0) असंभव है। / (ae+1=a) cannot give one fixed (e) for all (a), and for (a=0) it gives (1=0), impossible.
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव सभी तत्वों के लिए एक ही होना चाहिए। / An identity must be the same for all elements.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+1) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+1). What is the identity element of this operation?
#identity element
#binary operation
#real numbers
A (-1)
B (0)
C (1)
D (2)
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Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+1=a) से (e=-1) मिलता है। / From (a+e+1=a), we get (e=-1).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव निकालते समय (e) रखकर समीकरण हल करें। / To find identity, place (e) and solve the equation.
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यदि (a*b=a+b) वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, तो यह संक्रिया कैसी है?
If (a*b=a+b) is defined on real numbers, what type of operation is it?
#commutative operation
#addition
#binary operation
A क्रमविनिमेय / Commutative
B क्रमविनिमेय नहीं / Not commutative
C अपरिभाषित / Undefined
D बंद नहीं / Not closed
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय / Commutative
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। / For commutativity, check (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=b+a), इसलिए (a*b=b*a)। / Since (a+b=b+a), we get (a*b=b*a).
Step 3
Exam Tip
जोड़ पर आधारित संक्रिया में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition-based operations often remain unchanged when order is changed.
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सामान्य गुणा \(\times\) पूर्णांकों के समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर कैसा है?
How is usual multiplication \(\times\) on the set of integers \(\mathbb{Z}\)?
#integer multiplication
#binary operation
#closure
A द्विआधारी संक्रिया / Binary operation
B द्विआधारी संक्रिया नहीं / Not a binary operation
C केवल धनात्मक संक्रिया / Only positive operation
D केवल एक तत्व वाली संक्रिया / One-element operation only
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Correct Answer
A. द्विआधारी संक्रिया / Binary operation
Step 1
Concept
दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा पूर्णांक होता है। / The product of two integers is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) से बाहर नहीं जाता। / So the result does not leave \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर जोड़ और गुणा दोनों बंद रहते हैं। / On integers, both addition and multiplication are closed.
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सामान्य जोड़ (+) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर द्विआधारी संक्रिया क्यों है?
Why is usual addition (+) a binary operation on the set of natural numbers \(\mathbb{N}\)?
#addition
#natural numbers
#binary operation
A क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग प्राकृतिक संख्या होता है / Because the sum of two natural numbers is a natural number
B क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर हमेशा प्राकृतिक संख्या होता है / Because the difference of two natural numbers is always a natural number
C क्योंकि जोड़ में केवल एक संख्या चाहिए / Because addition needs only one number
D क्योंकि जोड़ का परिणाम हमेशा (0) होता है / Because addition always gives (0)
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Correct Answer
A. क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग प्राकृतिक संख्या होता है / Because the sum of two natural numbers is a natural number
Step 1
Concept
\(\mathbb{N}\) से कोई भी दो संख्याएँ लें। / Take any two numbers from \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग फिर \(\mathbb{N}\) में ही रहता है। / Their sum remains in \(\mathbb{N}\).
Step 3
Exam Tip
बंदता होने से सामान्य जोड़ \(\mathbb{N}\) पर द्विआधारी संक्रिया है। / Since closure holds, usual addition is a binary operation on \(\mathbb{N}\).
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यदि \(a,b\in A\) होने पर \(a*b\in A\) मिलता है, तो यह कौन सा गुण दिखाता है?
If \(a,b\in A\) implies \(a*b\in A\), which property does this show?
#closure
#binary operation
#relations functions
A बंदता / Closure
B क्रमविनिमेयता / Commutativity
C साहचर्यता / Associativity
D प्रतिलोम / Inverse
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Correct Answer
A. बंदता / Closure
Step 1
Concept
बंदता का मतलब है कि संक्रिया करने के बाद परिणाम समुच्चय से बाहर न जाए। / Closure means the result does not leave the set after the operation.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (a*b) फिर से (A) में है, इसलिए बंदता है। / Here (a*b) again lies in (A), so closure holds.
Step 3
Exam Tip
द्विआधारी संक्रिया पहचानने का पहला संकेत बंदता है। / Closure is the first sign to check in binary operation questions.
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किसी समुच्चय (A) पर द्विआधारी संक्रिया का सही अर्थ क्या है?
What is the correct meaning of a binary operation on a set (A)?
#binary operation
#closure
#set operation
#class 12
A ऐसा नियम जो \(A\times A\) के हर युग्म को (A) के एक तत्व से जोड़े / A rule that assigns each pair of \(A\times A\) to an element of (A)
B ऐसा नियम जो (A) के हर तत्व को दो तत्वों में बाँटे / A rule that divides each element of (A) into two elements
C ऐसा नियम जो केवल एक तत्व पर काम करे / A rule that works on only one element
D ऐसा नियम जिसका मान हमेशा शून्य हो / A rule whose value is always zero
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Correct Answer
A. ऐसा नियम जो \(A\times A\) के हर युग्म को (A) के एक तत्व से जोड़े / A rule that assigns each pair of \(A\times A\) to an element of (A)
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया में दो तत्व लिए जाते हैं। / A binary operation takes two elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्व (A) से हों और परिणाम भी (A) में आए तो यह (A) पर संक्रिया कहलाती है। / If both inputs are from (A) and the result is also in (A), it is an operation on (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले बंदता जाँचें। / In exams, check closure first.
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यदि (|A|=n) हो तो (A) पर कुल द्विचर संक्रियाओं की संख्या क्या होती है?
If (|A|=n), what is the total number of binary operations on (A)?
#functions
#binary-operation
#counting
A \(n^{n^2}\)
B \(n^2\)
C \(n^n\)
D \(2^n\)
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Correct Answer
A. \(n^{n^2}\)
Step 1
Concept
द्विचर संक्रिया \(A\times A\) से (A) में एक फलन होती है। / A binary operation on (A) is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) चुनाव हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) होती है। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\).
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