प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), जिससे \(n=65\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{65\times66}{2}=2145\)। इसलिए \(S_{2n}-S_n=S_{130}-S_{65}=\frac{130\times131}{2}-2145=8515-2145=6370\)। विकल्प 6270 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब योग के सूत्र या अंतिम घटाव में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले दिए गए \(S_n\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(S_{2n}\) निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), giving \(n=65\), since \(\frac{65\times66}{2}=2145\). Therefore, \(S_{2n}-S_n=S_{130}-S_{65}=\frac{130\times131}{2}-2145=8515-2145=6370\). A value such as 6270 can result from an error in applying the sum formula or in the final subtraction. Exam tip: first determine \(n\) from the given \(S_n\), and then calculate \(S_{2n}\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) और \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\)। इसलिए अंतर \(16290-7260=9030\) है। यह वास्तव में \(121\) से \(180\) तक की संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर संबंधित बीच के पदों का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) and \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\). Therefore, the difference is \(16290-7260=9030\). It is also the sum of the integers from \(121\) to \(180\). Exam tip: The difference of two such sums equals the sum of the terms lying between them.
पहले n=50 रखने पर 2n=100 होगा। पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए \(S_{2n}-S_n=5050-1275=3775\)। 3875 जैसे विकल्प में घटाव या योग के सूत्र में गणना की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले उपसूचक 2n का मान निकालें, फिर दोनों योग अलग-अलग ज्ञात करें। / Substituting n=50 gives 2n=100. The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_{2n}-S_n=5050-1275=3775\). An option such as 3875 results from an error in subtraction or in applying the sum formula. Exam tip: evaluate the index 2n first, then find the two sums separately.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\) से \(n=128\) मिलता है। अतः \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं \(129,130,131,132,133\) का योग है, जो \(655\) है। \(645\) जैसा विकल्प केवल गलत प्रारम्भिक पद लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) ज्ञात करें, फिर योग में शामिल होने वाले अगले पद लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\), we get \(n=128\). Therefore, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five numbers: \(129+130+131+132+133=655\). A value such as 645 results from choosing an incorrect starting term. Exam tip: first find \(n\), then list the terms added beyond \(S_n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{150}=\frac{150\times151}{2}=11325\) और \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\)। इसलिए \(S_{150}:S_{100}=11325:5050=453:202\)। \(3:2\) केवल 150 और 100 का अनुपात है; योगों के अनुपात में \(151\) और \(101\) भी शामिल होंगे। परीक्षा टिप: योगों के अनुपात में पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) का सूत्र लगाएँ, फिर समान गुणनखंड काटें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{150}=\frac{150\times151}{2}=11325\) and \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\). Hence, \(S_{150}:S_{100}=11325:5050=453:202\). \(3:2\) is only the ratio of 150 and 100; the factors \(151\) and \(101\) must also be included for the sums. Exam tip: In ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) first and then cancel common factors.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः
\(S_{225}=\frac{225\times226}{2}=25425\) और
\(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\)। इसलिए अंतर
\(25425-15400=10025\) है। यह वास्तव में 176 से 225 तक की संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर बीच की बची हुई संख्याओं का योग सीधे निकाला जा सकता है। / The sum of the first n natural numbers is
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus,
\(S_{225}=\frac{225\times226}{2}=25425\) and
\(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\). Therefore, the difference is
\(25425-15400=10025\). It is also the sum of the integers from 176 to 225. Exam tip: the difference of two such sums equals the sum of the remaining consecutive terms.
प्रथम प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र है \(S_r=\frac{r(r+1)}{2}\)। यहाँ \(S_{2n}=4095\), अतः \(\frac{2n(2n+1)}{2}=4095\)। चूँकि \(4095=\frac{90\times91}{2}=S_{90}\), इसलिए \(2n=90\) और \(n=45\)। विकल्प 46 लेने पर \(2n=92\) होगा, जिसका योग 4095 नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग को \(S_r\) के रूप में पहचानकर उसका सूचकांक ज्ञात करें। / The sum of the first \(r\) natural numbers is \(S_r=\frac{r(r+1)}{2}\). Given \(S_{2n}=4095\), we have \(\frac{2n(2n+1)}{2}=4095\). Since \(4095=\frac{90\times91}{2}=S_{90}\), \(2n=90\), so \(n=45\). If \(n=46\), then the index would be 92, whose sum is not 4095. Exam tip: first identify the index corresponding to the given sum \(S_r\).
151 से 210 तक कुल पदों की संख्या \(210-151+1=60\) है। प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{151+210}{2}=180.5\) होगा। अतः योग \(60\times180.5=10830\) है। 10730 जैसे विकल्प में पदों की संख्या या औसत की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: किसी क्रमागत श्रेणी में दोनों सिरों को शामिल करने के लिए पदों की संख्या में \(+1\) अवश्य जोड़ें। / There are \(210-151+1=60\) terms from 151 to 210. Their average is \(\frac{151+210}{2}=180.5\). Hence, the sum is \(60\times180.5=10830\). An option such as 10730 can result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: when both endpoints are included, always add \(+1\) while counting the terms.
पहले 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) है। अतः \(S_n=5775+4095=9870\)। अब \(\frac{n(n+1)}{2}=9870\) से \(n(n+1)=19740=140\times141\), इसलिए \(n=140\)। उदाहरण के लिए, \(n=135\) लेने पर योग \(\frac{135\times136}{2}=9180\) होगा, जो आवश्यक \(9870\) नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए \(S_k\) को जोड़कर \(S_n\) ज्ञात करें। / The sum of the first 90 natural numbers is \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Hence, \(S_n=5775+4095=9870\). Using \(\frac{n(n+1)}{2}=9870\), we get \(n(n+1)=19740=140\times141\); therefore, \(n=140\). For instance, if \(n=135\), the sum is \(\frac{135\times136}{2}=9180\), not the required \(9870\). Exam tip: In such questions, first add the known \(S_k\) to find \(S_n\).
101 से 160 तक के योग के लिए पहले 1 से 160 तक के योग में से 1 से 100 तक का योग घटाएँ। अतः \(S_{160}-S_{100}=\frac{160\times161}{2}-\frac{100\times101}{2}=12880-5050=7830\)। इसलिए सही उत्तर 7830 है। 7780 जैसे विकल्प सामान्यतः घटाव या गुणा में छोटी गणना-त्रुटि से मिलते हैं। परीक्षा टिप: किसी भी लगातार प्राकृतिक संख्याओं के अंतराल का योग निकालने में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) का उपयोग करें। / To find the sum from 101 to 160, subtract the sum from 1 to 100 from the sum from 1 to 160. Thus, \(S_{160}-S_{100}=\frac{160\times161}{2}-\frac{100\times101}{2}=12880-5050=7830\). Hence, 7830 is the correct answer. An option such as 7780 can result from a small subtraction or multiplication error. Exam tip: for a range of consecutive natural numbers, use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{84}=\frac{84\times85}{2}=3570\) और \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\)। इसलिए \(3570:1596=85:38\), जो सबसे सरल रूप है। \(84:56=3:2\) केवल संख्याओं की गिनती का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों का अनुपात निकालते समय दोनों जगह \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{84}=\frac{84\times85}{2}=3570\) and \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\). Therefore, \(3570:1596=85:38\), in simplest form. \(84:56=3:2\) is only the ratio of the number of terms, not the ratio of their sums. Exam tip: For ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) to both values of \(n\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=2701\) से \(n=73\) मिलता है, क्योंकि \(S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\)। अतः \(S_{n+7}-S_n=S_{80}-S_{73}=74+75+\cdots+80\)। यह 7 क्रमागत संख्याओं का योग है: \(\frac{7(74+80)}{2}=539\)। इसलिए सही उत्तर 539 है। 535 जैसा विकल्प औसत या पदों की संख्या गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) का अर्थ \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों का योग है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=2701\) gives \(n=73\), since \(S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\). Therefore, \(S_{n+7}-S_n=S_{80}-S_{73}=74+75+\cdots+80\). This is the sum of 7 consecutive numbers: \(\frac{7(74+80)}{2}=539\). Hence, 539 is correct. A value such as 535 can result from using an incorrect average or number of terms. Exam tip: \(S_{n+k}-S_n\) represents the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
मान लें कि पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{250}-S_{200}=\frac{250\times251}{2}-\frac{200\times201}{2}=31375-20100=11275\)। यह वास्तव में 201 से 250 तक की संख्याओं का योग है। निकटतम विकल्प 11175 गलत है क्योंकि उसमें 201 से 250 तक के पूरे 50 पदों का सही योग नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को सीधे \(201+202+\cdots+250\) के योग के रूप में भी लिख सकते हैं। / Let the sum of the first n natural numbers be \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{250}-S_{200}=\frac{250\times251}{2}-\frac{200\times201}{2}=31375-20100=11275\). This difference is the sum of the numbers from 201 to 250. The nearby option 11175 is incorrect because it does not give the correct total of all 50 terms from 201 to 250. Exam tip: Rewrite such a difference directly as \(201+202+\cdots+250\).
मान लें कि पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः आवश्यक परिणाम \(S_{175}-S_{125}=\frac{175\times176}{2}-\frac{125\times126}{2}=15400-7875=7525\) होगा। यह सीधे 126 से 175 तक की संख्याओं का योग भी है। 7475 जैसे विकल्प में घटाव या योग की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: समान प्रारम्भिक पद वाले दो योगों का अंतर शेष क्रमागत संख्याओं का योग होता है। / Let the sum of the first n natural numbers be \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, the required result is \(S_{175}-S_{125}=\frac{175\times176}{2}-\frac{125\times126}{2}=15400-7875=7525\). It is also the direct sum of the numbers from 126 to 175. An option such as 7475 results from an error in evaluating a sum or subtraction. Exam tip: the difference of two sums with the same starting term equals the sum of the remaining consecutive terms.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{78}=\frac{78\times79}{2}=3081\), \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\) और \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\)। इसलिए \(S_{78}-S_{52}+S_{26}=3081-1378+351=2054\)। परीक्षा टिप: संयुक्त व्यंजक में प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग निकालकर फिर दिए गए धन-ऋण चिह्नों के अनुसार जोड़ें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{78}=\frac{78\times79}{2}=3081\), \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\), and \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). Hence, \(S_{78}-S_{52}+S_{26}=3081-1378+351=2054\). Exam tip: evaluate each \(S_n\) separately, then apply the signs in the expression carefully.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) और \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\)। इसलिए अंतर \(16290-4095=12195\) है। यह वास्तव में 91 से 180 तक की संख्याओं का योग है; 12295 जैसी संख्या सूत्र या घटाव से नहीं मिलती। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(S_{180}-S_{90}\) लिखकर हल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) and \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Hence, the difference is \(16290-4095=12195\). It is also the sum of the integers from 91 to 180; a value such as 12295 does not result from the formula or subtraction. Exam tip: write such a difference as \(S_{180}-S_{90}\).
1 से 200 तक के योग में से 1 से 150 तक का योग घटाने पर केवल 151 से 200 तक के पद बचते हैं। अतः अंतर \(S_{200}-S_{150}=\frac{200\times201}{2}-\frac{150\times151}{2}=20100-11325=8775\) है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प 8825 जैसी संख्या सामान्यतः जोड़ या घटाव में त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को सीधे शेष क्रम, अर्थात 151 से 200, के योग के रूप में भी पहचानें। / Subtracting the sum from 1 to 150 from the sum from 1 to 200 leaves only the terms from 151 to 200. Thus, \(S_{200}-S_{150}=\frac{200\times201}{2}-\frac{150\times151}{2}=20100-11325=8775\). Therefore, option B is correct. A value such as 8825 can result from an arithmetic error in the addition or subtraction. Exam tip: recognise such a difference directly as the sum of the remaining consecutive terms, from 151 to 200.
पहली 175 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\\) और पहली 125 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(S_{125}=\frac{125\times126}{2}=7875\\) है। अतः अंतर \\(15400-7875=7525\\) होगा। यह वास्तव में 126 से 175 तक की संख्याओं का योग है; 7475 लेने पर घटाव में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: पहले \\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\\) लगाएँ, फिर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 175 natural numbers is \\(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\\), while the sum of the first 125 natural numbers is \\(S_{125}=\frac{125\times126}{2}=7875\\). Therefore, the difference is \\(15400-7875=7525\\). This is also the sum of the numbers from 126 to 175; 7475 results from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: use \\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\\) for each sum and then subtract.
यदि \(S_n\) प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो आवश्यक संख्या \(S_{105}-S_{95}\) होगी। अतः \(96+97+\cdots+105\) जोड़ना होगा। यह 10 पदों की श्रेणी है, जिसका औसत \(\frac{96+105}{2}=100.5\) है; इसलिए योग \(10\times100.5=1005\) है। 1015 जैसा विकल्प तब आएगा जब पदों की संख्या या अंतिम पद गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: दो आंशिक योगों का अंतर लेने पर बीच के पद ही बचते हैं। / If \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, the required number is \(S_{105}-S_{95}\). Thus, we must add \(96+97+\cdots+105\). There are 10 terms, with average \(\frac{96+105}{2}=100.5\), so their sum is \(10\times100.5=1005\). A distractor such as 1015 can result from incorrectly counting the terms or the last term. Exam tip: the difference of two partial sums leaves only the intervening terms.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{200}=\frac{200\times201}{2}=20100\) और \(S_{160}=\frac{160\times161}{2}=12880\)। इसलिए अपेक्षित अंतर \(20100-12880=7220\) है। यह वास्तव में 161 से 200 तक की संख्याओं का योग है; इसलिए 7120 जैसा विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों योग अलग-अलग निकालने के बजाय शेष क्रम 161 से 200 पहचानकर भी जाँच कर सकते हैं। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{200}=\frac{200\times201}{2}=20100\) and \(S_{160}=\frac{160\times161}{2}=12880\). Therefore, the required difference is \(20100-12880=7220\). It is also the sum of the numbers from 161 to 200, so an option such as 7120 is incorrect. Exam tip: You can verify such a difference by recognising the remaining sequence from 161 to 200.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{135}=\frac{135\times136}{2}=9180\) और \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\)। इसलिए अंतर \(9180-4095=5085\) है। यह वास्तव में 91 से 135 तक की संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में \(S_{135}-S_{90}\) लिखकर दोनों योग सूत्र से निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{135}=\frac{135\times136}{2}=9180\) and \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Therefore, the difference is \(9180-4095=5085\). Equivalently, it is the sum of the numbers from 91 to 135. Exam tip: write \(S_{135}-S_{90}\) first, then apply the sum formula.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\) और \(S_{18}=171\)। इसलिए \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\)। विकल्प 3143 में घटाव करते समय 20 की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग से निकालें, फिर जोड़-घटाव करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\), and \(S_{18}=171\). Therefore, \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\). The option 3143 can result from an error of 20 while subtracting. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before performing the final addition and subtraction.
क्योंकि \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या \(69\) से \(75\) तक के पदों का योग होगी। यहाँ 7 पद हैं, अतः योग \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\) है। इसलिए सही उत्तर 504 है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) निकालते समय \(a+1\) से \(b\) तक के पद जोड़ें। / Since \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), the required number is the sum of the terms from 69 to 75. There are 7 terms, so their sum is \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\). Hence, 504 is correct. Exam tip: When finding \(S_b-S_a\), add the terms from \(a+1\) to \(b\).
पहली 150 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{150\times151}{2}=11325\) और पहली 125 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{125\times126}{2}=7875\) है। अतः अंतर \(11325-7875=3450\) होगा। यह वास्तव में 126 से 150 तक की संख्याओं का योग है। 3425 निकट का विकल्प है, पर वह सही गणना से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को शेष क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में भी पहचानें। / The sum of the first 150 natural numbers is \(\frac{150\times151}{2}=11325\), and the sum of the first 125 natural numbers is \(\frac{125\times126}{2}=7875\). Therefore, the difference is \(11325-7875=3450\). It is also the sum of the numbers from 126 to 150. Although 3425 is close, it does not result from the correct calculation. Exam tip: interpret such a difference as the sum of the remaining consecutive terms.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\)। इसलिए अपेक्षित अंतर \(4095-1035=3060\) है। विकल्प 4095 केवल पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में \(S_{90}-S_{45}\) लिखकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, the required difference is \(4095-1035=3060\). The value 4095 is only the sum of the first 90 natural numbers, not the difference. Exam tip: write \(S_{90}-S_{45}\) before calculating in such questions.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=1326\) से \(n=51\) मिलता है। अतः \(n+7=58\) और \(S_{58}=\frac{58\times59}{2}=1711\)। विकल्प 1671 सही नहीं है, क्योंकि वह 58 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर बदले हुए सूचकांक पर योग का सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=1326\), we get \(n=51\). Hence, \(n+7=58\), and \(S_{58}=\frac{58\times59}{2}=1711\). Option 1671 is not correct because it is not the sum of natural numbers up to 58. Exam tip: first determine \(n\) from the given sum, then apply the formula at the new index.
पहली 120 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\) तथा पहली 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=3240\) है। अतः अंतर
\(7260-3240=4020\) होगा। यह वास्तव में 81 से 120 तक की संख्याओं का योग है। 4060 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब क्रम की शुरुआती या अंतिम संख्या गलत ली जाए। परीक्षा टिप: पहले \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 120 natural numbers is
\(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), and the sum of the first 80 natural numbers is
\(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=3240\). Therefore, the difference is
\(7260-3240=4020\). It is also the sum of the numbers from 81 to 120. A value such as 4060 can result from taking an incorrect starting or ending term. Exam tip: use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) for each sum before subtracting.
यह 71 से 100 तक की 30 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः योग
\(\frac{30}{2}(71+100)=15\times171=2565\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। 2535 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत लेने में गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं के योग के लिए हमेशा पदों की संख्या \((\text{अंतिम}-\text{प्रथम}+1)\) पहले गिनें। / These are 30 consecutive natural numbers from 71 to 100. Therefore, their sum is \(\frac{30}{2}(71+100)=15\times171=2565\). Hence, option B is correct. A value such as 2535 can result from an error in counting the number of terms or finding the average. Exam tip: for consecutive numbers, first count the terms using \((\text{last}-\text{first}+1)\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\) से \(n=80\) मिलता है। अतः \(S_{n-4}=S_{76}\) होगा। \(S_{76}=S_{80}-(77+78+79+80)=3240-314=2926\)। विकल्प 2916 में अंतिम चार संख्याओं का योग गलत घटाया गया है। परीक्षा टिप: \(S_{n-k}\) ज्ञात करने के लिए \(S_n\) में से अंतिम k पद घटाइए। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\), we get \(n=80\). Therefore, \(S_{n-4}=S_{76}\). Now \(S_{76}=S_{80}-(77+78+79+80)=3240-314=2926\). Option 2916 results from subtracting the last four terms incorrectly. Exam tip: To find \(S_{n-k}\), subtract the last k terms from \(S_n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) और \(S_{75}=\frac{75\times76}{2}=2850\)। आवश्यक अंतर \(5050-2850=2200\) है, इसलिए विकल्प B सही है। यह वास्तव में 76 से 100 तक की संख्याओं का योग है। विकल्प 2250, \(S_{75}\) के गलत मान या घटाव में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(S_b-S_a\) या \(a+1\) से \(b\) तक के पदों के योग के रूप में देखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) and \(S_{75}=\frac{75\times76}{2}=2850\). The required difference is \(5050-2850=2200\), so option B is correct. It is also the sum of the integers from 76 to 100. Option 2250 can result from an incorrect value of \(S_{75}\) or a subtraction error. Exam tip: interpret \(S_b-S_a\) as the sum of terms from \(a+1\) to \(b\).
