पहली 40 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\) और पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\) है। अतः आवश्यक अंतर \(820-210=610\) है, इसलिए विकल्प C सही है। 600 प्राप्त करना प्रायः गुणा या घटाव की गणना में त्रुटि के कारण होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 40 natural numbers is \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\), and the sum of the first 20 natural numbers is \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, the required difference is \(820-210=610\), so option C is correct. Getting 600 usually results from an arithmetic error in multiplication or subtraction. Exam tip: In such questions, use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and subtract the two sums.
पहले 150 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(\frac{150\times151}{2}=11325\) है और पहले 100 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{100\times101}{2}=5050\) है। अतः अंतर \(11325-5050=6275\) होगा। यह वास्तव में 101 से 150 तक की संख्याओं का योग है। 6175 जैसा निकट विकल्प गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर वाले प्रश्न में शेष पदों की सीमा 101 से शुरू होती है, 100 से नहीं। / The sum of the first 150 natural numbers is \(\frac{150\times151}{2}=11325\), and the sum of the first 100 natural numbers is \(\frac{100\times101}{2}=5050\). Therefore, the difference is \(11325-5050=6275\). Equivalently, it is the sum of the numbers from 101 to 150. A nearby value such as 6175 results from an incorrect calculation. Exam tip: when subtracting two consecutive sums, the remaining terms begin at 101, not 100.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=3655\) से \(n=85\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{85\times86}{2}=3655\)। अतः \(S_n-S_{n-4}=S_{85}-S_{81}\), यानी अंतिम चार पदों \(82+83+84+85\) का योग। यह \(334\) है। 330 केवल \(81+82+83+84\) लेने पर मिलता, जो गलत चार पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा n तक के अंतिम r पदों का योग देता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3655\), we get \(n=85\), since \(\frac{85\times86}{2}=3655\). Therefore, \(S_n-S_{n-4}=S_{85}-S_{81}\), which is the sum of the last four terms: \(82+83+84+85=334\). The value 330 would result from adding \(81+82+83+84\), which is not the required set of final four terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) equals the sum of the last r terms up to n.
पहले 120 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{120\times121}{2}=7260\) है और पहले 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{80\times81}{2}=3240\) है। अतः आवश्यक परिणाम \(7260-3240=4020\) होगा। यह वास्तव में 81 से 120 तक की संख्याओं का योग है। 4040 जैसा विकल्प घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 120 natural numbers is \(\frac{120\times121}{2}=7260\), and the sum of the first 80 natural numbers is \(\frac{80\times81}{2}=3240\). Therefore, the required result is \(7260-3240=4020\). This is also the sum of the numbers from 81 to 120. An option such as 4040 can result from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and subtract the two sums carefully.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) और \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\)। इसलिए अंतर \(2628-1176=1452\) है। यह वास्तव में 49 से 72 तक की संख्याओं का योग है; 1462 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि है। परीक्षा में अंतर वाले प्रश्नों में सीधे \(S_{72}-S_{48}\) लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) and \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\). Hence, the difference is \(2628-1176=1452\). It is also the sum of the numbers from 49 to 72; an option such as 1462 results from an arithmetic error. Exam tip: for such questions, write \(S_{72}-S_{48}\) directly.
पहले 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{80\times81}{2}=3240\) और पहले 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{50\times51}{2}=1275\) है। अतः आवश्यक अंतर \(3240-1275=1965\) होगा। यह सीधे 51 से 80 तक की संख्याओं का योग भी है। 1975 जैसे निकट विकल्प से बचने के लिए दोनों योगों की गणना में \(n(n+1)/2\) सूत्र सावधानी से लगाएँ। / The sum of the first 80 natural numbers is \(\frac{80\times81}{2}=3240\), and the sum of the first 50 natural numbers is \(\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, the required difference is \(3240-1275=1965\). Equivalently, it is the sum of the integers from 51 to 80. Exam tip: use \(n(n+1)/2\) carefully for both sums to avoid a close error such as 1975.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2485\) से \(n=70\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{70\times71}{2}=2485\)। अतः \(S_n-S_{n-5}=S_{70}-S_{65}\), अर्थात अंतिम पाँच संख्याओं \(66,67,68,69,70\) का योग। इसलिए \(66+67+68+69+70=340\)। विकल्प 350 लेने पर पाँच पदों के सही आरंभिक पद 66 को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा अंतिम \(r\) पदों का योग दर्शाता है। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=2485\), we get \(n=70\), since \(\frac{70\times71}{2}=2485\). Therefore, \(S_n-S_{n-5}=S_{70}-S_{65}\), which is the sum of the last five numbers: \(66,67,68,69,70\). Hence, \(66+67+68+69+70=340\). Choosing 350 would miss the correct first term, 66, among these five terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) always represents the sum of the last \(r\) terms.
पहली 67 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 62 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 63 से 67 तक के पद बचते हैं। अतः आवश्यक योग \(63+64+65+66+67=325\) है। इसलिए विकल्प B सही है। 315 लेने पर पदों का योग गलत होगा। परीक्षा टिप: ऐसे दो क्रमिक योगों का अंतर, उनके बीच आने वाले पदों का योग होता है। / When the sum of the first 62 natural numbers is subtracted from the sum of the first 67 natural numbers, only the terms from 63 to 67 remain. Thus, \(63+64+65+66+67=325\). Hence, option B is correct. A value of 315 would result from an incorrect addition of these terms. Exam tip: the difference of two consecutive partial sums equals the sum of the intervening terms.
पहली 39 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\) है। अतः आवश्यक अंतर \(780-39=741\) होगा। इसलिए सही विकल्प 741 है। ध्यान दें कि 39 घटाने पर अंतिम संख्या हट जाती है, इसलिए यह वास्तव में पहली 38 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{38}\) भी है। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) से योग निकालें, फिर प्रश्नानुसार घटाएँ। / The sum of the first 39 natural numbers is \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\). Therefore, the required difference is \(780-39=741\). Hence, 741 is the correct option. Subtracting 39 removes the last term, so the result is also the sum of the first 38 natural numbers, \(S_{38}\). Exam tip: First use \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the sum, then perform the required subtraction.
पहले 20 चरणों के अंक 1 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग हैं: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अगले 5 चरणों में 0 अंक हैं, इसलिए वे कुल योग में कोई वृद्धि नहीं करते। अतः कुल अंक 210 हैं। 200 एक सामान्य गलती हो सकती है, यदि योग के सूत्र में \(n+1\) के स्थान पर 20 ले लिया जाए। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक का योग हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) से निकालें। / The marks in the first 20 stages are the sum of natural numbers from 1 to 20: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). The next 5 stages contribute 0 marks, so they do not change the total. Therefore, the total score is 210. A common error is getting 200 by forgetting the \(n+1\) factor in the sum formula. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum from 1 to \(n\).
पहली 72 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 72 भी शामिल है। इसलिए पहली 71 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए 2628 में से 72 घटाएँ: \(2628-72=2556\)। विकल्प B में 71 घटाना एक सामान्य गलती है, जबकि हटाई जाने वाली संख्या 72 है। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n-1}\) पाने के लिए हमेशा \(n\) घटाते हैं। / The sum of the first 72 natural numbers includes the last number, 72. Therefore, subtract 72 from 2628 to get the sum of the first 71 natural numbers: \(2628-72=2556\). Option B results from the common mistake of subtracting 71; the number removed is 72. Exam tip: to obtain \(S_{n-1}\) from \(S_n\), subtract \(n\).
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=666\) से \(n=36\) मिलता है। अतः \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\)। 740 केवल एक कम है और उसमें दोनों अगली प्राकृतिक संख्याओं का सही योग नहीं जुड़ता। परीक्षा टिप: \(S_{n+2}\) निकालते समय \(S_n\) में \(n+1\) और \(n+2\) जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=666\), we get \(n=36\). Therefore, \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\). Option 740 is one less and does not include the correct sum of the next two natural numbers. Exam tip: to find \(S_{n+2}\), add \(n+1\) and \(n+2\) to \(S_n\).
पहले 28 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) होता है। अतः \(S_{28}+28=406+28=434\)। विकल्प 435, \(S_{29}\) का मान है, क्योंकि उसमें 406 में 29 जोड़ा जाता है, 28 नहीं। परीक्षा टिप: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाकर दिए गए पद को अलग से जोड़ें। / The sum of the first 28 natural numbers is \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\). Therefore, \(S_{28}+28=406+28=434\). Option 435 is \(S_{29}\), because 29—not 28—is added to 406. Exam tip: Use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), then add the separately given number carefully.
पहली 58 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 55 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 56, 57 और 58 बचते हैं। अतः अंतर = 56 + 57 + 58 = 171। 174 विकल्प में 3 की अधिक गणना हो जाती है। परीक्षा टिप:
\(S_n-S_m\) निकालते समय \(m+1\) से \(n\) तक के पदों का योग लें। / When the sum of the first 55 natural numbers is subtracted from the sum of the first 58 natural numbers, only 56, 57, and 58 remain. Thus, the difference is 56 + 57 + 58 = 171. Option 174 is 3 too large. Exam tip: to find \(S_n-S_m\), add the terms from \(m+1\) to \(n\).
पहली 34 प्राकृतिक संख्याओं के योग में, पहली 31 संख्याओं के योग के बाद वाली संख्याएँ 32, 33 और 34 जोड़नी होंगी। अतः \(S_{34}=496+32+33+34=595\)। इसलिए सही उत्तर 595 है। केवल 34 जोड़ना गलत होगा, क्योंकि 32 और 33 भी नए पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n+k}\) तक जाने पर बीच के सभी पद जोड़ें। / To obtain the sum of the first 34 natural numbers, add the numbers after 31, namely 32, 33, and 34, to the given sum. Thus, \(S_{34}=496+32+33+34=595\). Therefore, 595 is correct. Adding only 34 would be incorrect because 32 and 33 are also new terms. Exam tip: When moving from \(S_n\) to \(S_{n+k}\), add every intervening term.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\) तथा \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\)। इसलिए \(S_{35}-S_{19}=630-190=440\)। यह 20 से 35 तक की प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर भी है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) का अर्थ \(a+1\) से \(b\) तक का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\) and \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\). Therefore, \(S_{35}-S_{19}=630-190=440\). It is also the sum of the natural numbers from 20 to 35. Exam tip: \(S_b-S_a\) represents the sum from \(a+1\) to \(b\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) और \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\)। इसलिए \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\)। यह वास्तव में 24 से 41 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। 575 केवल निकट का मान है, सही अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों योग निकालने के बजाय 24 से 41 तक के पदों का योग भी सीधे लिया जा सकता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) and \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\). Therefore, \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\). This is also the sum of the natural numbers from 24 to 41. Option 575 is only a nearby value, not the correct difference. Exam tip: You may also directly find the sum from 24 to 41 in such questions.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। इसलिए \(S_{30}:S_{20}=465:210=31:14\)। विकल्प 31:15 में दूसरा पद सही अनुपात के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात को हमेशा दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरलतम रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, \(S_{30}:S_{20}=465:210=31:14\). In 31:15, the second term does not match the simplified ratio. Exam tip: always divide both terms of a ratio by their greatest common factor to obtain the simplest form.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) होता है। अतः पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{20\times21}{2}=210\\) और पहले 5 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{5\times6}{2}=15\\) है। इसलिए कुल योग \\(210+15=225\\) होगा। 220 केवल पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग नहीं है; वह गलत गणना से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों योग अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / The sum of the first n natural numbers is \\(\frac{n(n+1)}{2}\\). Thus, the sum of the first 20 natural numbers is \\(\frac{20\times21}{2}=210\\), and the sum of the first 5 natural numbers is \\(\frac{5\times6}{2}=15\\). Therefore, the required total is \\(210+15=225\\). The value 220 does not equal the sum of the first 20 natural numbers and may result from an incorrect calculation. Exam tip: calculate each sum separately before adding them.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) और \(S_{14}=\frac{14\times15}{2}=105\)। इसलिए अंतर \(406-105=301\) है। 291 पाने की गलती प्रायः 14 तक की संख्याओं को सही ढंग से घटाने के बजाय गणना में त्रुटि करने से होती है। परीक्षा टिप: अंतर वाले प्रश्न में दोनों योगों का सूत्र लगाकर बड़े योग में से छोटा योग घटाएँ। / The sum of the first n natural numbers is
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) and \(S_{14}=\frac{14\times15}{2}=105\). Therefore, the difference is \(406-105=301\). An answer such as 291 usually results from an arithmetic error while subtracting the sum up to 14. Exam tip: for a difference of sums, calculate both sums using the formula and subtract the smaller one from the larger one.
पहली 100 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 91 से 100 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः योग = \(91+92+\cdots+100\) = \(\frac{(91+100)\times10}{2}=955\)। इसलिए सही विकल्प B है। 945 निकट का विकल्प है, पर वह 91 से 100 तक के सही औसत \(95.5\) का उपयोग नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; शेष पदों की सीमा सीधे लिखें। / Subtracting the sum of the first 90 natural numbers from the sum of the first 100 leaves only the numbers from 91 to 100. Thus, the sum is \(91+92+\cdots+100=\frac{(91+100)\times10}{2}=955\). Therefore, option B is correct. 945 is a close distractor, but it does not use the correct average, \(95.5\), of the numbers from 91 to 100. Exam tip: In such differences, cancel the common initial terms and write the remaining range directly.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अतः आवश्यक अंतर \(1830-210=1620\) है। यह वास्तव में 21 से 60 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर शेष पदों की सीमा अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, the required difference is \(1830-210=1620\). It is also the sum of the natural numbers from 21 to 60. Exam tip: when subtracting two partial sums, check the range of terms left over.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) और \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\)। इसलिए \(S_{33}-S_{22}=561-253=308\)। यह \(23\) से \(33\) तक की संख्याओं का योग भी है; \(298\) जैसे विकल्प में पदों की संख्या या योग की गणना गलत हो सकती है। परीक्षा टिप: \(S_m-S_n\) को \((n+1)\) से \(m\) तक का योग समझें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) and \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\). Therefore, \(S_{33}-S_{22}=561-253=308\). It is also the sum of the integers from \(23\) to \(33\); an option such as \(298\) can result from an incorrect term count or sum. Exam tip: interpret \(S_m-S_n\) as the sum from \((n+1)\) to \(m\).
पहले 15 चरणों के अंक 1 से 15 तक हैं, इसलिए उनका योग
\(\frac{15\times16}{2}=120\) होगा। अगले 10 चरणों में शून्य अंक मिलने से कुल योग में कोई परिवर्तन नहीं होता। 130 तब होता, जब दिए गए अंकों का योग 120 से 10 अधिक होता, पर यहाँ 10 अतिरिक्त अंक नहीं, बल्कि शून्य अंक हैं। परीक्षा टिप: 1 से n तक के प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The marks in the first 15 steps are 1 through 15, so their sum is \(\frac{15\times16}{2}=120\). The next 10 steps contribute zero marks, so they do not change the total. Option 130 would require 10 additional marks, but these steps add zero, not 10. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of natural numbers from 1 to n.
पहले 16 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{16}=\frac{16\times17}{2}=136\) होता है। अतः \(S_{16}+16=136+16=152\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 136 केवल \(S_{16}\) का मान है; उसमें 16 जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में दिए गए \(n\) को पहले सही पहचानें, फिर अतिरिक्त पद अलग से जोड़ें। / The sum of the first 16 natural numbers is \(S_{16}=\frac{16\times17}{2}=136\). Therefore, \(S_{16}+16=136+16=152\), so option C is correct. The value 136 is only \(S_{16}\); it does not include the additional 16. Exam tip: first use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) correctly, then add any extra term separately.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए \(S_{25}-S_{10}=325-55=270\)। यह 11 से 25 तक की प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर भी है। 260 प्राप्त करना सामान्यतः किसी एक योग की गणना में त्रुटि होने के कारण होता है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर बीच की संख्याओं का योग सीधे मिल जाता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, \(S_{25}-S_{10}=325-55=270\). This is also the sum of the natural numbers from 11 to 25. Getting 260 usually results from an error while calculating one of the two sums. Exam tip: the difference of two consecutive-range sums directly gives the sum of the terms between them.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=80\), इसलिए \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। अतः सही विकल्प 3240 है। 3200 एक संभावित गलती है, जो \(80\times80/2\) लेने पर मिलती है; सूत्र में \(n+1\) अवश्य आता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में अंतिम संख्या n रखने के बाद \(n(n+1)/2\) लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=80\), so \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Therefore, 3240 is the correct option. 3200 can result from the common error of using \(80\times80/2\); the formula must include \(n+1\). Exam tip: Substitute the last number for n and use \(n(n+1)/2\).
पहली 54 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1475 जैसे विकल्प में गुणा या आधा करने की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n\) के स्थान पर हमेशा अंतिम प्राकृतिक संख्या रखें। / The sum of the first 54 natural numbers is found using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\). Therefore, 1485 is correct. A value such as 1475 can result from an error while multiplying or dividing by 2. Exam tip: Substitute the last natural number for \(n\) in the formula.
पहली 29 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाते हैं। अतः \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\)। इसलिए सही उत्तर 435 है। 425 जैसे विकल्प में गुणनफल को 2 से सही प्रकार विभाजित नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Use the formula \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\). Therefore, 435 is the correct answer. A value such as 425 results from an incorrect calculation while applying the formula. Exam tip: for a sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
यह 1 से 13 तक के प्राकृतिक संख्याओं का योग है। सूत्र \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n=13\) रखने पर \(\frac{13\times14}{2}=91\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 91 है। 78, 1 से 12 तक का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: अंतिम पद \(n\) पहचानकर सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / This is the sum of natural numbers from 1 to 13. Using \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), with \(n=13\), we get \(\frac{13\times14}{2}=91\). Hence, 91 is correct. Note that 78 is the sum from 1 to 12, so it is a close but incorrect option. Exam tip: identify the last term as \(n\) and apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
