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रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, लेकिन उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। संख्या और ग्राफ-आकार को अलग रखें। / There is one empty function from the empty domain, but its graph has no ordered pair. Keep the count and graph size separate.
रिक्त प्रांत से रिक्त सहप्रांत में भी एक खाली फलन होता है। इसे सूत्र \(0^0=1\) की फलन-संदर्भ व्याख्या से याद रखें। / From an empty domain to an empty codomain, there is one empty function. Remember this as the function-context meaning of \(0^0=1\).
दोनों अंतरों के रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चयों में कोई अतिरिक्त अवयव नहीं है। इसलिए (A=B) होगा। / Both differences being empty means neither set has any extra element. Therefore (A=B).
(A) में दो अलग तत्व हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। / (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence (|\mathcal{P}(A)|=22=4).
(A) में तीन अलग तत्व \(\emptyset,{\emptyset},0\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=23=8) है। / (A) has three distinct elements \(\emptyset,{\emptyset},0\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
(A) में दो अलग तत्व \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। / (A) has two distinct elements \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=22=4).
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
\({\emptyset,1}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। लेकिन यह (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / The set \({\emptyset,1}\) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). But it is not listed as an element of (A).
(2) समुच्चय (A) का सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय में हर सदस्य मूल समुच्चय में होना चाहिए। / The element (2) is not in (A). Every element of a subset must belong to the original set.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय में कोई विरोधी सदस्य नहीं होता। इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। / The empty set has no counterexample element. Therefore it is a subset of every set.
रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, और उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। फलनों की संख्या और ग्राफ के युग्मों की संख्या अलग बातें हैं। / There is one empty function from the empty domain, and its graph has no ordered pair. The number of functions and the number of graph pairs are different facts.
रिक्त प्रांत से किसी भी समुच्चय में एक ही खाली फलन होता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) भी यही देता है। / From the empty domain to any set, there is exactly one empty function. The formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\) gives the same result.
गैर-रिक्त प्रांत के तत्वों को \(\emptyset\) में कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। इसलिए कोई फलन नहीं बनेगा। / Elements of a non-empty domain cannot get any image in \(\emptyset\). Therefore no function can be formed.
रिक्त प्रांत में कोई इनपुट नहीं है, इसलिए ग्राफ में कोई युग्म नहीं होगा। फिर भी यह रिक्त फलन माना जाता है। / An empty domain has no input, so the graph has no pair. Still it is considered the empty function.
रिक्त प्रांत से एक रिक्त फलन माना जाता है। गिनती से भी \(|B|^0=1\) मिलता है। / From an empty domain, one empty function is considered. Counting also gives \(|B|^0=1\).
असंबद्ध समुच्चयों में सामान्य भाग (0) होता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=15+18=33)। / For disjoint sets, the common part is (0). Therefore (n\(A\cup B\)=15+18=33).
यदि दो समुच्चयों में कोई सामान्य अवयव नहीं है, तो वे असंबद्ध कहलाते हैं। प्रतीक \(\emptyset\) को शून्य अवयव समझें। / If two sets have no common element, they are called disjoint sets. Understand \(\emptyset\) as having no element.
\(A\cap \emptyset\) में कोई सामान्य अवयव नहीं हो सकता। इसलिए उत्तर हमेशा \(\emptyset\) होता है। / There can be no common element in \(A\cap \emptyset\). Therefore the answer is always \(\emptyset\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संघ लेने पर (A) नहीं बदलता। पहचान नियम \(A\cup \emptyset=A\) याद रखें। / The empty set has no element, so union with it does not change (A). Remember the identity law \(A\cup \emptyset=A\).
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) तत्व बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) elements.
रिक्त समुच्चय का पूरक पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है। इसलिए (A'=U)। / The complement of the empty set is the whole universal set. Hence (A'=U).
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय (4) उपसमुच्चयों से बनता है। यहाँ \(\emptyset\) भी (A) का एक तत्व है। / A two-element set has (4) subsets in its power set. Here \(\emptyset\) is also an element of (A).
दिए गए घात समुच्चय में मूल समुच्चय का सबसे बड़ा उपसमुच्चय ({p,q}) है। इसलिए \(A=\{p,q\}\)। / The largest subset shown in the power set is ({p,q}), which is the original set. Hence \(A=\{p,q\}\).
\({\emptyset,2}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। (1) और ({2}), (A) के तत्व नहीं हैं। / \({\emptyset,2}\) is a subset of (A), so it is an element of the power set. (1) and ({2}) are not elements of (A).
(\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) होता है इसलिए उसका सदस्य \(\emptyset\) है। \({\emptyset}\) पूरा घात समुच्चय है सदस्य नहीं। / (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}), so its member is \(\emptyset\). \({\emptyset}\) is the whole power set not its member.
रिक्त समुच्चय में (U) का कोई तत्व नहीं है इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। पूरक हमेशा संदर्भ पर निर्भर है। / The empty set contains no element of (U), so its complement is the whole (U). Complement always depends on the context.
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है इसलिए यह उसके घात समुच्चय का तत्व है। यह बहुत सामान्य परीक्षा भ्रम है। / \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is an element of its power set. This is a common exam confusion.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (3) तत्व हैं इसलिए \(2^3=8\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (3) elements so the power set has \(2^3=8\) elements.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए यह हर घात समुच्चय का तत्व होता है। / \(\emptyset\) is a subset of every set. Therefore it is an element of every power set.
यहां \(\emptyset\) भी एक तत्व है इसलिए (A) में कुल (3) तत्व हैं। अतः \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / Here \(\emptyset\) is also one element so (A) has (3) elements. Thus there are \(2^3=8\) subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
यहां (A) में दो तत्व हैं जो \(\emptyset\) और (1) हैं। इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / Here (A) has two elements which are \(\emptyset\) and (1). Therefore there are \(2^2=4\) subsets.
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
पूरक तब रिक्त होगा जब (A) ने पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को ले लिया हो। इसलिए (A=U) सही स्थिति है। / The complement is empty when (A) takes the whole universal set. Therefore (A=U) is the correct case.
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / \(\emptyset\) is a subset of every set. So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
(A) में एक तत्व है और वह \(\emptyset\) है। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=21=2) है। / (A) has one element and that element is \(\emptyset\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=21=2).
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}).
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के बाहर कोई सदस्य नहीं है। इसलिए दोनों बराबर हैं। / We have \(A\subseteq B\), and (B) has no element outside (A). Therefore the two sets are equal.
यदि \(\emptyset\) सदस्य है, तो (A) में कम से कम एक सदस्य है। इसे \(\emptyset\subseteq A\) से न मिलाएं। / If \(\emptyset\) is an element, then (A) has at least one element. Do not confuse it with \(\emptyset\subseteq A\).
\(\emptyset\) (A) का सदस्य है और हर समुच्चय का उपसमुच्चय भी है। सदस्यता और उपसमुच्चय दोनों जांचें। / \(\emptyset\) is an element of (A) and also a subset of every set. Check both membership and subset relation.
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
यहाँ (A) में एक सदस्य है और वह \(\emptyset\) है। \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग रखें। / Here (A) has one element, namely \(\emptyset\). Keep \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) distinct.
(A) में \(\emptyset\) एक तत्व है इसलिए \({\emptyset}\) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय को तत्व के रूप में भी पहचाने। / \(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। परीक्षा में \(2^0=1\) याद रखें। / The empty set has only one subset which is the empty set itself. In exams remember \(2^0=1\).
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के दोनों तत्व (B) में हैं पर (B) में अतिरिक्त तत्व \(\emptyset\) है। परीक्षा में अतिरिक्त तत्व बराबरी को तोड़ देता है। / Both elements of (A) are in (B) but (B) has the extra element \(\emptyset\). In exams an extra element breaks equality.
({}) वही रिक्त समुच्चय है इसलिए (A) और (B) दोनों में एक ही तत्व है। परीक्षा में \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग पहचानें। / The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
{1,{∅}} के सभी तत्व A में हैं, इसलिए यह A का उपसमुच्चय है और P(A) का तत्व है। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of {1,{∅}} are in A, so it is a subset of A and an element of P(A). In exams, the elements of a power set are always subsets of the original set.
\(\varnothing\) में पहले से कोई अवयव नहीं है, इसलिए कुछ भी नहीं बचेगा। याद रखें \(\varnothing-A=\varnothing\) होता है। / The empty set has no element from the start, so nothing remains. Remember \(\varnothing-A=\varnothing\).
\(\varnothing\) से कोई अवयव हटाने के लिए नहीं है, इसलिए \(A-\varnothing=A\) है। अंतर में हटाए जाने वाले समुच्चय को ध्यान से देखें। / There is no element in \(\varnothing\) to remove, so \(A-\varnothing=A\). In difference, check the removing set carefully.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए सामान्य अवयव भी नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का मूल पहचान सूत्र है। / The empty set has no element, so \(A\cup \varnothing=A\). This is a basic identity of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। पहचान सूत्रों को याद रखना आसान अंक दिलाता है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). Knowing identity rules helps in quick scoring.
