In such questions, do not miss the product term. चरण 1: नियम में (a=2) और (b=5) रखें। चरण 2: \(2*5=2+5+2\cdot 5=17\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन वाले पद को छोड़ना सबसे सामान्य गलती होती है।
The rule first requires the square of the first element.
Step 2
Why this answer is correct
(3*4=32+2(4)=9+8=17).
Step 3
Exam Tip
Complete powers and multiplication before addition. चरण 1: पहले नियम में पहले अवयव का वर्ग लेना है। चरण 2: (3*4=32+2(4)=9+8=17)। चरण 3: वर्ग और गुणा को जोड़ से पहले पूरा करें।
Always perform the operation inside the brackets first. चरण 1: पहले (5*2=2(5)-2=8) निकालें। चरण 2: फिर (8*3=2(8)-3=13)। चरण 3: कोष्ठक में दी गई संक्रिया हमेशा पहले करें।
Write every intermediate value clearly to avoid option confusion. चरण 1: पहले (2*3=2(2)-3=1) मिलेगा। चरण 2: अब (5*1=2(5)-1=9)। चरण 3: यदि विकल्पों में भ्रम हो तो हर मध्य मान साफ लिखें।
For identity (e), (\max(a,e)=a) must hold for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is the smallest element, so (\max(a,0)=a).
Step 3
Exam Tip
For a maximum operation, the smallest element is the identity. चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) पर होना चाहिए। चरण 2: (0) सबसे छोटा अवयव है, इसलिए (\max(a,0)=a)। चरण 3: अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा अवयव तत्समक होता है।
For a minimum operation, the greatest element is the identity. चरण 1: (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। चरण 2: (3) सबसे बड़ा अवयव है, इसलिए (\min(a,3)=a)। चरण 3: न्यूनतम वाली संक्रिया में सबसे बड़ा अवयव तत्समक होता है।
Cancel (a) from both sides and solve using the constant term. चरण 1: तत्समक के लिए (a*e=a) लिखें। चरण 2: (a+e-3=a) से (e=3) मिलता है। चरण 3: दोनों ओर से (a) हटाकर स्थिर पद से (e) निकालें।
While finding inverse, set the result equal to the identity element. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (7*x=3) होना चाहिए। चरण 2: (7+x-3=3) से (x=-1) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक अवयव के बराबर रखें।
This gives (e(1+a)=0), and (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
Quickly check the value in (e*a) also. चरण 1: (a*e=a) रखने पर (a+e+ae=a) मिलता है। चरण 2: इससे (e(1+a)=0) है और (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। चरण 3: मिले हुए (e) को (e*a) में भी जल्दी जाँच लें।
Bring all terms to one side and solve a simple equation. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (2*x=0) होना चाहिए। चरण 2: (2+x+2x=0) से (3x=-2) और \(x=-\frac{2}{3}\)। चरण 3: प्रतिलोम में सभी पदों को एक तरफ लाकर सरल समीकरण बनाएं।
An identity element must work for every (a), not just one value. चरण 1: (a*e=a) लिखने पर (a+e+2ae=a) मिलता है। चरण 2: (e(1+2a)=0) से (e=0) हर (a) के लिए सही है। चरण 3: तत्समक अवयव किसी एक (a) के लिए नहीं, हर (a) के लिए होना चाहिए।
Combine like terms and solve the equation carefully. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (1*x=0) चाहिए। चरण 2: (1+x+2x=0) से (3x=-1) और \(x=-\frac{1}{3}\)। चरण 3: समान चर वाले पदों को जोड़कर समीकरण हल करें।
A. हाँ क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है/Yes because the result is always an integer
Step 1
Concept
The sum of two integers is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) still gives an integer.
Step 3
Exam Tip
For closure, only check whether the result stays in the same set. चरण 1: दो पूर्णांकों का योग पूर्णांक होता है। चरण 2: उसमें (1) जोड़ने पर भी परिणाम पूर्णांक ही रहता है। चरण 3: बंदता में केवल यह देखें कि परिणाम उसी समुच्चय में रहता है या नहीं।
One valid counterexample is enough to disprove closure. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या नहीं आती। चरण 2: (2*5=2-5=-3), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है।
A. क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का औसत परिमेय होता है/Because the average of two rational numbers is rational
Step 1
Concept
The sum of two rational numbers is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Dividing a rational number by (2) also gives a rational number.
Step 3
Exam Tip
An average-based rule remains closed on rational numbers. चरण 1: दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। चरण 2: किसी परिमेय संख्या को (2) से भाग देने पर भी परिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: औसत वाले नियम में परिमेय संख्याओं पर बंदता सुरक्षित रहती है।
For commutativity, compare the values in both orders. चरण 1: \(a*b=\frac{a+b}{2}\) और \(b*a=\frac{b+a}{2}\) है। चरण 2: (a+b=b+a), इसलिए दोनों बराबर हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता में दोनों क्रमों के मानों की तुलना करें।
The two values are different, so the operation is generally not associative. चरण 1: (1*3=2), इसलिए ((1*3)*5=2*5=\frac{7}{2})। चरण 2: (3*5=4), इसलिए (1*(3*5)=1*4=\frac{5}{2})। चरण 3: दोनों मान अलग हैं, इसलिए संक्रिया सामान्यतः साहचर्य नहीं है।
The identity element leaves every element unchanged from both sides. चरण 1: \(a*0=a+0-a\cdot 0=a\)। चरण 2: \(0*a=0+a-0\cdot a=a\) भी सही है। चरण 3: तत्समक अवयव दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता।
Handle negative signs carefully. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (3*x=0) लिखें। चरण 2: (3+x-3x=0) से (3-2x=0) और \(x=\frac{3}{2}\)। चरण 3: ऋण चिह्नों को सावधानी से संभालें।
A. क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba)/Because (a+b-ab=b+a-ba)
Step 1
Concept
(a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba).
Step 2
Why this answer is correct
Addition and multiplication do not change when order is reversed.
Step 3
Exam Tip
Simplify algebraic forms to check commutativity. चरण 1: (a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba)। चरण 2: जोड़ और गुणन में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। चरण 3: बीजगणितीय रूपों को सरल करके क्रमविनिमेयता देखें।
A. यह हर वास्तविक (a,b) के लिए सत्य है/It is true for all real (a,b)
Step 1
Concept
(b*a=b+a+ba).
Step 2
Why this answer is correct
Since (b+a=a+b) and (ba=ab), both are equal.
Step 3
Exam Tip
To prove commutativity, write both forms side by side. चरण 1: (b*a=b+a+ba) होगा। चरण 2: (b+a=a+b) और (ba=ab), इसलिए दोनों बराबर हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता सिद्ध करते समय दोनों रूपों को साथ-साथ लिखें।
B. संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है/The operation is not commutative
Step 1
Concept
(1*2=1-2+2=1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*1=2-1+2=3), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
One unequal pair is enough to disprove commutativity. चरण 1: (1*2=1-2+2=1)। चरण 2: (2*1=2-1+2=3), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक असमान जोड़ी पर्याप्त है।
Apply the operation twice according to the brackets. चरण 1: पहले (1*2=1+2+2=5)। चरण 2: फिर (5*3=5+3+2=10)। चरण 3: कोष्ठक के अनुसार संक्रिया दो बार लगानी पड़ती है।
With this rule, the brackets still give the same value here. चरण 1: पहले (2*3=2+3+2=7)। चरण 2: फिर (1*7=1+7+2=10)। चरण 3: इस नियम में कोष्ठक बदलने पर भी यहाँ वही मान मिलता है।
If both forms are equal, associativity holds. चरण 1: ((a*b)*c=(a+b+2)+c+2=a+b+c+4)। चरण 2: (a*(b*c)=a+(b+c+2)+2=a+b+c+4)। चरण 3: दोनों रूप समान हों तो साहचर्य गुण सत्य होता है।
The identity often looks like the opposite of the constant term. चरण 1: (a*e=a) के लिए (a+e+2=a) होना चाहिए। चरण 2: इससे (e=-2) मिलता है और (e*a) में भी यही काम करता है। चरण 3: तत्समक अवयव स्थिर पद के विपरीत जैसा दिख सकता है।
In inverse questions, the target value is the identity element, not necessarily zero. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (5*x=-2) लिखें। चरण 2: (5+x+2=-2) से (x=-9) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम में लक्ष्य मान तत्समक अवयव होता है, शून्य जरूरी नहीं।
In transformation questions, expand and match the terms. चरण 1: ((a+1)(b+1)=ab+a+b+1)। चरण 2: इसमें से (1) घटाने पर (ab+a+b) मिलता है। चरण 3: रूपांतरण वाले प्रश्नों में पहले गुणन खोलकर मिलान करें।
Convert the operation into a simple equation first. चरण 1: (x*2=x+2+2x) होगा। चरण 2: (3x+2=8) से (3x=6) और (x=2)। चरण 3: अज्ञात वाले प्रश्नों में पहले संक्रिया को साधारण समीकरण में बदलें।
Set the given result equal and solve the linear equation. चरण 1: (x*3=2x+3) होगा। चरण 2: (2x+3=11) से (x=4)। चरण 3: दिए गए परिणाम को बराबरी में रखकर रैखिक समीकरण हल करें।
First square the second element, then solve the equation. चरण 1: \(x*3=x+3^2=x+9\)। चरण 2: (x+9=15) से (x=6)। चरण 3: दूसरे अवयव का वर्ग पहले निकालें, फिर समीकरण हल करें।
This gives (x=1) or (x=7), and (1) is in the options.
Step 3
Exam Tip
Absolute value equations usually give two possibilities. चरण 1: (x*4=|x-4|=3) है। चरण 2: इससे (x=1) या (x=7) हो सकता है, विकल्पों में (1) दिया है। चरण 3: परम मान वाले समीकरण में दो संभावनाएँ देखनी चाहिए।
Do not forget to simplify the fraction. चरण 1: नियम में (a=2) और (b=6) रखें। चरण 2: \(2*6=\frac{2\cdot 6}{2+6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)। चरण 3: भिन्न को अंतिम रूप में सरल करना न भूलें।
Keep numerator and denominator correct in fraction-based operations. चरण 1: \(1*2=\frac{1+2}{1+1\cdot 2}\)। चरण 2: यह \(\frac{3}{3}=1\) हो जाता है। चरण 3: हर और अंश दोनों सही रखने से भिन्न वाले प्रश्न आसान हो जाते हैं।
A. हाँ क्योंकि अंश और हर दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता/Yes because changing order in numerator and denominator does not change the value
Step 1
Concept
\(b*a=\frac{b+a}{1+ba}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (b+a=a+b) and (ba=ab), the value is the same.
Step 3
Exam Tip
For commutativity, reverse the whole rule and compare. चरण 1: \(b*a=\frac{b+a}{1+ba}\) होगा। चरण 2: (b+a=a+b) और (ba=ab), इसलिए मान समान है। चरण 3: क्रमविनिमेयता में पूरा नियम उलटकर तुलना करें।
In such rules, compare the elements instead of calculating. चरण 1: नियम दो अवयवों में बड़े अवयव को चुनता है। चरण 2: (2) और (4) में बड़ा अवयव (4) है। चरण 3: ऐसे नियमों में गणना नहीं, तुलना करनी होती है।
In a minimum-based operation, the answer is the selected element. चरण 1: नियम दो अवयवों में छोटे अवयव को चुनता है। चरण 2: (3) और (1) में छोटा अवयव (1) है। चरण 3: न्यूनतम आधारित संक्रिया में उत्तर चुना हुआ अवयव होता है।
The sum of two even integers is again an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
So (a+b) does not go outside the set of even integers.
Step 3
Exam Tip
For special sets, check the property with examples and general reasoning. चरण 1: दो सम पूर्णांकों का योग फिर सम पूर्णांक होता है। चरण 2: इसलिए (a+b) सम पूर्णांकों के समुच्चय से बाहर नहीं जाता। चरण 3: विशेष समुच्चयों में गुणधर्म को उदाहरण और सामान्य तर्क दोनों से जाँचें।
B. यह बंद नहीं है क्योंकि विषम और विषम का योग सम होता है/It is not closed because the sum of odd and odd is even
Step 1
Concept
The sum of two odd integers is an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (3+5=8), which is not odd.
Step 3
Exam Tip
For closure, the result must stay in the same set. चरण 1: दो विषम पूर्णांकों का योग सम पूर्णांक होता है। चरण 2: उदाहरण के लिए (3+5=8), जो विषम नहीं है। चरण 3: बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में रहना चाहिए।
Two multiples of (3) can be written as (3m) and (3n).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (3m+3n=3(m+n)), again a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
For multiples, use general form reasoning. चरण 1: (3) के दो गुणजों को (3m) और (3n) लिख सकते हैं। चरण 2: उनका योग (3m+3n=3(m+n)) फिर (3) का गुणज है। चरण 3: गुणजों के समुच्चय में सामान्य रूप से तर्क करना उपयोगी है।
The multiple property can remain true even under subtraction. चरण 1: दो गुणज (5m) और (5n) लें। चरण 2: (5m-5n=5(m-n)), जो फिर (5) का गुणज है। चरण 3: घटाव में भी गुणजों का गुण बना रह सकता है।
Addition-based rules with the same constant often remain commutative. चरण 1: (a*b=a+b-1) और (b*a=b+a-1)। चरण 2: (a+b=b+a), इसलिए दोनों बराबर हैं। चरण 3: स्थिर पद समान हो तो जोड़ आधारित नियम अक्सर क्रमविनिमेय रहता है।
If both forms match, associativity is true. चरण 1: ((a*b)*c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2)। चरण 2: (a*(b*c)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2)। चरण 3: दोनों रूप समान हों तो साहचर्य गुण सही है।
Confirm the identity before finding inverse. चरण 1: पहले तत्समक अवयव (1) है क्योंकि (a+1-1=a)। चरण 2: (4*x=1) से (4+x-1=1) और (x=-2)। चरण 3: प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवयव पक्का करें।
For an unknown constant, the identity condition gives the fastest route. चरण 1: तत्समक (5) होने पर (a*5=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+5-k=a) से (k=5) मिलता है। चरण 3: अज्ञात स्थिरांक वाले नियम में तत्समक शर्त सबसे सीधा रास्ता देती है।
In sign-based questions, write the equation line by line. चरण 1: (a*(-4)=a) लिखें। चरण 2: (a-4+k=a) से (k=4) मिलता है। चरण 3: चिन्ह बदलने वाले प्रश्नों में पंक्ति-दर-पंक्ति समीकरण लिखें।
For commutativity, (ka+b=kb+a) must hold for all (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
This generally works when (k=1), giving (a+b) on both sides.
Step 3
Exam Tip
For unknown coefficients, apply the condition for all (a,b). चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (ka+b=kb+a) हर (a,b) पर चाहिए। चरण 2: यह तभी सामान्य रूप से सही होगा जब (k=1), जिससे दोनों ओर (a+b) मिलता है। चरण 3: अज्ञात गुणांक में हर (a,b) पर सही होने की शर्त लगाएं।
Use two unequal numbers to find the parameter in a commutativity condition. चरण 1: (2*3=2+3k) और (3*2=3+2k)। चरण 2: बराबर करने पर (2+3k=3+2k), इसलिए (k=1)। चरण 3: क्रमविनिमेयता में दो अलग संख्याएँ लेकर गुणांक निकाला जा सकता है।
When an element does not change any (a) under the operation, it is the identity element.
Step 2
Why this answer is correct
Here (a*0=a) and (0*a=a) also holds.
Step 3
Exam Tip
To identify identity, check whether the result stays as the original element. चरण 1: जब कोई अवयव संक्रिया में किसी भी (a) को न बदले, तो वह तत्समक अवयव होता है। चरण 2: यहाँ (a*0=a) और (0*a=a) भी सत्य है। चरण 3: तत्समक अवयव पहचानने के लिए यह देखें कि परिणाम मूल अवयव ही रहता है या नहीं।
