A. ऐसा नियम जो \(A\times A\) के हर युग्म को (A) के एक तत्व से जोड़े/A rule that assigns each pair of \(A\times A\) to an element of (A)
Step 1
Concept
A binary operation takes two elements.
Step 2
Why this answer is correct
If both inputs are from (A) and the result is also in (A), it is an operation on (A).
Step 3
Exam Tip
In exams, check closure first. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया में दो तत्व लिए जाते हैं। चरण 2: दोनों तत्व (A) से हों और परिणाम भी (A) में आए तो यह (A) पर संक्रिया कहलाती है। चरण 3: परीक्षा में पहले बंदता जाँचें।
Closure means the result does not leave the set after the operation.
Step 2
Why this answer is correct
Here (a*b) again lies in (A), so closure holds.
Step 3
Exam Tip
Closure is the first sign to check in binary operation questions. चरण 1: बंदता का मतलब है कि संक्रिया करने के बाद परिणाम समुच्चय से बाहर न जाए। चरण 2: यहाँ (a*b) फिर से (A) में है, इसलिए बंदता है। चरण 3: द्विआधारी संक्रिया पहचानने का पहला संकेत बंदता है।
A. क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग प्राकृतिक संख्या होता है/Because the sum of two natural numbers is a natural number
Step 1
Concept
Take any two numbers from \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum remains in \(\mathbb{N}\).
Step 3
Exam Tip
Since closure holds, usual addition is a binary operation on \(\mathbb{N}\). चरण 1: \(\mathbb{N}\) से कोई भी दो संख्याएँ लें। चरण 2: उनका योग फिर \(\mathbb{N}\) में ही रहता है। चरण 3: बंदता होने से सामान्य जोड़ \(\mathbb{N}\) पर द्विआधारी संक्रिया है।
A. क्योंकि \(2-5\notin\mathbb{N}\)/Because \(2-5\notin\mathbb{N}\)
Step 1
Concept
For closure, every pair must give a result inside the set.
Step 2
Why this answer is correct
\(2,5\in\mathbb{N}\), but (2-5=-3), which is not in \(\mathbb{N}\).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to reject a binary operation. चरण 1: बंदता के लिए हर जोड़ी पर परिणाम समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: \(2,5\in\mathbb{N}\), लेकिन (2-5=-3), जो \(\mathbb{N}\) में नहीं है। चरण 3: एक प्रतिउदाहरण संक्रिया को अमान्य दिखाने के लिए काफी है।
On integers, both addition and multiplication are closed. चरण 1: दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) से बाहर नहीं जाता। चरण 3: पूर्णांकों पर जोड़ और गुणा दोनों बंद रहते हैं।
A. क्योंकि \(1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)/Because \(1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
For a binary operation, every valid pair must give a result in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are integers, but \(\frac{1}{2}\) is not an integer.
Step 3
Exam Tip
Division often fails closure. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया के लिए हर वैध जोड़ी का परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (1) और (2) पूर्णांक हैं, पर \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 3: भाग में बंदता अक्सर टूट जाती है।
Addition-based operations often remain unchanged when order is changed. चरण 1: क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। चरण 2: (a+b=b+a), इसलिए (a*b=b*a)। चरण 3: जोड़ पर आधारित संक्रिया में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता।
A small numerical example is useful to test commutativity. चरण 1: (2*1=2-1=1)। चरण 2: (1*2=1-2=-1), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता जाँचने के लिए छोटा संख्यात्मक उदाहरण काफी उपयोगी होता है।
To find identity, place (e) and solve the equation. चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e+1=a) से (e=-1) मिलता है। चरण 3: तत्समक अवयव निकालते समय (e) रखकर समीकरण हल करें।
From (a+e+ae=a), (e(1+a)=0), and (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
An identity must work for all elements. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) आता है, और (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। चरण 3: तत्समक अवयव वही है जो सभी तत्वों के साथ काम करे।
