Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_{12}-a_5=7d=28\), इसलिए (d=4)। दो पदों के बीच पद-संख्या का अंतर जरूर गिनें। / \(a_{12}-a_5=7d=28\), so (d=4). Always count the difference of term positions carefully.
\(a_3=a_1+2d\), इसलिए \(11=a_1+10\) और \(a_1=1\)। पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / \(a_3=a_1+2d\), so \(11=a_1+10\) and \(a_1=1\). When moving backward subtract the common difference.
(7n-2=96) से (7n=98) और (n=14)। पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (7n-2=96), (7n=98) and (n=14). To find the position set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(x+4)=(2x-3)+(3x+1)), इससे (x=2) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(x+4)=(2x-3)+(3x+1)), giving (x=2). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_9-a_2=7d=35\), इसलिए (d=5) और (a_5=9+3(5)=24)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_9-a_2=7d=35\), so (d=5) and (a_5=9+3(5)=24). Find the common difference first.
\(2,8,14,20,\ldots\) में चौथा पद (20) और समान अंतर (6) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(2,8,14,20,\ldots\), the fourth term is (20) and the common difference is (6). Check options up to the required term.
\(a_{10}=a_1+9d\), इसलिए (59=5+9d) और (d=6)। (10)वें पद तक (9) अंतर होते हैं। / \(a_{10}=a_1+9d\), so (59=5+9d) and (d=6). Up to the (10)th term there are (9) gaps.
पद \(18,13,8,3,-2,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (5)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(18,13,8,3,-2,\ldots\), so the first negative term is the (5)th. Check terms around zero in order.
\(a_{12}\) और \(a_4\) के बीच (8) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (56) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (8) gaps between \(a_{12}\) and \(a_4\), and (d=7), so the difference is (56). Term difference depends on position difference.
पहले (6) पद (11,14,17,20,23,26) हैं और योग (111) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (6) terms are (11,14,17,20,23,26), and their sum is (111). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_8-a_3=5d=25\), इसलिए (d=5) और (a_1=16-2(5)=6)। बीच के पदों से पहले (d) निकालें। / \(a_8-a_3=5d=25\), so (d=5) and (a_1=16-2(5)=6). From middle terms first find (d).
समांतर श्रेणी में \(a_4\) और \(a_8\) का औसत \(a_6\) होता है, इसलिए \(a_6=\frac{50}{2}=25\)। समान दूरी वाले पदों का औसत बीच का पद होता है। / In an arithmetic progression, the average of \(a_4\) and \(a_8\) is \(a_6\), so \(a_6=\frac{50}{2}=25\). Equidistant terms average to the middle term.
(50+(n-1)(-7)=1) से (7(n-1)=49) और (n=8)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (50+(n-1)(-7)=1), (7(n-1)=49) and (n=8). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(x+2)=(x-4)+(2x-2)) से (x=8), इसलिए समान अंतर (10-4=6) है। पहले (x) निकालें फिर अंतर निकालें। / From (2(x+2)=(x-4)+(2x-2)), (x=8), so the common difference is (10-4=6). First find (x), then find the difference.
पद \(12,9,6,3,0,-3,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (4) हैं। शून्य को धनात्मक नहीं मानते। / The terms are \(12,9,6,3,0,-3,\ldots\), so there are (4) positive terms. Zero is not counted as positive.
पहला पद (5) और (d=9) है, इसलिए (a_n=5+(n-1)9=9n-4)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (5) and (d=9), so (a_n=5+(n-1)9=9n-4). You can check an option by putting (n=1).
\(a_2\) और \(a_{10}\) से \(a_6\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_6=\frac{64}{2}=32\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_6\) is equidistant from \(a_2\) and \(a_{10}\), so \(a_6=\frac{64}{2}=32\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(2,7,12,17,\ldots\) में \(a_3=12\) और (d=5), इसलिए \(a_7=32\)। विकल्पों में दोनों शर्तें जांचें। / In \(2,7,12,17,\ldots\), \(a_3=12\) and (d=5), so \(a_7=32\). Check both conditions in the options.
\(a_4=3+3d\) और \(a_6=3+5d\), इसलिए (6+8d=56) और \(d=\frac{25}{4}\) नहीं आता; सही समीकरण से \(d=\frac{50}{8}\) है। यह विकल्प-जांच प्रश्न नहीं होना चाहिए। / Using \(a_4=3+3d\) and \(a_6=3+5d\), (6+8d=56), so \(d=\frac{25}{4}\). This result is not among the options.
सामान्य पद \(a_n=3n+4\) है और (100) से छोटा सबसे बड़ा मान (97) मिलता है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=3n+4\), and the greatest value below (100) is (97). In boundary questions check the nearest terms.
\(a_{11}-a_6=5d=30\), इसलिए (d=6) और (a_1=25-5(6)=-5)। पहले (d) निकालकर पीछे जाएं। / \(a_{11}-a_6=5d=30\), so (d=6) and (a_1=25-5(6)=-5). First find (d), then move backward.
(2(a+8)=a+(3a-4)) से (2a+16=4a-4) और (a=10) आता है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / From (2(a+8)=a+(3a-4)), (2a+16=4a-4), so (a=10). This does not match the selected option.
पहले (7) पद (2,8,14,20,26,32,38) हैं और योग (140) है। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (7) terms are (2,8,14,20,26,32,38), and their sum is (140). Pairing symmetric terms makes calculation faster.
छह अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=4) और (a_7=10+3(4)=22)। \(a_7\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (24), so (d=4) and (a_7=10+3(4)=22). \(a_7\) lies between the two given terms.
\(16,12,8,4,0,\ldots\) में पहला पद (16) और पाँचवाँ पद (0) है। विकल्पों में पाँचवें पद तक जांच करें। / In \(16,12,8,4,0,\ldots\), the first term is (16) and the fifth term is (0). Check options up to the fifth term.
\(a_{15}\) और \(a_9\) के बीच (6) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(6\times9=54\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (6) gaps between \(a_{15}\) and \(a_9\), so the difference is \(6\times9=54\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=7n+2\) है और \(a_{15}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+2\), and \(a_{15}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions check nearby terms.
\(a_3\) और \(a_9\) से \(a_6\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_6=\frac{72}{2}=36\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_6\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_9\), so \(a_6=\frac{72}{2}=36\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_2=-2\) और \(a_3=3\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-2\) and \(a_3=3\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_4=24\) और \(a_8=52\), इसलिए योग (76) है। दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=24\) and \(a_8=52\), so the sum is (76). Find both terms separately and add them.
(2(5x+2)=(4x-1)+(7x-3)) से (10x+4=11x-4) और (x=8) आता है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / From (2(5x+2)=(4x-1)+(7x-3)), (10x+4=11x-4), so (x=8). This does not match the selected options.
पहले (6) पदों का योग (6) पदों की सूची से (2,6,10,14,18,22) पर (72) होता है, इसलिए (d=4)। छोटे (n) में विकल्प-जांच तेज है। / The first (6) terms sum to (72) for (2,6,10,14,18,22), so (d=4). For small (n), option checking is quick.
(a_n=12+(n-1)5=5n+7), इसलिए (5n+7=72) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=12+(n-1)5=5n+7), so (5n+7=72) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
तीन अंतरों में वृद्धि (12) है, इसलिए (d=4) और (a_9=20+4(4)=36)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over three gaps is (12), so (d=4) and (a_9=20+4(4)=36). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(7,13,19,25,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(7,13,19,25,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=4n+2\) है और (50) से छोटा सबसे बड़ा पद (46) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=4n+2\), and the greatest term below (50) is (46). In boundary questions check nearby terms.
\(a_2=16\) और \(a_6=0\), इसलिए योग (16) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_2=16\) and \(a_6=0\), so the sum is (16). This does not match the options.
\(a_{12}-a_3=9d=54\), इसलिए (d=6) और (a_1=7-2(6)=-5)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{12}-a_3=9d=54\), so (d=6) and (a_1=7-2(6)=-5). Find the common difference first.
पहला और नौवाँ पद (1) और (41) हैं, इसलिए योग (\frac{9(1+41)}{2}=189)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and ninth terms are (1) and (41), so the sum is (\frac{9(1+41)}{2}=189). Use the first and last terms for the sum.
\(a_8=1\) और \(a_9=-2\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (9)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_8=1\) and \(a_9=-2\), so the first negative term is the (9)th. Look for the first term below zero.
\(a_4\), \(a_2\) और \(a_6\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_4=\frac{40}{2}=20\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_4\) is equidistant from \(a_2\) and \(a_6\), so \(a_4=\frac{40}{2}=20\). The average of symmetric terms is the middle term.
(6,12,18) में दोनों अंतर (6) हैं। लगातार तीन पदों के लिए दोनों अंतर बराबर होने चाहिए। / In (6,12,18), both differences are (6). For three consecutive terms, the two differences must be equal.
\(a_3=17\) और \(a_9=41\), इसलिए योग (58) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_3=17\) and \(a_9=41\), so the sum is (58). This does not match the options.
\(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(30=a_1+28\) और \(a_1=2\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a_1+4d\), so \(30=a_1+28\) and \(a_1=2\). To move backward from a given term subtract common differences.
\(a_{10}=71\) और \(a_2=15\), इसलिए योग (86) है। दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{10}=71\) and \(a_2=15\), so the sum is (86). Find both terms separately.
पाँच अंतरों में वृद्धि (30) है, इसलिए (d=6) और (a_{12}=48+3(6)=66)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (30), so (d=6) and (a_{12}=48+3(6)=66). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=13) और (d=5), इसलिए (a_{20}=13+19(5)=108)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=13) and (d=5), so (a_{20}=13+19(5)=108). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
