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यहाँ t का गुणांक 3 है, जो धनात्मक है। इसलिए t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर पौधे की ऊँचाई 3 सेमी बढ़ती है; अतः यह रैखिक वृद्धि है। रैखिक क्षय में t का गुणांक ऋणात्मक होता, जैसे 20-3t। परीक्षा टिप: y=a+bt में b का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / The coefficient of t is 3, which is positive. Therefore, for every increase of 1 unit in t, the plant’s height increases by 3 cm, so this is linear growth. In linear decay, the coefficient of t would be negative, such as 20-3t. Exam tip: In y=a+bt, the sign of b indicates growth or decay.
यहाँ W(t)=50-4t में t का गुणांक -4 है। इसका अर्थ है कि समय की प्रत्येक इकाई बढ़ने पर पानी की मात्रा 4 लीटर घटती है। चूँकि परिवर्तन की दर स्थिर है और ऋणात्मक है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। स्थिर मात्रा में t का गुणांक 0 होता। परीक्षा टिप: y=a+bt में b<0 होने पर रैखिक क्षय होता है। / In W(t)=50-4t, the coefficient of t is -4. This means that the amount of water decreases by 4 litres for every unit increase in time. Since the rate of change is constant and negative, it represents linear decay. For a constant amount, the coefficient of t would be 0. Exam tip: in y=a+bt, b<0 indicates linear decay.
आरंभिक मान वह मान होता है जो स्वतंत्र चर के 0 होने पर मिलता है। यहाँ d=0 रखने पर C(0)=15+2(0)=15 प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 15 है। 2, d का गुणांक है, जो प्रति इकाई वृद्धि की दर बताता है, आरंभिक मान नहीं। परीक्षा टिप: y=a+bx के रूप में a हमेशा आरंभिक मान होता है। / The initial value is the value when the independent variable is 0. Here, putting d=0 gives C(0)=15+2(0)=15, so the correct answer is 15. The number 2 is the coefficient of d; it represents the rate of increase per unit, not the initial value. Exam tip: in the form y=a+bx, a is the initial value.
रेखीय व्यंजक P(t)=80-5t में t का गुणांक -5 है, इसलिए t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर P का मान 5 इकाई घटता है। अतः परिवर्तन दर -5 है। 5 केवल कमी का परिमाण बताता है, जबकि ऋण चिह्न यह दर्शाता है कि मान घट रहा है। परीक्षा टिप: ax+b के रूप में लिखे रेखीय नियम में a ही परिवर्तन दर होती है। / In the linear expression P(t)=80-5t, the coefficient of t is -5. Therefore, when t increases by 1 unit, P decreases by 5 units, so the rate of change is -5. The value 5 gives only the magnitude of the decrease; the negative sign shows that the value is decreasing. Exam tip: In a linear rule of the form ax+b, a is the rate of change.
दिया है: \(S(t)=10+6t\)। \(t=4\) रखने पर \(S(4)=10+6(4)=10+24=34\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 34 है। 30 प्राप्त करने में अक्सर \(6\times4\) को 20 मानने जैसी गणना-त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले चर के स्थान पर मान रखें, फिर गुणा और जोड़ क्रम से करें। / Given \(S(t)=10+6t\). Substituting \(t=4\), \(S(4)=10+6(4)=10+24=34\). Therefore, 34 is correct. A value such as 30 can result from incorrectly calculating \(6\times4\). Exam tip: substitute the value of the variable first, then multiply before adding.
दिया है \(M(t)=90-7t\)। \(t=5\) रखने पर \(M(5)=90-7(5)=90-35=55\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 55 है। 35 केवल \(7\times5\) का मान है, जबकि इसे 90 में से घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर संक्रियाओं का क्रम ध्यान से अपनाएँ। / Given \(M(t)=90-7t\). Substituting \(t=5\), \(M(5)=90-7(5)=90-35=55\). Therefore, the correct answer is 55. The value 35 is only \(7\times5\); it must be subtracted from 90. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given value for the variable and follow the order of operations carefully.
B. प्रत्येक चरण में 8 पुस्तकों की वृद्धि/An increase of 8 books at each step
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक \(B(n)=100+8n\) में \(n\) का गुणांक 8 है। यह बताता है कि \(n\) के हर 1 बढ़ने पर पुस्तकों की संख्या 8 बढ़ती है। 100 स्थिर पद है, इसलिए वह आरंभिक पुस्तकों की संख्या बताता है, वृद्धि की दर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bn\) में \(b\), \(n\) के प्रति इकाई परिवर्तन की दर बताता है। / In \(B(n)=100+8n\), the coefficient of \(n\) is 8. It means that the number of books increases by 8 whenever \(n\) increases by 1. The constant term 100 gives the initial number of books, not the growth rate. Exam tip: in a linear expression \(a+bn\), \(b\) represents the rate of change per unit of \(n\).
आरंभिक मात्रा ज्ञात करने के लिए t=0 रखें: L(0)=60-3(0)=60 लीटर। इसलिए सही उत्तर 60 लीटर है। 57 लीटर t=1 पर मिलता है, क्योंकि तब 3 लीटर पानी कम हो चुका होता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में t=0 पर मान हमेशा नियत पद a होता है। / To find the initial amount, put t=0: L(0)=60-3(0)=60 litres. Therefore, the correct answer is 60 litres. The value 57 litres is obtained at t=1, when 3 litres have already decreased. Exam tip: in a linear expression a+bt, the value at t=0 is the constant term a.
रेखीय नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है। जब \(b\) धनात्मक हो, तो \(x\) बढ़ने पर \(y\) भी स्थिर दर से बढ़ता है। \(y=12+5x\) में \(x\) का गुणांक \(5\) धनात्मक है, इसलिए यह रेखीय वृद्धि दर्शाता है। \(y=30-2x\) रेखीय है, लेकिन उसका ऋणात्मक गुणांक क्षय दर्शाता है; \(y=x^2+1\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिह्न देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\). When \(b\) is positive, \(y\) increases at a constant rate as \(x\) increases. In \(y=12+5x\), the coefficient of \(x\) is \(5\), so it represents linear growth. \(y=30-2x\) is linear but represents decay because its coefficient is negative, while \(y=x^2+1\) is not linear. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth.
रेखीय क्षय का नियम सामान्यतः \(y=a-bx\) के रूप में होता है, जहाँ \(b>0\) होता है। \(y=25-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) के प्रत्येक 1 बढ़ने पर \(y\) 3 घटता है। \(y=18+4x\) रेखीय वृद्धि दिखाता है, क्योंकि उसका गुणांक धनात्मक है; जबकि \(y=x^2-3\) रैखिक नहीं, द्विघात नियम है। परीक्षा टिप: रेखीय क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक होना जाँचें। / A linear decay rule has the form \(y=a-bx\), where \(b>0\). In \(y=25-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). \(y=18+4x\) represents linear growth because its coefficient is positive, while \(y=x^2-3\) is quadratic rather than linear. Exam tip: check whether the coefficient of \(x\) is negative to identify linear decay.
यहाँ A(t)=12+4t में t का गुणांक 4 है। अतः t में 1 की वृद्धि होने पर A(t) में 4×1=4 की वृद्धि होगी। 12 स्थिर पद है, इसलिए यह वृद्धि की दर को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में प्रति 1 इकाई परिवर्तन b के बराबर होता है। / In A(t)=12+4t, the coefficient of t is 4. Therefore, when t increases by 1, A(t) increases by 4×1=4. The constant term 12 does not affect the rate of increase. Exam tip: In a linear expression a+bt, the change per 1 unit is b.
गुणांक (-6) है इसलिए मान हर चरण में (6) घटता है। दर का चिन्ह दिशा बताता है। / The coefficient is (-6), so the value decreases by (6) each step. The sign of the rate shows the direction.
दिए गए व्यंजक में \(w=3\) रखने पर \(N(3)=30+5(3)=30+15=45\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 40 तब मिलता यदि \(w=2\) होता, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए चर का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substitute \(w=3\) in the given expression: \(N(3)=30+5(3)=30+15=45\). Therefore, the correct answer is 45. The value 40 would be obtained for \(w=2\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: To evaluate an expression, substitute the given value of the variable carefully.
दिया गया फलन \(B(h)=100-10h\) है। \(h=6\) रखने पर \(B(6)=100-10(6)=100-60=40\) मिलता है। इसलिए बैटरी 40% बचेगी। 50% विकल्प गलत है, क्योंकि 6 घंटे में कमी \(10\times6=60\) प्रतिशत अंक होती है, 50 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में पहले \(h\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / The given function is \(B(h)=100-10h\). Substituting \(h=6\), \(B(6)=100-10(6)=100-60=40\). Therefore, 40% battery remains. The option 50% is incorrect because the decrease in 6 hours is \(10\times6=60\) percentage points, not 50. Exam tip: In linear-decay questions, substitute the given value of \(h\) first, then multiply and subtract.
दिया है \(P(n)=200+25n\)। \(n=2\) रखने पर \(P(2)=200+25(2)=200+50=250\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 250 है। 225 प्राप्त करने के लिए वृद्धि को केवल एक बार जोड़ना पड़ेगा, जबकि \(n=2\) पर 25 की वृद्धि दो बार जुड़ती है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(P(n)=200+25n\), substitute \(n=2\): \(P(2)=200+25(2)=200+50=250\). Hence, 250 is correct. The value 225 would result from adding the increase only once, but at \(n=2\), the increase of 25 is counted twice. Exam tip: To evaluate a polynomial, substitute the given value, multiply first, and then add or subtract.
दिया है: \(D(t)=120-15t\)। \(t=4\) रखने पर \(D(4)=120-15\times4=120-60=60\) km। इसलिए 4 समय-इकाइयों के बाद 60 km दूरी बचेगी। 75 km तब मिलता यदि \(t=3\) रखा जाता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए \(t\) के मान को हर जगह सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(D(t)=120-15t\). Substituting \(t=4\), \(D(4)=120-15\times4=120-60=60\) km. Hence, 60 km of distance is left after 4 time units. The value 75 km would result from using \(t=3\), not \(t=4\). Exam tip: Substitute the given value of \(t\) in every term of the linear expression carefully.
यहाँ x का गुणांक 0 है, इसलिए x का मान बदलने पर भी y=9 ही रहता है। अतः यह स्थिर मान वाला नियम है। रेखीय वृद्धि या क्षय में x का गुणांक शून्येतर होता है। परीक्षा टिप: y=a+bx में b=0 होने पर नियम स्थिर होता है। / Here, the coefficient of x is 0, so y remains 9 even when x changes. Therefore, this is a constant-value rule. In linear growth or decay, the coefficient of x is non-zero. Exam tip: In y=a+bx, the rule is constant when b=0.
रैखिक व्यंजक में वृद्धि दर t के गुणांक के बराबर होती है। (G(t)=5+9t) में t का गुणांक 9 है, इसलिए वृद्धि दर 9 है। 5 प्रारम्भिक मान है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: at+b के रूप में लिखे व्यंजक में t का गुणांक a वृद्धि दर बताता है। / In a linear expression, the growth rate is the coefficient of t. In (G(t)=5+9t), the coefficient of t is 9, so the growth rate is 9. The number 5 is the initial value, not the growth rate. Exam tip: in an expression of the form at+b, a is the growth rate.
दर (-8) है और उसका परिमाण (8) है। क्षय में घटने की मात्रा धनात्मक रूप में पूछी जा सकती है। / The rate is (-8), and its magnitude is (8). In decay, the amount of decrease may be asked as a positive value.
आरंभिक मान नियतांक पद (25) है और दर (x) का गुणांक (4) है। इसलिए (y=25+4x) सही है। / The initial value is the constant term (25), and the rate is the coefficient (4). So (y=25+4x) is correct.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+mx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(m\) परिवर्तन की दर है। क्षय दर 6 होने पर दर \(-6\) ली जाती है। अतः आरंभिक मान 90 वाला नियम \(y=90-6x\) है। \(y=90+6x\) में वृद्धि होती है, क्षय नहीं। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए स्थिर पद और क्षय के लिए \(x\) का ऋणात्मक गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+mx\), where \(a\) is the initial value and \(m\) is the rate of change. A decay rate of 6 means that the rate is \(-6\). Therefore, the rule with initial value 90 is \(y=90-6x\). In \(y=90+6x\), the value increases rather than decays. Exam tip: check the constant term for the initial value and a negative coefficient of \(x\) for decay.
दिया है (T(d)=18+2d)। (d=0) रखने पर (T(0)=18+2(0)=18) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 18 है। 20 तब मिलता यदि d का मान 1 होता, क्योंकि (T(1)=18+2=20)। परीक्षा टिप: किसी फलन का आरंभिक मान ज्ञात करने के लिए स्वतंत्र चर में 0 रखें। / Given (T(d)=18+2d), substitute (d=0): (T(0)=18+2(0)=18). Hence, the correct answer is 18. The value 20 would be obtained for d=1, since (T(1)=18+2=20). Exam tip: To find the initial value of a function, set the independent variable equal to 0.
दिया है कि \(V(t)=45-5t\)। \(t=0\) रखने पर \(V(0)=45-5(0)=45\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 45 है। 40 तब मिलता है जब \(t=1\) रखा जाए, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक में \(t=0\) रखने पर स्थिर पद प्रारम्भिक मान होता है। / Given \(V(t)=45-5t\). Substituting \(t=0\), we get \(V(0)=45-5(0)=45\). Therefore, 45 is correct. The value 40 is obtained for \(t=1\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: in a linear expression, the constant term gives the initial value at \(t=0\).
समीकरण \(y=7+3x\) में \(x\) का गुणांक \(3\) है। इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) में समान रूप से 3 की वृद्धि होती है। \(y=7-3x\) में 3 की कमी होती है, जबकि \(y=7+x\) में वृद्धि केवल 1 प्रति चरण है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण \(y=a+bx\) में \(b\) प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=7+3x\), the coefficient of \(x\) is \(3\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) increases by 3 each time. In \(y=7-3x\), the value decreases by 3, while \(y=7+x\) grows by only 1 per step. Exam tip: in a linear equation \(y=a+bx\), \(b\) gives the change per step.
\(y=10-4x\) में \(x\) का गुणांक \(-4\) है। इसलिए \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का मान 4 घटता है। \(y=4x-10\) में गुणांक \(+4\) है, इसलिए उसमें 4 की वृद्धि होती है, कमी नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(y=a+bx\) में \(x\) का गुणांक \(b\) ही प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=10-4x\), the coefficient of \(x\) is \(-4\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 4. In \(y=4x-10\), the coefficient is \(+4\), so it represents an increase of 4, not a decrease. Exam tip: In a linear expression \(y=a+bx\), the coefficient \(b\) gives the change per step.
A. एक पौधे की ऊँचाई हर सप्ताह 3 सेमी बढ़ती है/A plant’s height increases by 3 cm every week
Explanation
Simple Explanation
रैखिक वृद्धि में समान समयांतरालों में मात्रा एक निश्चित अंतर से बढ़ती है। यहाँ हर सप्ताह 3 सेमी की वृद्धि स्थिर है। दोगुना होना घातीय वृद्धि है। परीक्षा टिप: “स्थिर अंतर” रैखिकता का संकेत है। / In linear growth, a quantity increases by a fixed difference over equal time intervals. Here it rises by 3 cm each week. Doubling indicates exponential growth. Exam tip: look for a constant difference, not a constant ratio.
पहले मान ज्ञात करें: \(K(2)=70-3\times2=64\) और \(K(5)=70-3\times5=55\)। अतः \(K(2)-K(5)=64-55=9\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 15, \(K(5)\) का मान घटाने के बजाय केवल \(3\times5\) लेने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: फलन के दो मानों का अंतर निकालते समय दोनों मान अलग-अलग रखकर फिर घटाइए। / First find the two values: \(K(2)=70-3\times2=64\) and \(K(5)=70-3\times5=55\). Therefore, \(K(2)-K(5)=64-55=9\), so option C is correct. The distractor 15 may result from taking only \(3\times5\) instead of evaluating and subtracting the function values. Exam tip: evaluate each function value separately before finding their difference.
A. बाएँ से दाएँ ऊपर की ओर/Upward from left to right
Explanation
Simple Explanation
रेखीय वृद्धि में स्वतंत्र चर बढ़ने पर मान एक स्थिर धनात्मक दर से बढ़ता है। इसलिए रेखा का ढाल धनात्मक होता है और ग्राफ बाएँ से दाएँ ऊपर की ओर जाता है। बाएँ से दाएँ नीचे जाने वाला ग्राफ रेखीय ह्रास को दर्शाता है। परीक्षा टिप: धनात्मक ढाल का अर्थ है कि रेखा दाईं ओर जाते हुए ऊपर उठती है। / In linear growth, the value increases at a constant positive rate as the independent variable increases. Therefore, the line has a positive slope and rises from left to right. A line that falls from left to right represents linear decay. Exam tip: a positive slope means the line rises as you move to the right.
B. बाएं से दाएं नीचे की ओर/Downward from left to right
Explanation
Simple Explanation
रेखीय क्षय में किसी राशि का मान समान अंतरालों में समान मात्रा से घटता है। इसलिए इसका ग्राफ एक सीधी रेखा होता है जिसकी ढाल ऋणात्मक होती है, और वह बाएं से दाएं नीचे की ओर जाती है। x-अक्ष के समानांतर रेखा केवल तब होगी जब राशि स्थिर हो। परीक्षा टिप: घटती रेखीय राशि के लिए ऋणात्मक ढाल पहचानें। / In linear decay, a quantity decreases by an equal amount over equal intervals. Hence, its graph is a straight line with a negative slope, moving downward from left to right. A line parallel to the x-axis represents a constant quantity, not decay. Exam tip: identify linear decrease by its negative slope.
दिया है कि (Q(x)=6+2x)। (x=1) रखने पर, \(Q(1)=6+2(1)=6+2=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 8 है। 10 तब मिलता यदि 2x के स्थान पर 4x होता। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या को पूरे व्यंजक में रखें। / Given (Q(x)=6+2x), substitute (x=1): \(Q(1)=6+2(1)=6+2=8\). Therefore, the correct answer is 8. The value 10 would result if the term were 4x instead of 2x. Exam tip: To evaluate a polynomial, replace the variable with the given number throughout the expression.
x के स्थान पर 4 रखने पर J(4)=25-2(4)=25-8=17 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 17 है। 19 तब मिलता यदि 2×4 की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या को कोष्ठक में रखकर पहले गुणा करें। / Substitute 4 for x: J(4)=25-2(4)=25-8=17. Therefore, 17 is the correct option. The value 19 would result from an incorrect calculation of 2×4. Exam tip: When evaluating a function, put the given value in brackets and perform multiplication first.
शुरू में, अर्थात \(d=0\) पर, पौधे की ऊँचाई \(10\) सेमी है। हर दिन \(2\) सेमी की वृद्धि होती है, इसलिए \(d\) दिनों बाद ऊँचाई \(h(d)=10+2d\) होगी। विकल्प B में ऊँचाई घट रही है, इसलिए वह वृद्धि की स्थिति को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में स्थिर पद प्रारंभिक मान और \(d\) का गुणांक प्रतिदिन परिवर्तन दर्शाता है। / At the start, that is, when \(d=0\), the plant’s height is \(10\) cm. Since it increases by \(2\) cm per day, its height after \(d\) days is \(h(d)=10+2d\). Option B represents a decrease in height, so it does not model growth. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the initial value and the coefficient of \(d\) is the change per day.
शुरू में टॉफियों की संख्या 40 है, इसलिए नियम का स्थिर पद 40 होगा। हर दिन 5 टॉफियां कम होती हैं, इसलिए प्रति दिन परिवर्तन \(-5\) है। अतः \(d\) दिनों बाद टॉफियों की संख्या \(c(d)=40-5d\) होगी। \(c(d)=40+5d\) में टॉफियां बढ़ रही हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में आरंभिक मान स्थिर पद होता है और कमी के लिए ढाल ऋणात्मक होती है। / The box starts with 40 candies, so the constant term must be 40. Since 5 candies are removed each day, the daily change is \(-5\). Therefore, after \(d\) days, the number of candies is \(c(d)=40-5d\). The rule \(c(d)=40+5d\) represents an increase, not a decrease. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the initial value and a decrease has a negative slope.
दिया है \(E(t)=11+3t\)। अतः \(E(2)=11+3(2)=17\) और \(E(3)=11+3(3)=20\)। इसलिए अंतर \(20-17=3\) है। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(t\) के मान में 2 की वृद्धि होती, जबकि यहाँ 2 से 3 तक वृद्धि केवल 1 है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में लगातार मानों का अंतर हमेशा \(b\) होता है। / Given \(E(t)=11+3t\), we get \(E(2)=11+3(2)=17\) and \(E(3)=11+3(3)=20\). Therefore, the difference is \(20-17=3\). The value 6 would arise if \(t\) increased by 2, but here it increases only from 2 to 3. Exam tip: in a linear expression \(a+bt\), the difference between consecutive values is always \(b\).
यहाँ Z(1)=100-9(1)=91 और Z(2)=100-9(2)=82 है। अतः Z(1) से Z(2) तक कमी 91-82=9 है। 18 दो समय-चरणों की कुल कमी होती, जबकि यहाँ केवल t=1 से t=2 तक एक चरण की कमी पूछी गई है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में लगातार t-मानों के बीच परिवर्तन t के गुणांक के बराबर होता है। / Here, Z(1)=100-9(1)=91 and Z(2)=100-9(2)=82. Therefore, the decrease from Z(1) to Z(2) is 91-82=9. A decrease of 18 would occur over two time steps, whereas the question asks about only one step, from t=1 to t=2. Exam tip: In a linear expression, the change between consecutive values of t equals the coefficient of t in magnitude.
रेखीय समीकरण \(y=a+bx\) में \(b\), \(x\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि में \(x\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ता है, इसलिए \(b>0\) होता है। \(b<0\) रेखीय ह्रास को दर्शाता है और \(b=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक और ह्रास के लिए ढाल ऋणात्मक याद रखें। / In \(y=a+bx\), \(b\) is the rate of change (slope) of \(y\) with respect to \(x\). In linear growth, \(y\) increases as \(x\) increases, so \(b>0\). A negative \(b\) represents linear decay, while \(b=0\) gives a constant value of \(y\). Exam tip: growth has a positive slope; decay has a negative slope.
समीकरण (y=a-bx) में (x) का गुणांक (-b) है। क्योंकि (b>0), इसलिए ढाल ऋणात्मक होती है। अतः (x) के बढ़ने पर (bx) बढ़ता है और (a) में से अधिक मात्रा घटती है, इसलिए (y) घटता है। (y) केवल किसी विशेष (x) के मान पर 0 हो सकता है, हर बार नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में (x) का गुणांक ऋणात्मक हो तो (x) बढ़ने पर (y) घटता है। / In (y=a-bx), the coefficient of (x) is (-b). Since (b>0), the slope is negative. Therefore, as (x) increases, (bx) increases, so a larger amount is subtracted from (a) and (y) decreases. (y) can be 0 only for a particular value of (x), not always. Exam tip: In a linear equation, a negative coefficient of (x) means that (y) decreases as (x) increases.
A. प्रत्येक समान समयांतराल में राशि समान मात्रा से घटती है/The quantity decreases by an equal amount in each equal time interval.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रत्येक समान समयांतराल पर समान मात्रा की कमी होती है, इसलिए ढाल ऋणात्मक रहती है। निश्चित प्रतिशत की कमी घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: मॉडल \(Y(t)=mt+c\) में \(m<0\) हो तो क्षय पहचानें। / In linear decay, the quantity falls by the same amount in equal time intervals, so its slope is negative. A fixed percentage decrease is exponential decay, not linear. Exam tip: in \(Y(t)=mt+c\), \(m<0\) indicates decay.
A. समय के साथ समान दर से कमी/A uniform decrease with time
Explanation
Simple Explanation
यह रैखिक क्षय है, क्योंकि \(t\) को 1 बढ़ाने पर \(N\) में \(-b\) का निश्चित परिवर्तन होता है। इसलिए मात्रा हर इकाई समय में \(b\) से घटती है। विकल्प D में दर बदलती है, जो रैखिक मॉडल नहीं है। परीक्षा टिप: \(t\) का ऋणात्मक गुणांक क्षय दिखाता है। / This represents linear decay because increasing \(t\) by 1 changes \(N\) by the fixed amount \(-b\). Thus, the quantity decreases by \(b\) per time unit. Option D has a changing rate, so it is not linear. Exam tip: a negative coefficient of \(t\) indicates decay.
समीकरण y=14+6x में x का गुणांक 6 है, जो धनात्मक है। अतः x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y में 6 की वृद्धि होती है; इसलिए यह रेखीय वृद्धि है। रेखीय क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: y=a+bx में b का चिन्ह वृद्धि या क्षय बताता है। / In y=14+6x, the coefficient of x is 6, which is positive. Thus, for every increase of 1 in x, y increases by 6, so it represents linear growth. In linear decay, the coefficient of x would be negative. Exam tip: In y=a+bx, the sign of b tells whether there is growth or decay.
यहाँ x का गुणांक -7 है। x के मान में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y का मान 7 घटता है, इसलिए यह रेखीय क्षय है। रेखीय वृद्धि में x का गुणांक धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: y = a + bx में b का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / Here, the coefficient of x is -7. For every increase of 1 in x, the value of y decreases by 7, so it represents linear decay. In linear growth, the coefficient of x is positive. Exam tip: In y = a + bx, the sign of b indicates growth or decay.
दिया है \(I(t)=3t+12\)। \(t=6\) रखने पर \(I(6)=3\times6+12=18+12=30\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 30 है। 24 केवल \(3\times6+6\) जैसी गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ें। / Given \(I(t)=3t+12\), substitute \(t=6\): \(I(6)=3\times6+12=18+12=30\). Therefore, 30 is the correct option. The value 24 may result from an incorrect addition after multiplication. Exam tip: substitute the given value for the variable, then follow the order of operations.
दिए गए व्यंजक में \(t=7\) रखने पर \(O(7)=64-6\times 7=64-42=22\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 22 है। 28 तब मिलता यदि \(6\times 6\) लिया जाता, जो दिए गए \(t=7\) के लिए गलत है। परीक्षा टिप: पहले चर का मान कोष्ठक में रखें, फिर गुणा और घटाव का क्रम सही रखें। / Substitute \(t=7\) in the given expression: \(O(7)=64-6\times 7=64-42=22\). Therefore, 22 is correct. The value 28 would result from using \(6\times 6\), which does not match the given value \(t=7\). Exam tip: Substitute the variable value first, then follow the correct order of multiplication and subtraction.
\(X(3)=5+4\times3=17\) और \(X(0)=5+4\times0=5\) है। अतः अंतर \(17-5=12\) होगा। विकल्प \(17\), \(X(3)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो समयों का अंतर निकालते समय दोनों मान अलग-अलग रखकर घटाएँ। / \(X(3)=5+4\times3=17\) and \(X(0)=5+4\times0=5\). Therefore, the difference is \(17-5=12\). Option \(17\) is the value of \(X(3)\), not the difference. Exam tip: For a linear expression, substitute both time values separately and then subtract the results.
दिया है कि \(N(t)=80-2t\)। अतः \(N(0)=80\) और \(N(10)=80-2\times10=60\)। इसलिए \(N(0)-N(10)=80-60=20\)। विकल्प 60, \(N(10)\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों दिए गए समयों पर फलन का मान निकालकर फिर उनका घटाव करें। / Given \(N(t)=80-2t\), we get \(N(0)=80\) and \(N(10)=80-2\times10=60\). Therefore, \(N(0)-N(10)=80-60=20\). Option 60 is the value of \(N(10)\), not the required difference. Exam tip: First evaluate the function at both given times, then subtract the values carefully.
B. x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y में 2 की वृद्धि होती है/For every increase of 1 in x, y increases by 2
Explanation
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नियम y=2x+7 में x का गुणांक 2 है। इसका अर्थ है कि x के 1 बढ़ने पर y का मान 2 बढ़ता है। 7 स्थिर पद है, जो x=0 होने पर y का आरंभिक मान बताता है; इसलिए विकल्प A गुणांक का नहीं, स्थिर पद का अर्थ बताता है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम y=mx+c में m परिवर्तन की दर (ढाल) और c आरंभिक मान होता है। / In the rule y=2x+7, the coefficient of x is 2. It means that y increases by 2 when x increases by 1. The number 7 is the constant term and gives the initial value of y when x=0, so option A describes the constant term, not the coefficient of x. Exam tip: In a linear rule y=mx+c, m is the rate of change (slope) and c is the initial value.
B. x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर कमी की मात्रा/Amount of decrease for each increase of 1 in x
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नियम y=60-5x में 60 आरंभिक मान है। x का गुणांक -5 है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि होने पर y का मान 5 घटता है। अतः 5 कमी की मात्रा बताता है, जबकि 60 को कमी की दर नहीं माना जा सकता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम y=a+bx में b परिवर्तन की दर बताता है; ऋणात्मक b कमी दर्शाता है। / In the rule y=60-5x, 60 is the initial value. The coefficient of x is -5, so when x increases by 1, the value of y decreases by 5. Therefore, 5 represents the amount of decrease, not the initial value. Exam tip: In a linear rule y=a+bx, b gives the rate of change; a negative b indicates decay.
(t=0) रखने पर (P(0)=a+3(0)=a) मिलता है। दिया है कि (P(0)=12), इसलिए (a=12) होगा। विकल्प 3 वृद्धि की दर है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक (a+bt) में (t=0) रखने पर प्रारम्भिक मान सीधे (a) होता है। / Substituting (t=0) gives (P(0)=a+3(0)=a). Since (P(0)=12) is given, (a=12). The number 3 is the rate of increase, not the initial value. Exam tip: In a linear expression (a+bt), putting (t=0) directly gives the initial value (a).
दिया है (R(t)=b-4t)। जब (t=0) रखते हैं, तब (R(0)=b-4(0)=b) प्राप्त होता है। चूँकि (R(0)=25) है, इसलिए (b=25) होगा। विकल्प 21, (t=1) पर मिलने वाला मान है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक में स्थिर पद ज्ञात करने के लिए प्रायः स्वतंत्र चर का मान 0 रखें। / Given (R(t)=b-4t), substituting (t=0) gives (R(0)=b-4(0)=b). Since (R(0)=25), we get (b=25). The value 21 would be obtained at (t=1), not at the initial time. Exam tip: To find the constant term in a linear expression, often substitute 0 for the independent variable.
समीकरण \(y=10+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k>0\) होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय क्षय होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: \(y=a+mt\) में \(m\) का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / In \(y=10+kt\), \(k\) is the rate of change, or slope, of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k>0\) is necessary. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) makes \(y\) constant. Exam tip: In \(y=a+mt\), the sign of \(m\) indicates growth or decay.
