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पहला पद (4) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n-1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जरूर जाँचें। / The first term is (4) and the difference is (5), so \(a_n=5n-1\). In exams, always check the first term by putting (n=1).
\(a_n=5n+2\) में \(n\) का गुणांक स्थिर है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर हमेशा 5 रहता है। अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2\) या \(2^n\) वाले नियम में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(an+b\) AP देता है। / In \(a_n=5n+2\), the coefficient of \(n\) is constant, so consecutive terms always differ by 5. Hence it is an arithmetic progression. Rules involving \(n^2\) or \(2^n\) do not have a constant difference. Exam tip: a rule of the form \(an+b\) represents an AP.
दिया है कि \(a_n=50-4n\)। \(n=9\) रखने पर \(a_9=50-4(9)=50-36=14\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 14 है। 16 तब मिलता यदि \(4\times9\) को गलत तरीके से 34 माना जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=50-4n\), substitute \(n=9\): \(a_9=50-4(9)=50-36=14\). Therefore, 14 is correct. A value such as 16 can result from incorrectly evaluating \(4\times9\). Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
(n=1) पर (42) और (n=2) पर (37) मिलता है, इसलिए \(a_n=47-5n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद जरूर मिलाएँ। / At (n=1) it gives (42), and at (n=2) it gives (37), so \(a_n=47-5n\). In exams, always match the first term in a decreasing sequence.
(3n+2=38) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या पूछी जाए तो सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (3n+2=38), we get (n=12). In exams, equate the formula to the given value when term number is asked.
इसका नियम \(a_n=3n+2\) है और (3n+2=32) से (n=10) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=3n+2\), and (3n+2=32) gives (n=10). In exams, form the general term first to find the term number.
ये पद \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं, इसलिए (a_n=(n+1)2) है। परीक्षा में वर्ग संख्याओं के स्थानांतरण को पहचानें। / These terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), so (a_n=(n+1)2). In exams, recognize shifted square numbers.
दिया है (a_n=(n+1)2)। अतः n=6 रखने पर (a_6=(6+1)2=72=49) प्राप्त होता है। 36 विकल्प तब मिलता है जब (n+1) जोड़ने के बजाय केवल 6 का वर्ग कर दिया जाए, जो नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान नियम में रखकर कोष्ठक सरल करें, फिर घात लगाएँ। / Given (a_n=(n+1)2), substitute n=6: (a_6=(6+1)2=72=49). Option 36 results from squaring 6 without first adding 1, so it does not follow the given rule. Exam tip: substitute the term number into the rule, simplify the brackets first, and then apply the exponent.
(n(n+1)) से (2,6,12,20) मिलते हैं। परीक्षा में लगातार दो संख्याओं के गुणन वाले नियम को जाँचें। / (n(n+1)) gives (2,6,12,20). In exams, check rules involving the product of consecutive numbers.
A. प्रत्येक अगला पद 3 से बढ़ता है/Each next term increases by 3
Explanation
Simple Explanation
\(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), इसलिए हर क्रमागत पद में 3 की समान वृद्धि होती है। विकल्प C गुणोत्तर परिवर्तन बताता है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा में अंतर निकालकर जाँचें। / \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), so consecutive terms increase by a constant 3. Option C describes a multiplicative change, which does not apply here. Exam tip: find the common difference first.
त्रिभुज संख्या में (1) जोड़ने से (2,4,7,11) मिलते हैं। परीक्षा में अंतर (2,3,4) दिखे तो त्रिभुज संख्या सोचें। / Adding (1) to triangular numbers gives (2,4,7,11). In exams, think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
यदि \(n=1,2,3,4\) रखें, तो \(a_n=n^2-1\) से क्रमशः \(0,3,8,15\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^2-1\) है। विकल्प \(a_n=n^2+1\) में पहला पद \(2\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर पहले दो पद अवश्य मिलाएँ। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2-1\) gives \(0,3,8,15\), respectively. Hence, \(a_n=n^2-1\) is the correct general term. For \(a_n=n^2+1\), the first term is \(2\), so it cannot represent the sequence. Exam tip: verify a proposed general term by checking at least \(n=1\) and \(n=2\).
\(n^2-1=35\) से \(n^2=36\) और (n=6) मिलता है। परीक्षा में वर्ग पूरा करके पद संख्या निकालें। / From \(n^2-1=35\), we get \(n^2=36\) and (n=6). In exams, complete the square value to find the term number.
दिया है, \(a_n=2^n+1\)। अतः n=5 रखने पर \(a_5=2^5+1=32+1=33\) होगा। विकल्प 31 तब मिलता यदि केवल \(2^5-1\) लिया जाता, जबकि यहाँ 1 जोड़ना है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले n का मान रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ क्रम से हल करें। / Given \(a_n=2^n+1\), substitute n=5: \(a_5=2^5+1=32+1=33\). The value 31 would result from using \(2^5-1\), but the rule requires adding 1. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent and remaining operations in order.
यदि \(a_n=3^n+2\) हो, तो \(a_1=3+2=5\), \(a_2=9+2=11\), \(a_3=27+2=29\) और \(a_4=81+2=83\) मिलते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=3^n+2\) है। \(a_n=3n+2\) केवल रैखिक रूप से बढ़ता है, इसलिए तीसरे पद पर \(11\) देता है, \(29\) नहीं। परीक्षा टिप: घातीय अनुक्रम पहचानने के लिए शुरुआती पदों में \(n=1,2,3\) रखकर जाँच करें। / For \(a_n=3^n+2\), we get \(a_1=3+2=5\), \(a_2=9+2=11\), \(a_3=27+2=29\), and \(a_4=81+2=83\). Hence, the correct general term is \(a_n=3^n+2\). In contrast, \(a_n=3n+2\) grows linearly and gives \(11\) as its third term, not \(29\). Exam tip: test a proposed rule by substituting \(n=1,2,3\).
दिया है: \(a_n=3^n+2\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3+2=27+2=29\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 29 है। विकल्प 27 केवल \(3^3\) का मान है; उसमें \(+2\) जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले सूचकांक का मान रखें, फिर सभी संक्रियाएँ क्रम से पूरी करें। / Given \(a_n=3^n+2\), substitute \(n=3\): \(a_3=3^3+2=27+2=29\). Hence, 29 is correct. The option 27 is only the value of \(3^3\); the added 2 has been omitted. Exam tip: substitute the term number first, then complete each operation in order.
\(2\cdot3^n\) से (6,18,54,162) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि के लिए आधार की घात जाँचें। / \(2\cdot3^n\) gives (6,18,54,162). In exams, check powers of the base for geometric growth.
\(a_n=5\cdot2^{n-1}\) में \(n=5\) रखने पर \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 80 है। 40 प्राप्त करना \(2^3\) लेने जैसी गलती से हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घातांक \(n-1\) में रखें, फिर गणना करें। / Substitute \(n=5\) in \(a_n=5\cdot2^{n-1}\): \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\). Therefore, 80 is correct. Getting 40 may result from incorrectly using \(2^3\). Exam tip: first substitute the term number into the exponent \(n-1\), then calculate.
पहला पद (5) है और हर बार (2) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में गुणोत्तर अनुक्रम में पहले पद और अनुपात दोनों देखें। / The first term is (5), and each term is multiplied by (2). In exams, check both the first term and ratio in a geometric sequence.
\(a_n=5n-2\) में \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) स्थिर है, इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में रैखिक नियम \(pn+q\) पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant; hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences vary. Exam tip: look for a linear rule \(pn+q\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2n^2+3\) से क्रमशः \(5,11,21,35\) प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प C सही है। निकटतम विकल्प \(a_n=3n^2+2\) में पहला पद 5 आता है, लेकिन \(n=2\) पर 14 मिलता है, 11 नहीं। परीक्षा टिप: स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+3\) gives \(5,11,21,35\), respectively, so option C is correct. The close distractor \(a_n=3n^2+2\) gives the first term as 5, but for \(n=2\) it gives 14, not 11. Exam tip: test an explicit rule using at least the first three values of \(n\).
\(a_n=5n-2\) में \(a_{n+1}-a_n=5\) हर \(n\) के लिए स्थिर है, इसलिए यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=5\) for every \(n\), so the common difference is constant. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: test consecutive-term differences.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(8,14,20\) हैं और द्वितीय अंतर \(6,6\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=3n^2-n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,10,24,44\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A में दूसरा पद \(8\) और विकल्प D में दूसरा पद \(12\) आता है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / The first differences are \(8,14,20\), and the second differences are constant: \(6,6\). Hence, the general term should be quadratic. For \(a_n=3n^2-n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,10,24,44\), respectively. Option A gives \(8\) as the second term, while option D gives \(12\), so they are incorrect. Exam tip: test a proposed rule by substituting at least the first three values of \(n\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^3+n\) से क्रमशः \(2,10,30,68\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^3+n\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a_n=n^3+1\) में पहला पद 2 आता है, लेकिन \(n=2\) पर वह 9 देता है, 10 नहीं। परीक्षा सुझाव: सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^3+n\) gives \(2,10,30,68\), respectively. Therefore, the correct general term is \(a_n=n^3+n\). The close distractor \(a_n=n^3+1\) gives the first term as 2, but for \(n=2\) it gives 9, not 10. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
दिया है \(a_n=2n-1\)। \(a_n=41\) रखने पर \(2n-1=41\) मिलता है। अतः \(2n=42\), इसलिए \(n=21\)। इसलिए 41, अनुक्रम का 21वाँ पद है। उदाहरण के लिए \(n=20\) रखने पर \(a_{20}=39\) आता है, 41 नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए सामान्य पद में उस संख्या को रखकर \(n\) के लिए हल करें। / Given \(a_n=2n-1\), put \(a_n=41\). Then \(2n-1=41\), so \(2n=42\) and hence \(n=21\). Therefore, 41 is the 21st term of the sequence. For example, if \(n=20\), then \(a_{20}=39\), not 41. Exam tip: To find the term number of a given value, substitute that value in the general term and solve for \(n\).
इसका नियम \(a_n=3n+4\) है और (3n+4=58) से (n=18) है। परीक्षा में पहले नियम लिखकर दिए पद से तुलना करें। / Its rule is \(a_n=3n+4\), and (3n+4=58) gives (n=18). In exams, write the rule first and compare it with the given term.
अंतर (6) है और पहला पद (8) है, इसलिए \(a_n=6n+2\) है। परीक्षा में पहला पद मिलाने के लिए स्थिर संख्या निकालें। / The difference is (6) and the first term is (8), so \(a_n=6n+2\). In exams, find the constant to match the first term.
पहले तीन पद (8,14,20) हैं और योग (42) है। परीक्षा में योग पूछे जाने पर सभी आवश्यक पद निकालें। / The first three terms are (8,14,20), and their sum is (42). In exams, find all required terms when a sum is asked.
दिया है कि \(a_n=4n-1\)। अतः \(a_7=4\times7-1=27\) और \(a_3=4\times3-1=11\)। इसलिए \(a_7-a_3=27-11=16\)। विकल्प 14 तब मिलता है जब पदों का अंतर गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=4n-1\), \(a_7=4\times7-1=27\) and \(a_3=4\times3-1=11\). Therefore, \(a_7-a_3=27-11=16\). The option 14 would result from an incorrect subtraction of the terms. Exam tip: substitute the value of \(n\) and find each required term separately.
\(a_n=5n-2\) में \(n\) के गुणांक 5 के कारण हर अगला पद 5 से बढ़ता है, इसलिए यह अंकगणितीय प्रगति है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में रैखिक नियम \(pn+q\) पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), increasing \(n\) by 1 increases every term by 5, so the common difference is constant. In \(n^2+1\), differences vary. Exam tip: an AP rule has the linear form \(pn+q\).
\(n^2+n-1\) से (1,5,11,19) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(n^2+n-1\) gives (1,5,11,19). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है, \(a_n=n^2+n-1\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=6^2+6-1=36+6-1=41\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(41\) है। \(40\) तब मिल सकता है जब \(6^2+6\) में से 1 घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात, जोड़ और घटाव का क्रम सावधानी से जाँचें। / Given \(a_n=n^2+n-1\), substitute \(n=6\): \(a_6=6^2+6-1=36+6-1=41\). Therefore, \(41\) is correct. The distractor \(40\) may result from an error in evaluating the expression or overlooking the final subtraction. Exam tip: after substituting a value in a general term, check the square, addition, and subtraction in order.
दिया है कि \(a_n=100-7n\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=100-7\times8=100-56=44\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। 42 प्राप्त करने के लिए गणना में त्रुटि होगी, क्योंकि \(7\times8=56\) है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=100-7n\), substitute \(n=8\): \(a_8=100-7\times8=100-56=44\). Therefore, option B is correct. Getting 42 would result from an incorrect calculation, since \(7\times8=56\). Exam tip: after substituting the term number, perform multiplication before subtraction.
पाँचवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=\frac{3(5)+1}{2}=\frac{16}{2}=8\)। इसलिए सही विकल्प 8 है। विकल्प 7 तब मिलता यदि अंश में \(3n+1\) की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद के सूत्र में पद संख्या को सीधे \(n\) के स्थान पर लिखें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{3(5)+1}{2}=\frac{16}{2}=8\). Hence, 8 is the correct option. A value such as 7 can result from an incorrect calculation of the numerator \(3n+1\). Exam tip: substitute the term number directly for \(n\) in the general-term formula.
\(\frac{3n+1}{2}\) से \(2,\frac{7}{2},5,\frac{13}{2}\) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{3n+1}{2}\) gives \(2,\frac{7}{2},5,\frac{13}{2}\). In exams, match fractional terms using small (n) values.
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}=\frac{6\times7}{2}=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 18 प्राप्त करने में प्रायः \(n+1\) के स्थान पर गलत संख्या रखने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: सूत्र में मान रखने के बाद कोष्ठक और क्रम से गणना अवश्य जाँचें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=6\), \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}=\frac{6\times7}{2}=21\). Therefore, 21 is correct. A value such as 18 can result from using an incorrect value for \(n+1\). Exam tip: substitute the term number carefully and evaluate the brackets before simplifying.
\(\frac{7\times8}{2}=28\), इसलिए \(n=7\) है। परीक्षा में त्रिभुज संख्याओं को याद रखना उपयोगी है। / \(\frac{7\times8}{2}=28\), so \(n=7\). In exams, remembering triangular numbers is useful.
यहाँ सामान्य पद में \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4+4=16+4=20\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 20 है। 18 केवल \(2^4\) में 2 जोड़ने जैसी गणना-त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात का मान पहले निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / Substitute \(n=4\) in the general term: \(a_4=2^4+4=16+4=20\). Therefore, 20 is the correct option. A value such as 18 can result from an incorrect addition after evaluating \(2^4\). Exam tip: evaluate the exponent first, then perform the remaining operations.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2^n+n\) से क्रमशः \(3,6,11,20\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=2^n+n\) है। \(a_n=n^2+2\) पहले तीन पद देता है, लेकिन \(n=4\) पर \(18\) देता है, \(20\) नहीं। परीक्षा में नियम को कम-से-कम चार दिए गए पदों पर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2^n+n\) gives \(3,6,11,20\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=2^n+n\). Although \(a_n=n^2+2\) matches the first three terms, it gives \(18\), not \(20\), when \(n=4\). Exam tip: verify a proposed rule using at least four given terms.
दिया है कि \(a_n=3^n-n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3-3=27-3=24\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 24 है। 27 विकल्प केवल \(3^3\) का मान है; उसमें से 3 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान सावधानी से रखें, फिर क्रम से घात और घटाव करें। / Given \(a_n=3^n-n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=3^3-3=27-3=24\). Hence, the correct answer is 24. The option 27 is only the value of \(3^3\); subtracting 3 is also required. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in every part of the general term before calculating.
\(2n^2+2n=60\) में (n=5) रखने पर मान (60) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / Putting (n=5) in \(2n^2+2n=60\) gives (60). In exams, you can also check quickly by substituting options.
\(2n^2+2n\) से (4,12,24,40) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(2n^2+2n\) gives (4,12,24,40). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
