Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
लगातार पदों का अंतर (20-14=6) है। समान अंतर निकालने के लिए दूसरे पद से पहला पद घटाएं। / The difference between consecutive terms is (20-14=6). To find the common difference subtract the first term from the second term.
पहला पद (35) और अंतर (-4) है इसलिए (a_n=35+(n-1)(-4)=39-4n)। घटती श्रेढ़ी में समान अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (35) and the difference is (-4), so (a_n=35+(n-1)(-4)=39-4n). In a decreasing progression the common difference is negative.
A. क्योंकि अंतर (3,4,5) बराबर नहीं हैं/Because the differences (3,4,5) are not equal
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर (3,4,5) हैं जो समान नहीं हैं। समानांतर श्रेढ़ी में हर बार समान अंतर होना चाहिए। / The consecutive differences are (3,4,5), which are not equal. An arithmetic progression must have the same difference each time.
(8+(n-1)5=48) से (n=9) मिलता है। पद का स्थान निकालने के लिए दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / From (8+(n-1)5=48), (n=9). To find the position set the given term equal to \(a_n\).
(n=1,2,3,4) रखने पर (5,8,11,14) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (5,8,11,14). When forming terms from a rule start (n) from (1).
\(a_6=a_1+5d\) इसलिए (32=12+5d) और (d=4)। दो पदों के बीच अंतरालों की संख्या गिनें। / \(a_6=a_1+5d\), so (32=12+5d) and (d=4). Count the number of gaps between the two terms.
पहले (5) पद (5,12,19,26,33) हैं और योग (95) है। कम पद हों तो सीधे लिखकर जोड़ना सरल है। / The first (5) terms are (5,12,19,26,33), and their sum is (95). For a small number of terms direct listing and addition is simple.
रैखिक रूप में (n) का गुणांक (-6) है इसलिए समान अंतर (-6) है। गुणांक का चिह्न जरूर देखें। / In the linear form the coefficient of (n) is (-6), so the common difference is (-6). Always check the sign of the coefficient.
\(7,11,15,19,\ldots\) में समान अंतर (4) है। समानांतर श्रेढ़ी में लगातार अंतर बराबर होते हैं। / In \(7,11,15,19,\ldots\), the common difference is (4). In an arithmetic progression consecutive differences are equal.
\(a_4=18+3d=30\) से (3d=12) और (d=4)। चौथे पद तक तीन अंतर होते हैं। / From \(a_4=18+3d=30\), (3d=12) and (d=4). Up to the fourth term there are three gaps.
यहाँ (a=11) और (d=6), इसलिए (a_{12}=11+11(6)=77)। (12)वें पद तक (11) अंतर जुड़ते हैं। / Here (a=11) and (d=6), so (a_{12}=11+11(6)=77). Up to the (12)th term (11) gaps are added.
\(a_2=a_1+d\) इसलिए \(a_1=15-5=10\)। दूसरा पद दिया हो तो एक समान अंतर पीछे जाएं। / \(a_2=a_1+d\), so \(a_1=15-5=10\). If the second term is given move one common difference backward.
यहाँ (a=28) और (d=-4), इसलिए (a_9=28+8(-4)=-4)। घटती श्रेढ़ी में पद ऋणात्मक भी हो सकते हैं। / Here (a=28) and (d=-4), so (a_9=28+8(-4)=-4). In a decreasing progression terms can become negative.
पहला पद (6) है और हर बार (3) घट रहा है। इसलिए समान अंतर (-3) है। / The first term is (6), and (3) is subtracted each time. Therefore the common difference is (-3).
पहले पद के लिए (n=1), इसलिए \(a_1=7-2=5\)। पहला पद निकालने में (n=1) रखें। / For the first term (n=1), so \(a_1=7-2=5\). Put (n=1) to find the first term.
(16+(n-1)5=56) से (n=9) मिलता है। पद की स्थिति के लिए सरल रैखिक समीकरण हल करें। / From (16+(n-1)5=56), (n=9). Solve the simple linear equation to find the position of a term.
पहले (4) पदों का योग (9+15+21+27=72) है। कम पद हों तो सीधे जोड़ना आसान है। / The sum of the first (4) terms is (9+15+21+27=72). If there are few terms direct addition is easy.
पहला पद (4) और (d=7) है इसलिए (a_n=4+(n-1)7=7n-3)। विकल्प को (n=1) रखकर भी जांच सकते हैं। / The first term is (4) and (d=7), so (a_n=4+(n-1)7=7n-3). You can also check an option by putting (n=1).
तीसरे से छठे पद तक (3) अंतर हैं और वृद्धि (15) है, इसलिए (d=5)। अंतरालों की संख्या सही गिनें। / From the third to the sixth term there are (3) gaps and the increase is (15), so (d=5). Count the number of gaps correctly.
\(a_3=21\) और \(a_5=31\), इसलिए योग (52) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_3=21\) and \(a_5=31\), so the sum is (52). Find both terms separately before adding.
(70+(n-1)(-8)=14) से (n=8) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (70+(n-1)(-8)=14), (n=8). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
\(a_5=a+4d\) इसलिए (27=a+12) और (a=15)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a+4d\), so (27=a+12) and (a=15). To move backward from a given term subtract common differences.
हर लगातार अंतर (3-3=0) है। स्थिर अनुक्रम भी समानांतर श्रेढ़ी होता है। / Every consecutive difference is (3-3=0). A constant sequence is also an arithmetic progression.
पहले (6) पद (10,12,14,16,18,20) हैं और योग (90) है। छोटे (n) में पद लिखकर जोड़ना आसान है। / The first (6) terms are (10,12,14,16,18,20), and their sum is (90). For small (n), writing and adding terms is easy.
पहला पद (19) और (d=4) है इसलिए (a_n=19+(n-1)4=4n+15)। सामान्य पद बनाते समय (n-1) का ध्यान रखें। / The first term is (19) and (d=4), so (a_n=19+(n-1)4=4n+15). Remember (n-1) while forming the general term.
\(a_4\) से \(a_9\) तक (5) अंतर हैं, इसलिए (a_9=22+5(6)=52)। पास के पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / From \(a_4\) to \(a_9\), there are (5) gaps, so (a_9=22+5(6)=52). Moving forward from a nearby term is a quick method.
पहला पद (13) है और हर बार (5) जोड़ने पर (13,18,23,28) मिलते हैं। दिए (a) और (d) से सीधे पद बनाएं। / The first term is (13), and adding (5) each time gives (13,18,23,28). Form the terms directly from the given (a) and (d).
समानांतर श्रेढ़ी में (2(x+6)=x+2x), इसलिए (x=12)। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / In an arithmetic progression (2(x+6)=x+2x), so (x=12). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_8=3\) और \(a_9=-3\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (9)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद जांचें। / \(a_8=3\) and \(a_9=-3\), so the first negative term is the (9)th. Check the first term that goes below zero.
पहले तीन पदों का औसत \(\frac{6+14+22}{3}=14\) है। समानांतर श्रेढ़ी में तीन क्रमिक पदों का औसत बीच वाला पद होता है। / The average of the first three terms is \(\frac{6+14+22}{3}=14\). In an arithmetic progression the average of three consecutive terms is the middle term.
\(a_{10}=5+9d=50\) से (9d=45) और (d=5)। (10)वें पद तक (9) अंतर होते हैं। / From \(a_{10}=5+9d=50\), (9d=45) and (d=5). Up to the (10)th term there are (9) gaps.
यहाँ (a=2) और (d=8), इसलिए (a_{15}=2+14(8)=114)। बड़े पद के लिए भी वही सूत्र लगाएं। / Here (a=2) and (d=8), so (a_{15}=2+14(8)=114). Use the same formula even for a larger term.
\(9,18,27,36,\ldots\) में हर बार (9) जुड़ता है। समान अंतर निकालने में लगातार दो पदों का अंतर देखें। / In \(9,18,27,36,\ldots\), (9) is added each time. To find the common difference check the difference of two consecutive terms.
(6n+1=49) से (6n=48) और (n=8)। पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) को दिए मान के बराबर रखें। / From (6n+1=49), (6n=48) and (n=8). To find the position set \(a_n\) equal to the given value.
पहले (5) पद (30,25,20,15,10) हैं और योग (100) है। घटती श्रेढ़ी में भी पद क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (5) terms are (30,25,20,15,10), and their sum is (100). In a decreasing progression also list the terms in order and add.
\(a_6\) से \(a_3\) तक (3) अंतर पीछे जाना है, इसलिए (a_3=41-3(7)=20)। पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / From \(a_6\) to \(a_3\), move back (3) gaps, so (a_3=41-3(7)=20). When moving backward subtract the common difference.
(d=0) होने पर हर पद (17) ही रहेगा। स्थिर समानांतर श्रेढ़ी में सभी पद बराबर होते हैं। / When (d=0), every term remains (17). In a constant arithmetic progression all terms are equal.
\(a_{11}\) और \(a_5\) के बीच (6) अंतर हैं और (d=6), इसलिए अंतर (36) है। समानांतर श्रेढ़ी में पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (6) gaps between \(a_{11}\) and \(a_5\), and (d=6), so the difference is (36). In an arithmetic progression term difference depends on the difference of positions.
(n=1,2,3,4) रखने पर (7,4,1,-2) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n=1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (7,4,1,-2). When forming terms from a rule start with (n=1).
पहले (6) पद (10,16,22,28,34,40) हैं और योग (150) है। पद सही क्रम में लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (10,16,22,28,34,40), and their sum is (150). Write the terms in correct order and add.
\(a_2\) से \(a_8\) तक (6) अंतर में वृद्धि (30) है इसलिए (d=5), अतः (a_5=9+3(5)=24)। पहले समान अंतर निकालें। / From \(a_2\) to \(a_8\), the increase over (6) gaps is (30), so (d=5), hence (a_5=9+3(5)=24). Find the common difference first.
समान अंतर (4) है इसलिए (14) के बाद (18) और (22) आएंगे। अगले पदों के लिए समान अंतर जोड़ते रहें। / The common difference is (4), so after (14) the next terms are (18) and (22). Keep adding the common difference for next terms.
\(a_6\) और \(a_2\) के बीच (4) अंतर हैं इसलिए अंतर \(4\times11=44\) है। पदों के अंतर के लिए पद-संख्या का अंतर देखें। / There are (4) gaps between \(a_6\) and \(a_2\), so the difference is \(4\times11=44\). For term difference look at the difference of positions.
पहला पद (27) और (d=3) है इसलिए (a_n=27+(n-1)3=3n+24)। विकल्प की जांच के लिए (n=1) रखें। / The first term is (27) and (d=3), so (a_n=27+(n-1)3=3n+24). Put (n=1) to check an option.
\(a_7=2\) और \(a_8=-3\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद ध्यान से जांचें। / \(a_7=2\) and \(a_8=-3\), so the first negative term is the (8)th. Check carefully for the first term that goes below zero.
