समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संक्रिया (a*b=\min(a,b)) दी है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), the operation (a*b=\min(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity element
#class 12 relations and functions
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए हर \(a \in A\) पर (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (a*e=\min(a,e)) है। हर (a) को जैसा है वैसा पाने के लिए (e) सबसे बड़ा अवयव होना चाहिए। / Here (a*e=\min(a,e)), so (e) must be the greatest element of the set.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में न्यूनतम वाली संक्रिया में सबसे बड़ा अवयव तत्समक होता है। / In a minimum operation on a finite ordered set, the greatest element works as the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संक्रिया (a*b=\max(a,b)) दी है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the operation (a*b=\max(a,b)) is defined. Which element is the identity element?
#binary operations
#maximum operation
#identity
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A (1)
B (2)
C (4)
D (5)
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Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a \in A\) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) must hold for all \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। / This is possible only when (e) is the least element of (A).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा अवयव तत्समक होता है। / In a maximum operation, the least element is the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#real numbers
#identity element
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
मान लें तत्समक अवयव (e) है। तब (a*e=a) होगा। / Let the identity be (e). Then (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / From (a+e+ae=a), we get (e(1+a)=0), so (e=0) works for all (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक जांचते समय सामान्य अवयव (a) लेकर समीकरण बनाइए। / To find identity, use a general element and form the equation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2) परिभाषित है। इस संक्रिया के लिए (3) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b-2) is defined. What is the inverse of (3) under this operation?
#binary operations
#inverse element
#real numbers
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
पहले तत्समक अवयव निकालते हैं। (a*e=a) से (a+e-2=a), इसलिए (e=2)। / First find the identity. From (a*e=a), (a+e-2=a), so (e=2).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b=2) रखने पर (3+b-2=2), अतः (b=1)। / Put (3*b=2). Then (3+b-2=2), so (b=1).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालने से पहले हमेशा तत्समक अवयव अवश्य निकालें। / Always find the identity before finding an inverse.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।
On integers, (a*b=a+b+1) is defined. Choose the correct statement about this operation.
#binary operations
#commutative
#associative
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A क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न सहचारी / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b+1=b+a+1=b*a), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b+1=b+a+1=b*a), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c+2) और (a*(b*c)=a+b+c+2), इसलिए सहचारी भी है। / ((a*b)*c=a+b+c+2) and (a*(b*c)=a+b+c+2), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुणों की जांच अलग-अलग करनी चाहिए। / Check commutativity and associativity separately.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?
On real numbers, (a*b=a-b) is defined. Which property does this operation have?
#binary operations
#non commutative
#non associative
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों / Both commutative and associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल सहचारी / Only associative
D न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
D. न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a*b=a-b) और (b*a=b-a), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a), which are not equal in general.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a-b-c) जबकि (a*(b*c)=a-b+c), इसलिए सहचारी भी नहीं है। / ((a*b)*c=a-b-c) but (a*(b*c)=a-b+c), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
घटाव जैसी संक्रियाओं में क्रम पर विशेष ध्यान दें। / For subtraction-type operations, order matters a lot.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity
#positive real numbers
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A (1)
B (2)
C \(\frac{1}{2}\)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\) से (e=2) मिलता है। / \(\frac{ae}{2}=a\) gives (e=2).
Step 3
Exam Tip
भाग वाली संक्रिया में दोनों तरफ सरल करते समय (a) शून्य न हो, यह ध्यान रखें। / While simplifying, note that (a) is positive and hence non-zero.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#real numbers
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A हाँ क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Yes because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
B नहीं क्योंकि वर्ग बदल जाते हैं / No because squares change
C केवल धनात्मक संख्याओं के लिए / Only for positive numbers
D केवल शून्य के लिए / Only for zero
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Yes because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) जांचते हैं। / For commutativity, check whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), दोनों बराबर हैं। / \(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), which are equal.
Step 3
Exam Tip
जोड़ में पदों का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / The order of terms in addition does not change the value.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय कब होगी?
On real numbers, (a*b=a+2b) is defined. When will this operation be commutative?
#binary operations
#commutativity condition
#real numbers
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A हर (a,b) के लिए / For all (a,b)
B जब (a=b) हो / When (a=b)
C जब (a=0) हो / When (a=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
B. जब (a=b) हो / When (a=b)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेय होने के लिए (a+2b=b+2a) चाहिए। / For commutativity, (a+2b=b+2a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (b=a) मिलता है। यह हर जोड़ी के लिए सत्य नहीं है। / Simplifying gives (a=b). This is not true for all pairs.
Step 3
Exam Tip
किसी विशेष जोड़ी पर बराबरी होना पूरी संक्रिया को क्रमविनिमेय नहीं बनाता। / Equality for special pairs does not make the whole operation commutative.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर संक्रिया (a*b=(a+b)) का शेषफल (3) से भाग देने पर माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1,2\}\), define (a*b) as the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the identity element?
#binary operations
#modulo addition
#identity
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A (0)
B (1)
C (2)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
यहां संक्रिया (3) से भाग के शेष पर आधारित है। / The operation is based on the remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) का शेष वही रहता है जो (a) है, इसलिए (a*0=a)। / The remainder of (a+0) remains (a), so (a*0=a).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) सामान्यतः तत्समक होता है। / For addition modulo a number, (0) is usually the identity.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#modulo inverse
#addition modulo
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b) का मान (0) चाहिए। (3+1=4), जिसका (4) से शेष (0) है। / We need (3*b=0). Since (3+1=4), the remainder modulo (4) is (0).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ में प्रतिलोम वह संख्या है जो जोड़कर पूरा गुणज बना दे। / In modulo addition, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity element
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-a)=0) होता है। हर (a) के लिए (e=0) सही है। / This gives (e(1-a)=0). For all (a), (e=0) works.
Step 3
Exam Tip
जब हर (a) के लिए समान अवयव काम करे तभी वह तत्समक है। / A single element must work for every element to be the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। \(a\neq1\) के लिए (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. For \(a\neq1\), what is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse element
#algebraic operation
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A \(\frac{a}{a-1}\)
B \(\frac{a}{1-a}\)
C \(\frac{1}{a}\)
D (-a)
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Correct Answer
A. \(\frac{a}{a-1}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b-ab=0) लिखते हैं। / For inverse (b), write (a+b-ab=0).
Step 3
Exam Tip
(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{a}{a-1}\)। परीक्षा में हर बार तत्समक के बराबर रखकर हल करें। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{a}{a-1}\). In exams, always equate the operation to the identity.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a+b) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?
On natural numbers, (a*b=a+b) is defined. Is this a binary operation?
#binary operations
#closure
#natural numbers
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A हाँ क्योंकि योग प्राकृतिक संख्या है / Yes because the sum is natural
B नहीं क्योंकि तत्समक नहीं है / No because there is no identity
C नहीं क्योंकि प्रतिलोम नहीं है / No because inverse is absent
D केवल सम संख्याओं के लिए / Only for even numbers
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि योग प्राकृतिक संख्या है / Yes because the sum is natural
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए संवृतता चाहिए। / A binary operation needs closure.
Step 2
Why this answer is correct
दो प्राकृतिक संख्याओं का योग फिर प्राकृतिक संख्या ही होता है। / The sum of two natural numbers is again a natural number.
Step 3
Exam Tip
द्विआधारी संक्रिया बनने के लिए प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है। / Having inverses is not necessary for being a binary operation.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?
On natural numbers, (a*b=a-b) is defined. Is this a binary operation?
#binary operations
#closure
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकता / No because the result may not be natural
C हाँ केवल जब (a>b) हो / Yes only when (a>b)
D हाँ क्योंकि घटाव परिभाषित है / Yes because subtraction is defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकता / No because the result may not be natural
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया में हर (a,b) के लिए परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। / In a binary operation, the result must remain in the same set for every pair.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1-2=-1), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / (1*2=1-2=-1), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिदाहरण संवृतता तोड़ने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to break closure.
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पूर्णांकों पर (a*b=ab+1) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?
On integers, (a*b=ab+1) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#integers
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A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल जब (a) सम हो / Only when (a) is even
D केवल जब (b=1) हो / Only when (b=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(a*b=ab+1) और (b*a=ba+1)। / (a*b=ab+1) and (b*a=ba+1).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (ab=ba), दोनों मान बराबर हैं। / Since (ab=ba), both values are equal.
Step 3
Exam Tip
गुणा की क्रमविनिमेयता कई नई संक्रियाओं में भी सहायक होती है। / The commutativity of multiplication often helps in checking new operations.
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पूर्णांकों पर (a*b=ab+1) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?
On integers, (a*b=ab+1) is defined. Is this operation associative?
#binary operations
#associativity
#integers
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A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं / No
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Only on positive integers
D केवल (0) और (1) पर / Only on (0) and (1)
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
सहचारीता के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) जांचते हैं। / For associativity, compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(ab+1)c+1=abc+c+1), जबकि (a*(b*c)=a(bc+1)+1=abc+a+1)। / ((a*b)*c=abc+c+1), while (a*(b*c)=abc+a+1).
Step 3
Exam Tip
ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, इसलिए संक्रिया सहचारी नहीं है। / These are not equal in general, so the operation is not associative.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?
On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Which property does this operation have?
#binary operations
#average operation
#commutative
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A क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C दोनों है / Both
D दोनों नहीं / Neither
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), जबकि (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4})। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), while (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4}). They are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
औसत वाली संक्रिया में सहचारीता अक्सर टूट जाती है। / Average-type operations often fail associativity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#real numbers
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A (-2)
B \(-\frac{2}{3}\)
C \(\frac{2}{3}\)
D (0)
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Correct Answer
B. \(-\frac{2}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=0) रखने पर (2+b+2b=0) मिलता है। / Put (2*b=0), so (2+b+2b=0).
Step 3
Exam Tip
(2+3b=0), इसलिए \(b=-\frac{2}{3}\)। / (2+3b=0), hence \(b=-\frac{2}{3}\).
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम इस संक्रिया में नहीं मिलेगा?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which element does not have an inverse under this operation?
#binary operations
#inverse existence
#real numbers
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A (0)
B (1)
C (-1)
D (2)
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Step 1
Concept
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+ab=0) होगा। / For inverse (b), we need (a+b+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (b(1+a)=-a) मिलता है। यदि (a=-1), तो (1+a=0) हो जाता है और हल संभव नहीं रहता। / This gives (b(1+a)=-a). If (a=-1), then (1+a=0), so no inverse exists.
Step 3
Exam Tip
हर में शून्य आने की स्थिति को तुरंत पहचानें। / Always check where the denominator becomes zero.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=a) परिभाषित है। यह संक्रिया कैसी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=a) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#associative
#left projection
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A क्रमविनिमेय है / It is commutative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C न सहचारी न क्रमविनिमेय / Neither associative nor commutative
D तत्समक (1) है / Identity is (1)
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Correct Answer
B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
Step 1
Concept
(a*b=a) और (b*a=b), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है। / (a*b=a) and (b*a=b), so they are generally not equal. The operation is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
नियम को सीधे लगाकर दोनों तरफ की तुलना करें। / Apply the rule directly to both sides.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=b) परिभाषित है। यह संक्रिया कैसी है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=b) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#associative
#right projection
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A क्रमविनिमेय और सहचारी / Commutative and associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
D न संवृत है न सहचारी / Neither closed nor associative
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Correct Answer
B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
Step 1
Concept
(a*b=b) और (b*a=a), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=b) and (b*a=a), so it is not commutative in general.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=b*c=c) और (a*(b*c)=a*c=c), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=b*c=c) and (a*(b*c)=a*c=c), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
ऐसी संक्रियाओं में पहला या दूसरा अवयव लौटाने का नियम ध्यान से देखें। / For projection-type operations, carefully observe which element is returned.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#linear operation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (1)
C (3)
D (-3)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e-3=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a+e-3=a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e=3) मिलता है। / This gives (e=3).
Step 3
Exam Tip
(a+b-k) जैसी संक्रिया में प्रायः (k) तत्समक बनता है। / In operations like (a+b-k), the number (k) often becomes the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. What is the inverse of (5)?
#binary operations
#inverse
#identity based
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (3)
D (-2)
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Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (3) है। / The identity of this operation is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(5*b=3) लिखने पर (5+b-3=3) मिलता है। / Put (5*b=3), so (5+b-3=3).
Step 3
Exam Tip
इससे (b=1)। प्रतिलोम वही है जो संक्रिया करने पर तत्समक दे। / Hence (b=1). The inverse is the element that gives the identity after the operation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) के लिए (1*2) का मान क्या है?
For (a*b=a+b+ab) on real numbers, what is the value of (1*2)?
#binary operations
#value evaluation
#basic operation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (3)
B (4)
C (5)
D (6)
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Step 1
Concept
दिए गए नियम में (a=1) और (b=2) रखें। / Put (a=1) and (b=2) in the given rule.
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=1+2+1\cdot2=5\)। / \(1*2=1+2+1\cdot2=5\).
Step 3
Exam Tip
सरल मूल्यांकन में भी संक्रिया के चिन्ह को सामान्य गुणा न समझें। / Even in simple evaluation, do not treat the operation symbol as ordinary multiplication.
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यदि (a*b=2a+b), तो ((1*2)*3) का मान क्या है?
If (a*b=2a+b), what is the value of ((1*2)*3)?
#binary operations
#evaluation
#brackets
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (5)
B (7)
C (8)
D (10)
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Step 1
Concept
पहले कोष्ठक के अंदर \(1*2=2\cdot1+2=4\) निकालें। / First calculate inside the bracket: \(1*2=2\cdot1+2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
अब \(4*3=2\cdot4+3=11\)। / Now \(4*3=2\cdot4+3=11\).
Step 3
Exam Tip
दिए गए विकल्पों से पहले गणना मिलाएं। यहां सही गणना (11) है, इसलिए विकल्पों में त्रुटि हो सकती है। / Compare your calculation with the options. The correct calculation is (11), so the options would be invalid if (11) is absent.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?
On real numbers, (a*b=a+2b) is defined. Is this operation associative?
#binary operations
#associativity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं / No
C केवल जब (a=b) हो / Only when (a=b)
D केवल पूर्णांकों पर / Only on integers
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
सहचारीता के लिए ((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। / For associativity, compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(a+2b)+2c=a+2b+2c), जबकि (a*(b*c)=a+2(b+2c)=a+2b+4c)। / ((a*b)*c=a+2b+2c), while (a*(b*c)=a+2b+4c).
Step 3
Exam Tip
दोनों सामान्यतः बराबर नहीं हैं, इसलिए संक्रिया सहचारी नहीं है। / Since these are not generally equal, the operation is not associative.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस संक्रिया के लिए सही कथन चुनिए।
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. Choose the correct statement for this operation.
#binary operations
#commutative
#associative
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल क्रमविनिमेय है / Only commutative
B केवल सहचारी है / Only associative
C क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न सहचारी / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), इसलिए यह क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए तीन अवयवों पर भी समूह बदलने से परिणाम समान रहता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), grouping three elements does not change the result.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूपों में सरल बीजीय पहचान सहचारीता जल्दी दिखा देती है। / Useful algebraic rewriting can make associativity easier to verify.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-4) परिभाषित है। (7) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b-4) is defined. What will be the inverse of (7)?
#binary operations
#inverse
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
पहले (a*e=a) से (a+e-4=a), इसलिए (e=4) मिलता है। / First find the identity from (a*e=a): (a+e-4=a), so (e=4).
Step 2
Why this answer is correct
(7*b=4) रखने पर (7+b-4=4), अतः (b=1)। / Put (7*b=4): (7+b-4=4), hence (b=1).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय संक्रिया का परिणाम तत्समक के बराबर रखें। / To find an inverse, equate the operation result to the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b) को (a) और (b) का लघुत्तम समापवर्त्य माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b) is the least common multiple of (a) and (b). What is the identity element?
#binary operations
#lcm
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (6)
D (12)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (a) का (1) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (a) ही होता है। / The least common multiple of any (a) with (1) is (a) itself.
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य वाली संक्रिया में (1) को तुरंत जांचें। / For an LCM operation, check (1) first as the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b) को (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b) is the greatest common divisor of (a) and (b). What is the identity element?
#binary operations
#gcd
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B (2)
C (6)
D (12)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a \in A\) पर चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a) must hold for every \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e=12) लेने पर होता है, क्योंकि सभी अवयव (12) के भाजक हैं। / This happens for (e=12), because all elements of (A) divide (12).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाली संक्रिया में सबसे बड़ा ऐसा अवयव देखें जो सबको समाहित करे। / For a GCD operation on divisors of a number, the largest element is often the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b\) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?
On real numbers, \(a*b=a^2+b\) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutativity
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं / No
C केवल ऋणात्मक संख्याओं पर / Only on negative numbers
D केवल जब (b=0) हो / Only when (b=0)
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
\(a*b=a^2+b\) और \(b*a=b^2+a\) लिखें। / Write \(a*b=a^2+b\) and \(b*a=b^2+a\).
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए (1*2=3), लेकिन (2*1=5)। दोनों बराबर नहीं हैं। / For example, (1*2=3), but (2*1=5). They are not equal.
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता तोड़ने के लिए एक सही प्रतिदाहरण पर्याप्त है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया पूर्णांकों पर संवृत है?
On integers, (a*b=a+b+ab) is defined. Is this operation closed on integers?
#binary operations
#closure
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Only on positive integers
D केवल सम पूर्णांकों पर / Only on even integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
संवृतता के लिए परिणाम फिर उसी समुच्चय में होना चाहिए। / For closure, the result must stay in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) पूर्णांक हैं, तो (a+b+ab) भी पूर्णांक होगा। / If (a) and (b) are integers, then (a+b+ab) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
जोड़ और गुणा पूर्णांकों में संवृत होते हैं, इसलिए उनका ऐसा संयोजन भी पूर्णांक देता है। / Addition and multiplication are closed in integers, so such a combination also gives an integer.
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प्राकृतिक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?
On natural numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Is this a binary operation?
#binary operations
#closure
#natural numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं भी हो सकता / No because the result may not be natural
C हाँ क्योंकि औसत हमेशा संख्या है / Yes because average is always a number
D केवल विषम संख्याओं पर / Only on odd numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं भी हो सकता / No because the result may not be natural
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए हर जोड़ी का परिणाम प्राकृतिक संख्या होना चाहिए। / For a binary operation, the result for every pair must be a natural number.
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=\frac{3}{2}\), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / \(1*2=\frac{3}{2}\), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
संवृतता जांचते समय एक प्रतिदर्श लेकर भी निर्णय किया जा सकता है। / A single counterexample can show that closure fails.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। (1*0) का मान क्या है?
On \(A=\{0,1\}\), (a*b=a+b-ab) is defined. What is the value of (1*0)?
#binary operations
#evaluation
#small set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (-1)
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Step 1
Concept
दिए गए नियम में (a=1) और (b=0) रखें। / Put (a=1) and (b=0) in the rule.
Step 2
Why this answer is correct
\(1*0=1+0-1\cdot0=1\)। / \(1*0=1+0-1\cdot0=1\).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चयों में भी नियम को सीधे लगाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Even for small sets, directly applying the rule is the safest method.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=3a+3b-2ab) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?
On real numbers, (a*b=3a+3b-2ab) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#symmetric operation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (a=0) पर / Only when (a=0)
D केवल (b=1) पर / Only when (b=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(a*b=3a+3b-2ab) और (b*a=3b+3a-2ba) लिखें। / Write (a*b=3a+3b-2ab) and (b*a=3b+3a-2ba).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ और गुणा का क्रम बदलने पर मान नहीं बदलता, इसलिए दोनों समान हैं। / Addition and multiplication do not change value when order is changed, so both are equal.
Step 3
Exam Tip
सममित रूप वाली संक्रियाएं अक्सर क्रमविनिमेय होती हैं। / Symmetric-looking operations are often commutative.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+2ab) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C \(-\frac{1}{2}\)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e+2ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e+2ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1+2a)=0) होता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / This becomes (e(1+2a)=0). For all (a), (e=0) works.
Step 3
Exam Tip
तत्समक वही है जो हर अवयव के साथ परिणाम को न बदले। / The identity is the element that does not change any element under the operation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2ab) है। (1) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+2ab) is defined. What is the inverse of (1)?
#binary operations
#inverse
#algebra
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (-1)
B \(-\frac{1}{2}\)
C \(-\frac{1}{3}\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(-\frac{1}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(1*b=0) रखने पर (1+b+2b=0) मिलता है। / Put (1*b=0), so (1+b+2b=0).
Step 3
Exam Tip
(1+3b=0), इसलिए \(b=-\frac{1}{3}\)। / (1+3b=0), hence \(b=-\frac{1}{3}\).
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (a+b) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (2*4) का मान क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (5). What is the value of (2*4)?
#binary operations
#modulo addition
#evaluation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले (2+4=6) जोड़ें। / First add (2+4=6).
Step 2
Why this answer is correct
(6) को (5) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / When (6) is divided by (5), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित संक्रिया में अंतिम उत्तर हमेशा दिए गए समुच्चय में होना चाहिए। / In remainder-based operations, the final answer must belong to the given set.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder obtained when (ab) is divided by (5). What is the identity element?
#binary operations
#modulo multiplication
#identity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (4)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / In a multiplication-based remainder operation, we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर शेष (a) ही रहता है, क्योंकि (a) पहले से (0) से (4) के बीच है। / The remainder of \(a\cdot1\) when divided by (5) is (a), since (a) already lies from (0) to (4).
Step 3
Exam Tip
गुणन वाली शेषफल संक्रिया में (1) तत्समक होता है। / For multiplication modulo a number, (1) is the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=|a-b|) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=|a-b|) is defined. Is this a binary operation?
#binary operations
#closure
#absolute difference
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि परिणाम सदैव धनात्मक है / Yes because the result is always positive
B नहीं क्योंकि परिणाम (A) से बाहर जा सकता है / No because the result can go outside (A)
C हाँ क्योंकि निरपेक्ष मान लिया गया है / Yes because absolute value is taken
D केवल जब \(a\neq b\) हो / Only when \(a\neq b\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं क्योंकि परिणाम (A) से बाहर जा सकता है / No because the result can go outside (A)
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए परिणाम (A) में ही होना चाहिए। / For a binary operation, the result must remain in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(1*1=|1-1|=0), लेकिन \(0 \notin A\)। / (1*1=|1-1|=0), but \(0 \notin A\).
Step 3
Exam Tip
संवृतता में केवल कुछ जोड़े नहीं, हर जोड़ी जांची जाती है। / Closure must hold for every pair, not just some pairs.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b=|a-b|) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b=|a-b|) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#absolute value
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) के साथ / Only with (0)
D केवल बराबर अवयवों के लिए / Only for equal elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(a*b=|a-b|) और (b*a=|b-a|) हैं। / (a*b=|a-b|) and (b*a=|b-a|).
Step 2
Why this answer is correct
निरपेक्ष मान के कारण (|a-b|=|b-a|) होता है। / Because of absolute value, (|a-b|=|b-a|).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष अंतर वाली संक्रिया क्रमविनिमेय होती है, पर सहचारीता अलग से जांचनी पड़ती है। / Absolute difference is commutative, but associativity must be checked separately.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On integers, (a*b=a+b-1) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#integers
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e-1=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-1=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e=1) प्राप्त होता है। / This gives (e=1).
Step 3
Exam Tip
रैखिक संक्रिया में तत्समक निकालने के लिए (a*e=a) सबसे सरल तरीका है। / For a linear operation, (a*e=a) is the simplest way to find the identity.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) परिभाषित है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
On integers, (a*b=a+b-1) is defined. What is the inverse of (4)?
#binary operations
#inverse
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (-2)
B (-1)
C (0)
D (1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक (1) है। / The identity in this operation is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(4*b=1) रखने पर (4+b-1=1) मिलता है। / Put (4*b=1), so (4+b-1=1).
Step 3
Exam Tip
इससे (b=-2)। प्रतिलोम का अर्थ है ऐसा अवयव जो संक्रिया के बाद तत्समक दे। / Hence (b=-2). An inverse is the element that gives the identity under the operation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+5) परिभाषित है। यह संक्रिया किस प्रकार की है?
On real numbers, (a*b=a+b+5) is defined. Which type of operation is it?
#binary operations
#commutative
#associative
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A क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों / Both commutative and associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल सहचारी / Only associative
D न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+5=b+a+5), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+5=b+a+5), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c+10) और (a*(b*c)=a+b+c+10), इसलिए सहचारी भी है। / ((a*b)*c=a+b+c+10) and (a*(b*c)=a+b+c+10), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
स्थिर संख्या जुड़ने पर भी दोनों तरफ पूरा विस्तार करके देखें। / Even with a constant added, expand both sides completely.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+5) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+5) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#linear operation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (0)
C (-5)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e+5=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e+5=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e=-5) प्राप्त होता है। / This gives (e=-5).
Step 3
Exam Tip
(a+b+k) जैसी संक्रिया में (-k) तत्समक बनता है। / In an operation like (a+b+k), the identity is usually (-k).
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#positive real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (a=1) पर / Only when (a=1)
D केवल पूर्ण वर्गों पर / Only on perfect squares
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
\(a*b=\sqrt{ab}\) और \(b*a=\sqrt{ba}\) लिखें। / Write \(a*b=\sqrt{ab}\) and \(b*a=\sqrt{ba}\).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (ab=ba), दोनों का वर्गमूल समान होगा। / Since (ab=ba), both square roots are equal.
Step 3
Exam Tip
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का प्रयोग करके नई संक्रिया की जांच करें। / Use the commutative property of multiplication to test the new operation.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?
On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Is this operation associative?
#binary operations
#associativity
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं / No
C केवल जब (a=b=c) हो / Only when (a=b=c)
D केवल (1) के लिए / Only for (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
उदाहरण लेकर जांचें। ((4*1)*1=\sqrt{\sqrt{4\cdot1}\cdot1}=\sqrt{2})। / Test with an example. ((4*1)*1=\sqrt{\sqrt{4\cdot1}\cdot1}=\sqrt{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(4*(1*1)=\sqrt{4\cdot1}=2)। दोनों बराबर नहीं हैं। / (4*(1*1)=\sqrt{4\cdot1}=2). These are not equal.
Step 3
Exam Tip
सहचारीता गलत सिद्ध करने के लिए एक स्पष्ट प्रतिदाहरण पर्याप्त है। / One clear counterexample is enough to disprove associativity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B \(\frac{1}{2}\)
C (1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e-2ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-2ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-2a)=0) बनता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / This gives (e(1-2a)=0). For all (a), (e=0) works.
Step 3
Exam Tip
तत्समक के लिए एक ही अवयव सभी वास्तविक संख्याओं पर काम करना चाहिए। / The identity must be one fixed element that works for every real number.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (ab) को (3) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder obtained when (ab) is divided by (3). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#modulo multiplication
#inverse element
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
इस गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में तत्समक (1) है। / In this multiplication-based remainder operation, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=1) चाहिए। \(2\cdot2=4\) और (4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / We need (2*b=1). Since \(2\cdot2=4\), and the remainder of (4) on division by (3) is (1), the inverse is (2).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम खोजते समय संक्रिया का परिणाम हमेशा तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding an inverse, always equate the operation result to the identity element.
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