Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह हमेशा समतुल्यता संबंध होगा/it is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations contain all diagonal pairs, so the intersection does too.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई युग्म प्रतिच्छेद में है, तो उसका उल्टा दोनों संबंधों में होगा और इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। / If a pair is in the intersection, its reverse is in both relations and hence in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता भी दोनों में एक साथ लागू होकर प्रतिच्छेद में बनी रहती है। / Transitivity also remains valid because both relations provide the required pair.
C. नहीं, संक्रामकता टूट सकती है/no, transitivity may fail
Step 1
Concept
दो समतुल्यता संबंधों का संघ प्रतिवर्ती और सममित रह सकता है। / The union of two equivalence relations may remain reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आने पर जरूरी तीसरा युग्म गायब हो सकता है। / But one pair may come from one relation and the next pair from the other, so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संघ को बिना जांचे समतुल्यता संबंध नहीं मानना चाहिए। / Therefore the union is not always an equivalence relation.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) और \(S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) हैं। \(R\cup S\) क्यों समतुल्यता संबंध नहीं है?
C. ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है/((1,3)) is missing, so transitivity fails
Step 1
Concept
संघ में सभी विकर्ण युग्म हैं और उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / The union contains all diagonal pairs and the needed reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / It also contains ((1,2)) and ((2,3)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing, so it is not an equivalence relation.
\(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((c,a)) मिलता है। / Transitivity of (R) gives ((c,a)).
Step 3
Exam Tip
इसका प्रतिलोम ((a,c)), \(R^{-1}\) में होगा, इसलिए \(R^{-1}\) संक्रामी है। / Reversing it gives ((a,c)) in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive.
