Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / The sum of two integer differences is an integer, so transitivity also holds.
B. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी/symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) अपरिमेय नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / (a-a=0) is not irrational, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय होगा, इसलिए सममित है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}R0\) और \(0R\sqrt{2}\) सही हैं, पर \(\sqrt{2}R\sqrt{2}\) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / \(\sqrt{2}R0\) and \(0R\sqrt{2}\) hold, but \(\sqrt{2}R\sqrt{2}\) fails, so it is not transitive.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\) से प्रतिवर्तिता मिलती है। / \(a^2\le a^2\) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामी है। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1^2\le 2^2\) सही है पर \(2^2\le 1^2\) गलत, इसलिए सममित नहीं। / \(1^2\le 2^2\) is true but \(2^2\le 1^2\) is false, so it is not symmetric.
हर (a) के लिए (|a|=|a|), इसलिए प्रतिवर्ती है। / For every (a), (|a|=|a|), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (|a|=|b|), तो (|b|=|a|), इसलिए सममित है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
बराबर परिमाण की शृंखला आगे भी बराबर परिमाण देती है, इसलिए संक्रामी है। / Equality of absolute values passes through a middle element, so it is transitive.
A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) केवल (a=0,b=0) पर संभव है। / For real numbers, \(a^2+b^2=0\) is possible only when (a=0,b=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध में केवल ((0,0)) है, जिससे सममितता और संक्रामकता बनी रहती है। / Thus the relation contains only ((0,0)), which keeps symmetry and transitivity true.
Step 3
Exam Tip
सभी वास्तविक (a) के लिए ((a,a)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / It is not reflexive because ((a,a)) is not present for every real (a).
A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no counterexample breaks symmetry or transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
अरिक्त (A) में ((a,a)) चाहिए, पर कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं। / For non-empty (A), reflexivity needs ((a,a)), but no diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सममित और संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं। / Hence it is symmetric and transitive but not reflexive.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
कोई दूसरा ऐसा क्रम नहीं है जो नया अनिवार्य युग्म बनाए। / No other chain creates a new required pair.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण और उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती या सममित न मानें। / Since diagonal and reverse pairs are missing, do not call it reflexive or symmetric.
