Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Hence the union of transitive relations is not always transitive.
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) के संक्रामक होने से ((a,c)) (R) में होगा और (S) के संक्रामक होने से (S) में भी होगा। / Since (R) is transitive, ((a,c)) is in (R); since (S) is transitive, it is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में होगा। / Therefore ((a,c)) is in \(R\cap S\).
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
अपने आप से अंतर (0) है, इसलिए परावर्ती है। / The difference of an element from itself is (0), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। / Difference remains the same when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) और (3R4) सही हैं, पर (1R4) गलत है क्योंकि अंतर (3) है, इसलिए संक्रामकता नहीं। / (1R3) and (3R4) are true, but (1R4) is false because the difference is (3), so it is not transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है, इसलिए सममितता है। / (a+b=5) remains true after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) के बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so transitivity also holds.
परावर्ती संबंध में स्वयुग्म अनिवार्य होते हैं, पर अन्य युग्म भी जोड़े जा सकते हैं। / A reflexive relation must contain self-pairs, but other pairs may also be included.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम स्थिति में संबंध \(A\times A\) होगा। / In the maximum case, the relation is \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
(4) तत्वों के लिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / For (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
