पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (|a|=|b|) है। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) means (|a|=|b|). What type of relation is this?
#relations
#equivalence-relation
#absolute-value
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वतः / Only reflexive
C केवल सममित / Only symmetric
D संचारी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या के लिए (|a|=|a|) सही है इसलिए संबंध स्वतः है। / For every number, (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी को उलटने पर भी बराबरी रहती है इसलिए सममित है। / Equality remains true when reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो बराबरियाँ जुड़ती हैं तो तीसरी बराबरी भी मिलती है इसलिए संचारी है। / If two equalities connect, the third equality also follows, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। यह संबंध किस प्रकार का है?
On real numbers, (aRb) means \(a^2=b^2\). What type of relation is this?
#relations
#equivalence-relation
#square-equality
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C स्वतः नहीं / Not reflexive
D संचारी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\) हर (a) के लिए सही है। / \(a^2=a^2\) is true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) भी सही है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true.
Step 3
Exam Tip
बराबरी की श्रृंखला से \(a^2=c^2\) मिलता है इसलिए तीनों गुण पूरे होते हैं। / A chain of equalities gives \(a^2=c^2\), so all three properties hold.
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शून्य रहित वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (ab>0) है। यह संबंध कैसा है?
On non-zero real numbers, (aRb) means (ab>0). What type of relation is this?
#relations
#equivalence-relation
#same-sign
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतः नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संचारी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
शून्य रहित (a) के लिए \(a^2>0\) है इसलिए संबंध स्वतः है। / For non-zero (a), \(a^2>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(ab>0) होने पर (ba>0) भी है इसलिए सममित है। / If (ab>0), then (ba>0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध समान चिह्न को दिखाता है और समान चिह्न की श्रृंखला संचारी होती है। / The relation means same sign, and same sign passes through a chain.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a-b>0) है। कौन सा कथन सही है?
On real numbers, (aRb) means (a-b>0). Which statement is correct?
#relations
#greater-than
#transitive-relation
A संचारी पर स्वतः नहीं / Transitive but not reflexive
B स्वतः और सममित / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D सर्वसम संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. संचारी पर स्वतः नहीं / Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a-a=0) है जो (0) से बड़ा नहीं है इसलिए संबंध स्वतः नहीं है। / (a-a=0), which is not greater than (0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) और (b>c) है तो (a>c) होगा इसलिए संचारी है। / If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
अधिकता वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते। / Greater-than type relations are generally not symmetric.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a+b=0) है। कौन सा गुण सही है?
On real numbers, (aRb) means (a+b=0). Which property is correct?
#relations
#symmetric-relation
#not-reflexive
A सममित पर स्वतः नहीं / Symmetric but not reflexive
B स्वतः और संचारी / Reflexive and transitive
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D सर्वसम संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. सममित पर स्वतः नहीं / Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
(a+b=0) होने पर (b+a=0) भी होता है इसलिए संबंध सममित है। / If (a+b=0), then (b+a=0), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=0) हर वास्तविक (a) के लिए सही नहीं है इसलिए स्वतः नहीं है। / (a+a=0) is not true for every real (a), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
सममित होना अकेले तुल्यता के लिए पर्याप्त नहीं है। / Symmetry alone is not enough for equivalence.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,2),(3,3)\}\) है तो (R) को सममित बनाने के लिए सबसे छोटा कौन सा संबंध चाहिए?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,2),(3,3)\}\), what is the smallest relation needed to make (R) symmetric?
#relations
#symmetric-closure
#smallest-relation
A ({(1,2),(2,1),(3,3)})
B ({(1,2),(3,3),(1,1)})
C ({(1,2),(2,2),(3,3)})
D ({(1,2),(2,3),(3,3)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1),(3,3)})
Step 1
Concept
सममितता के लिए ((1,2)) का उलटा ((2,1)) जोड़ना होगा। / For symmetry, the reverse ((2,1)) of ((1,2)) must be added.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) अपने उलटे के समान है इसलिए अलग युग्म नहीं चाहिए। / ((3,3)) is its own reverse, so no extra pair is needed for it.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा संबंध बनाते समय केवल जरूरी युग्म जोड़ें। / For the smallest relation add only compulsory pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,3)\}\) है तो (R) को स्वतः बनाने के लिए कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,3)\}\), which pairs must be added to make (R) reflexive?
#relations
#reflexive-closure
#missing-diagonal
A ((2,2)) और ((3,3)) / ((2,2)) and ((3,3))
B ((1,2)) और ((2,1)) / ((1,2)) and ((2,1))
C ((3,2)) और ((2,1)) / ((3,2)) and ((2,1))
D ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
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Correct Answer
A. ((2,2)) और ((3,3)) / ((2,2)) and ((3,3))
Step 1
Concept
स्वतः संबंध के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / Reflexivity needs ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए संबंध में ((1,1)) पहले से है। / ((1,1)) is already present in the relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((2,2)) और ((3,3)) जोड़ने होंगे। / Therefore only ((2,2)) and ((3,3)) must be added.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है तो संचारीता पूरी करने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?
If \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), which minimum pair must be added to complete transitivity?
#relations
#transitive-closure
#required-pair
A ((1,3))
B ((2,1))
C ((3,2))
D ((1,1))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
संचारीता में ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए संबंध में ((1,3)) नहीं है। / ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए न्यूनतम जोड़ने वाला युग्म ((1,3)) है। / Hence the minimum pair to add is ((1,3)).
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यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है तो संचारीता सबसे पहले किस युग्म की माँग करती है?
If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair is first required by transitivity?
#relations
#transitive-relation
#diagonal-pair
A ((1,1))
B ((1,4))
C ((4,1))
D ((3,4))
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Correct Answer
A. ((1,1))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) में बीच का अवयव (2) समान है। / In ((1,2)) and ((2,1)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
संचारीता के लिए ((1,1)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
उलटे युग्मों से अक्सर विकर्ण युग्म की जरूरत बनती है। / Reverse pairs often create a need for a diagonal pair.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) है तो पूर्ण संचारी विस्तार के लिए निम्न में से कौन सा युग्म अवश्य जोड़ा जाएगा?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), which of the following pairs must be added for a full transitive extension?
#relations
#transitive-closure
#chain
A ((1,4))
B ((4,1))
C ((2,1))
D ((3,1))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। / Then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
संचारी विस्तार में नए बने युग्मों से आगे की जरूरत भी देखें। / In a transitive extension, also check requirements created by newly added pairs.
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