यदि किसी संबंध (R) का प्रांत ({1,2,3}) और परिसर ({4,5}) है तो \(R^{-1}\) का प्रांत क्या होगा?
If a relation (R) has domain ({1,2,3}) and range ({4,5}), what is the domain of \(R^{-1}\)?
#relations
#inverse-relation
#domain-range
A ({4,5})
B ({1,2,3})
C ({1,4})
D ({2,5})
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Correct Answer
A. ({4,5})
Step 1
Concept
विलोम संबंध में हर युग्म के घटक उलट जाते हैं। / In the inverse relation, the components of every pair are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मूल संबंध का परिसर विलोम संबंध का प्रांत बनता है। / Therefore the range of the original relation becomes the domain of the inverse.
Step 3
Exam Tip
विलोम में प्रांत और परिसर की अदला बदली याद रखें। / Remember that domain and range interchange in the inverse.
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यदि (R) सममित और संचारी है लेकिन स्वतः नहीं है तो क्या (R) तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is symmetric and transitive but not reflexive, is (R) an equivalence relation?
#relations
#equivalence-relation
#property-check
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल जब समुच्चय बड़ा हो / Only when the set is large
D केवल जब संबंध रिक्त हो / Only when the relation is empty
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए स्वतः, सममित और संचारी तीनों गुण चाहिए। / An equivalence relation needs reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ स्वतः गुण नहीं है इसलिए शर्त पूरी नहीं होती। / Here reflexivity is missing, so the condition is not satisfied.
Step 3
Exam Tip
दो गुण पर्याप्त नहीं होते, तीनों की पुष्टि जरूरी है। / Two properties are not enough; all three must be confirmed.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,3)\in R\), तो कौन सा युग्म निश्चित रूप से (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,3)\in R\), which pair must definitely be in (R)?
#relations
#equivalence-relation
#transitivity
A ((1,3))
B ((3,1)) ही नहीं / Not ((3,1))
C ((1,4))
D ((4,1))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध संचारी होता है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से संचारीता द्वारा ((1,3)) मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity gives ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में दी गई श्रृंखला से नए युग्म निकालें। / In equivalence relations use the given chain to find required pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((4,7)\in R\), तो कौन सा युग्म निश्चित रूप से (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((4,7)\in R\), which pair must definitely be in (R)?
#relations
#equivalence-relation
#symmetry
A ((7,4))
B ((4,8))
C ((7,8))
D ((8,4))
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Correct Answer
A. ((7,4))
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध सममित होता है। / An equivalence relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((4,7)) होने पर सममितता से ((7,4)) भी होगा। / If ((4,7)) is present, symmetry gives ((7,4)).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में उलटे युग्म को हमेशा ध्यान में रखें। / In equivalence relations always remember the reverse pair.
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समुच्चय ({1,2,3,4}) पर समान समता वाले संबंध में (1) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?
In the same-parity relation on ({1,2,3,4}), what is the equivalence class of (1)?
#relations
#equivalence-class
#parity
A ({1,3})
B ({2,4})
C ({1,2})
D ({3,4})
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Correct Answer
A. ({1,3})
Step 1
Concept
समान समता का अर्थ है दोनों संख्याएँ या तो विषम हों या दोनों सम हों। / Same parity means both numbers are odd or both are even.
Step 2
Why this answer is correct
(1) विषम है और ({1,2,3,4}) में विषम संख्याएँ (1,3) हैं। / (1) is odd, and the odd numbers in ({1,2,3,4}) are (1,3).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग में उसी समूह के अवयव लिखें। / In an equivalence class, write the elements of the same group.
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समुच्चय ({1,2,3,4,5,6}) में (3) से भाग देने पर समान शेषफल वाले संबंध के कितने तुल्यता वर्ग होंगे?
In ({1,2,3,4,5,6}), how many equivalence classes are formed by the relation of having the same remainder on division by (3)?
#relations
#equivalence-class
#remainder
A (3)
B (2)
C (6)
D (9)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर संभव शेषफल (0,1,2) हैं। / On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल वाले अवयव एक ही वर्ग में जाते हैं। / Elements with the same remainder go into the same class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल (3) तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Hence (3) equivalence classes are formed.
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समान शेषफल (3) से भाग देने वाले संबंध में समुच्चय ({1,2,3,4,5,6}) पर (2) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?
For the same-remainder modulo (3) relation on ({1,2,3,4,5,6}), what is the equivalence class of (2)?
#relations
#equivalence-class
#remainder
A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / Dividing (2) by (3) gives remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
(5) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / Dividing (5) by (3) also gives remainder (2).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में रहते हैं। / Elements with the same remainder belong to the same equivalence class.
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यदि किसी तुल्यता संबंध से विभाजन ({{1,2},{3}}) मिलता है तो कौन सा युग्म संबंध में अवश्य होगा?
If an equivalence relation gives the partition ({{1,2},{3}}), which pair must be in the relation?
#relations
#equivalence-relation
#partition
A ((1,2))
B ((1,3))
C ((2,3))
D ((3,1))
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Correct Answer
A. ((1,2))
Step 1
Concept
एक ही भाग में रखे अवयव आपस में संबंधित होते हैं। / Elements placed in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) एक ही भाग ({1,2}) में हैं। / (1) and (2) are in the same block ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((1,2)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((1,2)) must be in the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर विभाजन ({{1},{2,3}}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?
For the equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\) formed by the partition ({{1},{2,3}}), which pair will not be present?
#relations
#partition
#equivalence-relation
A ((1,2))
B ((2,3))
C ((3,2))
D ((1,1))
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Correct Answer
A. ((1,2))
Step 1
Concept
विभाजन से बने तुल्यता संबंध में केवल एक ही भाग के अवयव संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation formed by a partition, only elements in the same block are related.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) अलग अलग भागों में हैं। / (1) and (2) are in different blocks.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((1,2)) संबंध में नहीं होगा। / Therefore ((1,2)) will not be in the relation.
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दो अवयवों वाले समुच्चय पर कुल कितने तुल्यता संबंध हो सकते हैं?
How many equivalence relations can be formed on a set with two elements?
#relations
#equivalence-relations
#counting
A (2)
B (3)
C (4)
D (8)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय के विभाजनों से जुड़े होते हैं। / Equivalence relations correspond to partitions of a set.
Step 2
Why this answer is correct
दो अवयवों के विभाजन हैं, दोनों अलग अलग या दोनों साथ। / For two elements, the partitions are both separate or both together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल (2) तुल्यता संबंध बनते हैं। / Hence there are (2) equivalence relations.
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