यदि (R) सममित संबंध है तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is symmetric, which statement about \(R^{-1}\) is correct?
#relations
#symmetric-relation
#inverse
A \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}\) रिक्त होगा / \(R^{-1}\) will be empty
C \(R^{-1}\) स्वतः नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be reflexive
D \(R^{-1}\) बनता नहीं है / \(R^{-1}\) cannot be formed
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Correct Answer
A. \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध में हर युग्म का उलटा पहले से संबंध में होता है। / In a symmetric relation, the reverse of every pair is already in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
विलोम लेने पर वही युग्मों का समूह वापस मिलता है। / Taking the inverse gives the same set of pairs back.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध की सरल पहचान \(R^{-1}=R\) है। / A simple identity for a symmetric relation is \(R^{-1}=R\).
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) है तो कौन सा युग्म संचारीता की जाँच में ((1,3)) और ((3,3)) से चाहिए?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\), which pair is required from ((1,3)) and ((3,3)) while checking transitivity?
#relations
#transitive-relation
#checking
A ((1,3))
B ((3,1))
C ((1,1))
D ((2,1))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
((1,3)) और ((3,3)) में बीच का अवयव (3) समान है। / In ((1,3)) and ((3,3)), the middle element (3) matches.
Step 2
Why this answer is correct
संचारीता के लिए ((1,3)) चाहिए जो पहले से मौजूद है। / Transitivity requires ((1,3)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
संचारीता में जरूरी युग्म कभी वही युग्म भी हो सकता है। / In transitivity, the required pair can sometimes be an already existing pair.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) के तुल्यता वर्गों का सही समूह कौन सा है?
For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which is the correct set of equivalence classes?
#relations
#equivalence-classes
#partition
A ({{1,2},{3}})
B ({{1},{2},{3}})
C ({{1,3},{2}})
D ({{1,2,3}})
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Correct Answer
A. ({{1,2},{3}})
Step 1
Concept
(1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। / (1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं। / Therefore the classes are ({1,2}) and ({3}).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध समान समता का है तो ((1,4)) के बारे में क्या सही है?
If the relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) is same parity, what is true about ((1,4))?
#relations
#parity-relation
#ordered-pair
A यह संबंध में नहीं है / It is not in the relation
B यह संबंध में है / It is in the relation
C यह विकर्ण युग्म है / It is a diagonal pair
D यह प्रांत नहीं बना सकता / It cannot form a domain
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Correct Answer
A. यह संबंध में नहीं है / It is not in the relation
Step 1
Concept
(1) विषम है और (4) सम है। / (1) is odd and (4) is even.
Step 2
Why this answer is correct
समान समता वाले संबंध में दोनों संख्याओं की समता समान होनी चाहिए। / In the same-parity relation, both numbers must have the same parity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((1,4)) संबंध में नहीं होगा। / Therefore ((1,4)) is not in the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों विषम हों, तो कौन सा युग्म संबंध में होगा?
If on \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a) and (b) are both even or both odd, which pair belongs to the relation?
#relations
#parity-relation
#equivalence
A ((2,4))
B ((1,2))
C ((3,4))
D ((2,3))
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Correct Answer
A. ((2,4))
Step 1
Concept
दिए संबंध में दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए। / In the given relation, both elements must have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) दोनों सम हैं इसलिए ((2,4)) संबंध में है। / (2) and (4) are both even, so ((2,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
समता संबंध में सम के साथ सम और विषम के साथ विषम रखें। / In parity relations pair even with even and odd with odd.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) है तो (R) का प्रांत क्या है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\), what is the domain of (R)?
#relations
#domain
#ordered-pairs
A ({1,2})
B ({1,2,3})
C ({3})
D रिक्त समुच्चय / Empty set
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Correct Answer
A. ({1,2})
Step 1
Concept
प्रांत पहले घटकों से बनता है। / The domain is formed from first components.
Step 2
Why this answer is correct
दिए युग्मों के पहले घटक (1,2,1,2) हैं। / The first components are (1,2,1,2).
Step 3
Exam Tip
दोहराव हटाकर प्रांत ({1,2}) होगा। / Removing repetition gives the domain ({1,2}).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) है तो (R) स्वतः क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\), why is (R) not reflexive?
#relations
#reflexive-relation
#base-set
A ((3,3)) अनुपस्थित है / ((3,3)) is absent
B ((1,2)) उपस्थित है / ((1,2)) is present
C ((2,1)) उपस्थित है / ((2,1)) is present
D प्रांत ({1,2}) है / Domain is ({1,2})
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Correct Answer
A. ((3,3)) अनुपस्थित है / ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
स्वतः संबंध की जाँच आधार समुच्चय (A) के हर अवयव पर होती है। / Reflexivity is checked for every element of the base set (A).
Step 2
Why this answer is correct
(3) (A) में है पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is in (A), but ((3,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
केवल प्रांत देखकर स्वतः गुण तय न करें, पूरा आधार समुच्चय देखें। / Do not decide reflexivity only from the domain; check the whole base set.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर स्वतः संबंध हैं तो \(R\cap S\) के बारे में क्या सही है?
If (R) and (S) are both reflexive relations on (A), what is true about \(R\cap S\)?
#relations
#intersection
#reflexive-relation
A यह भी स्वतः होगा / It will also be reflexive
B यह कभी स्वतः नहीं होगा / It will never be reflexive
C यह हमेशा रिक्त होगा / It will always be empty
D यह हमेशा सर्वसम होगा / It will always be universal
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Correct Answer
A. यह भी स्वतः होगा / It will also be reflexive
Step 1
Concept
(R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। / Every ((a,a)) is present in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
जो विकर्ण युग्म दोनों में हैं वे प्रतिच्छेद में भी रहेंगे। / The diagonal pairs common to both remain in the intersection.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cap S\) स्वतः संबंध होगा। / Therefore \(R\cap S\) is reflexive.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर सममित संबंध हैं तो \(R\cup S\) के बारे में क्या सही है?
If (R) and (S) are both symmetric relations on (A), what is true about \(R\cup S\)?
#relations
#union
#symmetric-relation
A यह भी सममित होगा / It will also be symmetric
B यह कभी सममित नहीं होगा / It will never be symmetric
C यह हमेशा स्वतः होगा / It will always be reflexive
D यह हमेशा संचारी होगा / It will always be transitive
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Correct Answer
A. यह भी सममित होगा / It will also be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में वह युग्म है उसमें उसका उलटा भी होगा, इसलिए उलटा युग्म भी \(R\cup S\) में होगा। / In that relation, its reverse is also present, so the reverse is in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममित संबंधों का सम्मिलन सममित रहता है। / Hence the union of symmetric relations remains symmetric.
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यदि (R) और (S) दोनों संचारी संबंध हैं तो \(R\cup S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) and (S) are both transitive relations, which statement about \(R\cup S\) is correct?
#relations
#union
#transitive-relation
A यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहीं / It need not always be transitive
B यह हमेशा संचारी होगा / It is always transitive
C यह हमेशा रिक्त होगा / It is always empty
D यह हमेशा तत्समक होगा / It is always identity
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Correct Answer
A. यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहीं / It need not always be transitive
Step 1
Concept
अलग अलग संबंधों से आए युग्म मिलकर नई श्रृंखला बना सकते हैं। / Pairs coming from different relations can form a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उस नई श्रृंखला के लिए जरूरी तीसरा युग्म सम्मिलन में न भी हो सकता है। / The third pair required for that new chain may not be present in the union.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संचारी संबंधों का सम्मिलन हमेशा संचारी नहीं माना जाता। / Therefore the union of transitive relations is not always transitive.
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