\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) 3 से विभाज्य है}) है। (R) स्वतुल्य है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}). Is (R) reflexive or not?
#divisibility by 3
#not reflexive
#sum condition
A स्वतुल्य नहीं है / Not reflexive
B स्वतुल्य है / Reflexive
C केवल सम सदस्यों के लिए स्वतुल्य / Reflexive only for even elements
D सार्वत्रिक है / Universal
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Correct Answer
A. स्वतुल्य नहीं है / Not reflexive
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म में योग (2a) होगा। / In a self-pair, the sum is (2a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1) पर (2a=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। / For (a=1), (2a=2), which is not divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
एक सदस्य पर असफलता दिखाकर स्वतुल्यता न होना सिद्ध किया जा सकता है। / One failed element is enough to disprove reflexivity.
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\((A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a+b\) 2 से विभाज्य है}) है। (R) में कितने अपने-आप वाले युग्म होंगे?
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by 2}). How many self-pairs will (R) contain?
#self pairs
#counting
#even sum relation
A (3)
B (2)
C (1)
D (0)
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Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। / The self-pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक में योग (2a) है, जो (2) से विभाज्य है। / Each has sum (2a), which is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए तीनों अपने-आप वाले युग्म (R) में होंगे। / Therefore all three self-pairs belong to (R).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और (R) परिभाषित है: (aRb) जब (a=b) या (a+b=5), तो (R) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and (R) is defined by (aRb) when (a=b) or (a+b=5), what is (R)?
#or condition
#reflexive relation
#self pairs
A स्वतुल्य / Reflexive
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C रिक्त / Empty
D केवल सार्वत्रिक / Only universal
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Correct Answer
A. स्वतुल्य / Reflexive
Step 1
Concept
शर्त (a=b) हर अपने-आप वाले युग्म को शामिल कर देती है। / The condition (a=b) includes every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी (R) में हैं। / Thus ((1,1),(2,2),(3,3)) are all in (R).
Step 3
Exam Tip
दूसरी शर्त अतिरिक्त युग्म दे सकती है, लेकिन स्वतुल्यता सुरक्षित रहती है। / The second condition may add pairs, but reflexivity remains safe.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और (R) परिभाषित है: (aRb) जब \(a\ne b\) या (a=2), तो (R) स्वतुल्य है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3\}\) and (R) is defined by (aRb) when \(a\ne b\) or (a=2), is (R) reflexive or not?
#logical condition
#not reflexive
#relation definition
A स्वतुल्य नहीं है / Not reflexive
B स्वतुल्य है / Reflexive
C सार्वत्रिक है / Universal
D पहचान सम्बन्ध है / Identity relation
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Correct Answer
A. स्वतुल्य नहीं है / Not reflexive
Step 1
Concept
((1,1)) के लिए \(a\ne b\) असत्य है और (a=2) भी असत्य है। / For ((1,1)), \(a\ne b\) is false and (a=2) is also false.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((1,1)) (R) में नहीं आएगा। / So ((1,1)) does not belong to (R).
Step 3
Exam Tip
एक अपने-आप वाला युग्म न होने से सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है। / Missing one self-pair makes the relation not reflexive.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\le b+1\}\) है। क्या (R) स्वतुल्य है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\le b+1\}\). Is (R) reflexive?
#inequality condition
#reflexive relation
#substitution
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) के लिए / Only for (1)
D केवल (4) के लिए नहीं / Not only for (4)
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म के लिए (b=a) रखें। / For a self-pair, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a\le a+1\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\le a+1\), which is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में (b=a) रखना सबसे सीधा तरीका है। / In such questions, substituting (b=a) is the direct method.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\le b\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+1\le b\}\). What is correct about (R)?
#inequality relation
#not reflexive
#self pair test
A (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
B (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
C (R) में सभी ((a,a)) हैं / (R) has all ((a,a))
D \(R=A\times A\)
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Correct Answer
A. (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म के लिए (b=a) रखें। / For a self-pair, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a+1\le a\) बनती है, जो किसी संख्या के लिए सत्य नहीं है। / The condition becomes \(a+1\le a\), which is false for every number.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं आएगा और (R) स्वतुल्य नहीं है। / So no self-pair is included and (R) is not reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab>0\}\) है। (R) स्वतुल्य है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab>0\}\). Is (R) reflexive or not?
#product relation
#positive set
#reflexive
A स्वतुल्य है / Reflexive
B स्वतुल्य नहीं है / Not reflexive
C केवल (1) के लिए नहीं / Not for (1) only
D रिक्त सम्बन्ध है / Empty relation
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Correct Answer
A. स्वतुल्य है / Reflexive
Step 1
Concept
(A) के सभी सदस्य धनात्मक हैं। / All elements of (A) are positive.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-आप वाले युग्म में \(ab=a^2\), जो हर \(a\in A\) के लिए (0) से बड़ा है। / For a self-pair, \(ab=a^2\), which is greater than (0) for every \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
गुणन वाली शर्त में \(a^2\) देखकर स्वतुल्यता जांचें। / In product conditions, check \(a^2\) for reflexivity.
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\(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):ab>0\}\) है। (R) स्वतुल्य क्यों नहीं है?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):ab>0\}\). Why is (R) not reflexive?
#zero product
#not reflexive
#product condition
A ((0,0)) पर \(0\cdot 0>0\) सत्य नहीं है / For ((0,0)), \(0\cdot 0>0\) is not true
B ((-1,-1)) पर गुणनफल धनात्मक है / For ((-1,-1)), the product is positive
C ((1,1)) पर गुणनफल धनात्मक है / For ((1,1)), the product is positive
D सभी अपने-आप वाले युग्म शर्त पूरी करते हैं / All self-pairs satisfy the condition
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Correct Answer
A. ((0,0)) पर \(0\cdot 0>0\) सत्य नहीं है / For ((0,0)), \(0\cdot 0>0\) is not true
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर सदस्य का अपने-आप वाला युग्म चाहिए। / Reflexivity requires the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
(0) के लिए ((0,0)) पर गुणनफल (0) है, जो (0) से बड़ा नहीं है। / For (0), the pair ((0,0)) gives product (0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
शून्य वाले समुच्चय में गुणन शर्त सावधानी से जांचें। / Be careful with product conditions when zero is in the set.
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\((A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है\(}) और (S={(a,b):a-b\) सम है}) हैं। (R) और (S) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a+b\) is even\(}) and (S={(a,b):a-b\) is even}). Which statement about (R) and (S) is correct?
#compare relations
#even sum
#even difference
A दोनों स्वतुल्य हैं / Both are reflexive
B केवल (R) स्वतुल्य है / Only (R) is reflexive
C केवल (S) स्वतुल्य है / Only (S) is reflexive
D दोनों स्वतुल्य नहीं हैं / Neither is reflexive
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Correct Answer
A. दोनों स्वतुल्य हैं / Both are reflexive
Step 1
Concept
(R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो सम है। / In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), which is even.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में ((a,a)) रखने पर (a-a=0), जो सम है। / In (S), putting ((a,a)) gives (a-a=0), which is even.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सभी अपने-आप वाले युग्म मौजूद होंगे। / Both relations contain all self-pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) स्वतुल्य सम्बन्ध है, तो (R) में कम से कम कितने युग्म और अधिक से अधिक कितने युग्म हो सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is a reflexive relation, what are the minimum and maximum possible numbers of pairs in (R)?
#minimum maximum pairs
#reflexive relation
#counting
A कम से कम (4), अधिक से अधिक (16) / Minimum (4), maximum (16)
B कम से कम (1), अधिक से अधिक (4) / Minimum (1), maximum (4)
C कम से कम (8), अधिक से अधिक (16) / Minimum (8), maximum (16)
D कम से कम (4), अधिक से अधिक (8) / Minimum (4), maximum (8)
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Correct Answer
A. कम से कम (4), अधिक से अधिक (16) / Minimum (4), maximum (16)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए चार अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए न्यूनतम (4) है। / Reflexivity requires four self-pairs, so the minimum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम सम्बन्ध \(A\times A\) होगा, जिसमें \(4^2=16\) युग्म हैं। / The maximum relation is \(A\times A\), which has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम और अधिकतम दोनों के लिए अनिवार्य और कुल युग्म अलग-अलग गिनें। / Count compulsory pairs and total pairs separately.
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