यदि (A) में (5) सदस्य हैं, तो न्यूनतम स्वतुल्य सम्बन्ध और सार्वत्रिक सम्बन्ध के युग्मों की संख्या का अंतर कितना होगा?
If (A) has (5) elements, what is the difference between the number of pairs in the smallest reflexive relation and the universal relation?
#minimum reflexive relation
#universal relation
#counting
A (20)
B (25)
C (5)
D (10)
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Step 1
Concept
न्यूनतम स्वतुल्य सम्बन्ध में (5) अपने-आप वाले युग्म होंगे। / The smallest reflexive relation has (5) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सार्वत्रिक सम्बन्ध में \(5^2=25\) युग्म होंगे। / The universal relation has \(5^2=25\) pairs.
Step 3
Exam Tip
अंतर (25-5=20) होगा। / The difference is (25-5=20).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) स्वतुल्य है। यदि (R) में कुल (5) युग्म हैं, तो अपने-आप वाले युग्मों के अलावा कितने अतिरिक्त युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive. If (R) has (5) pairs in total, how many extra pairs are there besides self-pairs?
#extra pairs
#reflexive relation
#counting mcq
A (1)
B (2)
C (3)
D (5)
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Step 1
Concept
(3) सदस्यों वाले समुच्चय पर स्वतुल्यता के लिए (3) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation on a set with (3) elements must have (3) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म (5) हैं, इसलिए अतिरिक्त युग्म (5-3=2) होंगे। / Total pairs are (5), so extra pairs are (5-3=2).
Step 3
Exam Tip
कुल से अनिवार्य अपने-आप वाले युग्म घटाएं। / Subtract compulsory self-pairs from the total.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) स्वतुल्य नहीं है। फिर भी (R) में अधिकतम कितने युग्म हो सकते हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is not reflexive. Still, what is the maximum possible number of pairs in (R)?
#maximum pairs
#not reflexive
#counting
A (15)
B (16)
C (12)
D (4)
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Step 1
Concept
\(A\times A\) में कुल \(4^2=16\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्य न होने के लिए कम से कम एक अपने-आप वाला युग्म अनुपस्थित होना चाहिए। / To be not reflexive, at least one self-pair must be absent.
Step 3
Exam Tip
अधिकतम संख्या (16-1=15) होगी। / The maximum possible number is (16-1=15).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\ge 0\}\) है। (R) के बारे में सही उत्तर चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\ge 0\}\). Choose the correct answer about (R).
#absolute value relation
#reflexive relation
#condition
A (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
B (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में ((1,1)) नहीं है / (R) does not contain ((1,1))
D (R) केवल पहचान सम्बन्ध है / (R) is only the identity relation
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Correct Answer
A. (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
किसी भी दो संख्याओं के लिए (|a-b|) ऋणात्मक नहीं होता। / For any two numbers, (|a-b|) is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-आप वाले युग्म में (|a-a|=0), जो \(0\ge 0\) को पूरा करता है। / For a self-pair, (|a-a|=0), which satisfies \(0\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी शर्त जो हर अपने-आप वाले युग्म पर सत्य हो, स्वतुल्यता देती है। / A condition true for every self-pair gives reflexivity.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) है। (R) स्वतुल्य नहीं है क्योंकि क्या होता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\). Why is (R) not reflexive?
#absolute difference
#not reflexive
#relation condition
A अपने-आप वाले युग्म में (|a-a|=0) होता है / In a self-pair, (|a-a|=0)
B अपने-आप वाले युग्म में (|a-a|>0) होता है / In a self-pair, (|a-a|>0)
C हर युग्म शर्त पूरी करता है / Every pair satisfies the condition
D (A) में कोई सदस्य नहीं है / (A) has no element
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Correct Answer
A. अपने-आप वाले युग्म में (|a-a|=0) होता है / In a self-pair, (|a-a|=0)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए ((a,a)) जांचते हैं। / For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), लेकिन शर्त (>0) मांगती है। / (|a-a|=0), but the condition requires (>0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई अपने-आप वाला युग्म इस शर्त में नहीं आएगा। / So no self-pair belongs to this relation.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) की समान सम-विषमता है(}) है। (R) स्वतुल्य है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) have the same parity(}). Is (R) reflexive or not?
#same parity
#reflexive relation
#equivalence style
A स्वतुल्य है / Reflexive
B स्वतुल्य नहीं है / Not reflexive
C केवल (2) के लिए स्वतुल्य / Reflexive only for (2)
D केवल विषम संख्याओं के लिए स्वतुल्य / Reflexive only for odd numbers
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Correct Answer
A. स्वतुल्य है / Reflexive
Step 1
Concept
कोई भी संख्या अपने साथ समान सम-विषमता रखती है। / Every number has the same parity as itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी सम्बन्ध में होंगे। / Therefore ((1,1),(2,2),(3,3)) all belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
समान गुण पर बने सम्बन्ध में अपने-आप वाला युग्म अवश्य देखें। / In relations based on a shared property, check the self-pair first.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}) है। (R) के स्वतुल्य होने के लिए कौन-सा कथन पर्याप्त है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}). Which statement is sufficient to show that (R) is reflexive?
#congruence modulo 3
#reflexive relation
#modular arithmetic
A हर (a) के लिए (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0), which is divisible by (3)
B हर (a) (3) से विभाज्य है / Every (a) is divisible by (3)
C हर दो सदस्य बराबर हैं / Every two elements are equal
D (A) में केवल तीन सदस्य हैं / (A) has only three elements
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Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0), which is divisible by (3)
Step 1
Concept
समशेषता में \(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
अपने-आप के लिए (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है। / For a self-pair, (a-a=0), which is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.
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\((A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a+b\) 2 से विभाज्य है}) और \(S=\{(a,b):a=b\}\) हैं। कौन-सा कथन सही है?
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by \(2}) and (S={(a,b):a=b}). Which statement is correct\)?
#compare relations
#reflexive relation
#even sum
A दोनों स्वतुल्य हैं / Both are reflexive
B केवल (R) स्वतुल्य है / Only (R) is reflexive
C केवल (S) स्वतुल्य है / Only (S) is reflexive
D दोनों स्वतुल्य नहीं हैं / Neither is reflexive
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Correct Answer
A. दोनों स्वतुल्य हैं / Both are reflexive
Step 1
Concept
(R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है। / In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में (a=b) होने से सभी अपने-आप वाले युग्म आते हैं। / In (S), the condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं। / Therefore both relations are reflexive.
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यदि (R) (A) पर स्वतुल्य है, तो \(I_A\subseteq R\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (R) is reflexive on (A), what can be said about \(I_A\subseteq R\)?
#identity relation
#subset
#reflexive relation
A यह हमेशा सत्य है / It is always true
B यह हमेशा असत्य है / It is always false
C यह केवल रिक्त (A) के लिए सत्य है / It is true only for empty (A)
D यह केवल सार्वत्रिक (R) के लिए सत्य है / It is true only for universal (R)
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Correct Answer
A. यह हमेशा सत्य है / It is always true
Step 1
Concept
\(I_A\) में (A) के सभी अपने-आप वाले युग्म होते हैं। / \(I_A\) contains all self-pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्वतुल्य है, इसलिए ये सभी युग्म (R) में भी हैं। / Since (R) is reflexive, all these pairs are also in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहचान सम्बन्ध स्वतुल्य सम्बन्ध का उपसमुच्चय होता है। / Thus the identity relation is a subset of any reflexive relation.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) स्वतुल्य है और \(R\subseteq S\subseteq A\times A\) है। (S) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive and \(R\subseteq S\subseteq A\times A\). What is correct about (S)?
#superset of reflexive relation
#subset relation
#reflexive
A (S) स्वतुल्य होगा / (S) will be reflexive
B (S) स्वतुल्य नहीं होगा / (S) will not be reflexive
C (S) रिक्त होगा / (S) will be empty
D (S) में कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं होगा / (S) will have no self-pair
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Correct Answer
A. (S) स्वतुल्य होगा / (S) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं। / (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से (R) के सभी युग्म (S) में भी होंगे। / Since \(R\subseteq S\), every pair of (R) is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) में भी सभी अपने-आप वाले युग्म रहेंगे। / Hence (S) also contains all self-pairs and is reflexive.
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