\(यदि (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है}) है, तो (R) के स्वतुल्य होने का सही कारण क्या है?
\(If (R={(a,b):a+b\) is even\(}) on (A={1,2,3,4}), what is the correct reason that (R) is reflexive\)?
#reflexive relation
#even sum
#class 12
A हर \(a\in A\) के लिए (a+a=2a) सम है / For every \(a\in A\), (a+a=2a) is even
B हर दो अलग संख्याओं का योग सम है / The sum of every two distinct numbers is even
C (A) में केवल सम संख्याएं हैं / (A) has only even numbers
D (R) में केवल चार युग्म हैं / (R) has only four pairs
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Correct Answer
A. हर \(a\in A\) के लिए (a+a=2a) सम है / For every \(a\in A\), (a+a=2a) is even
Step 1
Concept
स्वतुल्यता जांचने के लिए ((a,a)) को सम्बन्ध की शर्त में रखते हैं। / To check reflexivity, put ((a,a)) into the relation condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हर पूर्णांक के लिए सम होता है, इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में आएगा। / (a+a=2a) is even for every integer, so every self-pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में शर्त आधारित प्रश्नों में पहले अपने-आप वाले युग्म जांचें। / In condition-based questions, test self-pairs first.
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\(समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) दिया है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a-b\) is odd}) is given. Choose the correct statement about (R).
#odd difference
#not reflexive
#relation condition
A (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
B (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं / (R) has all self-pairs
D \(R=A\times A\)
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Correct Answer
B. (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म के लिए (a-b=a-a=0) होगा। / For a self-pair, (a-b=a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) विषम नहीं है, इसलिए कोई ((a,a)) इस शर्त को पूरा नहीं करता। / (0) is not odd, so no self-pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
यदि अपने-आप वाले युग्म छूट जाएं, तो सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं होता। / If self-pairs are missing, the relation is not reflexive.
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\(यदि (A={2,3,4,6}) और (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) है, तो (R) स्वतुल्य क्यों है?
\(If (A={2,3,4,6}) and (R={(a,b):a\) divides b}), why is (R) reflexive?
#divisibility
#reflexive relation
#class 12 mcq
A क्योंकि हर सदस्य अपने-आप को विभाजित करता है / Because every element divides itself
B क्योंकि हर सदस्य दूसरे सभी सदस्यों को विभाजित करता है / Because every element divides all other elements
C क्योंकि (2) सभी सदस्यों को विभाजित करता है / Because (2) divides all elements
D क्योंकि (6) सबसे बड़ा सदस्य है / Because (6) is the greatest element
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Correct Answer
A. क्योंकि हर सदस्य अपने-आप को विभाजित करता है / Because every element divides itself
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर \(a\in A\) पर ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
हर दी गई धनात्मक संख्या अपने-आप को विभाजित करती है, इसलिए \((a,a)\in R\) होगा। / Every given positive number divides itself, so \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में अपने-आप से विभाजन को तुरंत जांचें। / In divisibility relations, first check self-division.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\le b\}\) है। (R) में कौन-सा गुण निश्चित रूप से है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\le b\}\). Which property is definitely present in (R)?
#less than equal
#reflexive relation
#order relation
A स्वतुल्यता / Reflexivity
B स्वतुल्य न होना / Non-reflexivity
C कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं / No self-pair
D केवल असमान युग्म / Only unequal pairs
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Correct Answer
A. स्वतुल्यता / Reflexivity
Step 1
Concept
\(a\le b\) में अपने-आप वाला युग्म रखने पर \(a\le a\) मिलता है। / For a self-pair in \(a\le b\), we get \(a\le a\).
Step 2
Why this answer is correct
हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए \(a\le a\) सत्य है। / Every number is equal to itself, so \(a\le a\) is true.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) से बने सम्बन्ध को स्वतुल्यता के लिए आसानी से पहचानें। / Relations based on \(\le\) are easily checked for reflexivity.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) स्वतुल्य नहीं है क्योंकि क्या सत्य है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). (R) is not reflexive because which statement is true?
#strict inequality
#not reflexive
#relations
A किसी भी (a) के लिए (a<a) सत्य नहीं है / (a<a) is not true for any (a)
B हर (a) के लिए (a<a) सत्य है / (a<a) is true for every (a)
C \((1,1)\in R\) है / \((1,1)\in R\)
D (R) में सभी युग्म हैं / (R) contains all pairs
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Correct Answer
A. किसी भी (a) के लिए (a<a) सत्य नहीं है / (a<a) is not true for any (a)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए ((a,a)) का सम्बन्ध में होना जरूरी है। / Reflexivity requires ((a,a)) to be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a<b) में (b=a) रखने पर (a<a) मिलता है, जो कभी सत्य नहीं होता। / Putting (b=a) in (a<b) gives (a<a), which is never true.
Step 3
Exam Tip
कड़े असमानता वाले सम्बन्ध आम तौर पर स्वतुल्य नहीं होते। / Strict inequality relations are usually not reflexive.
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यदि (A) में (4) सदस्य हैं, तो (A) पर कुल कितने स्वतुल्य सम्बन्ध संभव हैं?
If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?
#counting reflexive relations
#n elements
#pyq pattern
A \(2^{12}\)
B \(2^4\)
C \(2^{16}\)
D \(4^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
(4) सदस्यों पर कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) होते हैं। / With (4) elements, total ordered pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्यता के लिए (4) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। / (4) self-pairs are compulsory, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
स्वतंत्र युग्मों के चुनाव से संख्या \(2^{12}\) होगी। / The number of reflexive relations is \(2^{12}\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(3,1)\}\) है। इसे स्वतुल्य बनाने के लिए न्यूनतम क्या करना होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(3,1)\}\). What minimum action is needed to make it reflexive?
#make relation reflexive
#missing pair
#ordered pairs
A ((3,3)) जोड़ना होगा / Add ((3,3))
B ((1,3)) जोड़ना होगा / Add ((1,3))
C ((2,1)) हटाना होगा / Remove ((2,1))
D ((1,1)) हटाना होगा / Remove ((1,1))
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Correct Answer
A. ((3,3)) जोड़ना होगा / Add ((3,3))
Step 1
Concept
(A) के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) जरूरी हैं। / For (A), the required self-pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
पहले दो युग्म दिए हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The first two are present, but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम सुधार में केवल छूटा हुआ अपने-आप वाला युग्म जोड़ें। / The minimum fix is to add the missing self-pair.
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\(A=\{a,b,c\}\) पर \(R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b)\}\) और \(S=\{(a,a),(b,c),(c,c)\}\) हैं। \(R\cap S\) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{a,b,c\}\), \(R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b)\}\) and \(S=\{(a,a),(b,c),(c,c)\}\). What is correct about \(R\cap S\)?
#intersection of relations
#reflexive relation
#set operations
A यह स्वतुल्य है / It is reflexive
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह \(A\times A\) है / It is \(A\times A\)
D यह रिक्त है / It is empty
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Correct Answer
B. यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में केवल वे युग्म होंगे जो दोनों में समान हैं। / \(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.
Step 2
Why this answer is correct
समान युग्म ((a,a)) और ((c,c)) हैं, लेकिन ((b,b)) नहीं है। / The common self-pairs are ((a,a)) and ((c,c)), but ((b,b)) is missing.
Step 3
Exam Tip
एक अपने-आप वाला युग्म छूटने से सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं रहता। / Missing one self-pair makes the relation not reflexive.
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यदि (R) और (S), (A) पर दोनों स्वतुल्य सम्बन्ध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (R) and (S) are both reflexive relations on (A), what can be said about \(R\cap S\)?
#intersection property
#reflexive relations
#class 12
A \(R\cap S\) स्वतुल्य होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
B \(R\cap S\) कभी स्वतुल्य नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be reflexive
C \(R\cap S\) हमेशा रिक्त होगा / \(R\cap S\) will always be empty
D \(R\cap S\) में कोई ((a,a)) नहीं होगा / \(R\cap S\) will have no ((a,a))
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) और (S) दोनों में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) मौजूद है। / Both (R) and (S) contain ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
जो युग्म दोनों में हैं, वे \(R\cap S\) में भी होंगे। / A pair common to both relations belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अपने-आप वाले युग्म प्रतिच्छेद में भी रहेंगे। / Hence all self-pairs remain in the intersection.
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यदि (R) (A) पर स्वतुल्य है और (S) (A) पर कोई भी सम्बन्ध है, तो \(R\cup S\) के लिए सही कथन चुनिए।
If (R) is reflexive on (A) and (S) is any relation on (A), choose the correct statement about \(R\cup S\).
#union of relations
#reflexive property
#relation algebra
A \(R\cup S\) स्वतुल्य होगा / \(R\cup S\) will be reflexive
B \(R\cup S\) कभी स्वतुल्य नहीं होगा / \(R\cup S\) will never be reflexive
C \(R\cup S\) से सभी अपने-आप वाले युग्म हट जाते हैं / All self-pairs are removed from \(R\cup S\)
D \(R\cup S\) केवल तभी स्वतुल्य होगा जब (S) रिक्त हो / \(R\cup S\) is reflexive only when (S) is empty
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) स्वतुल्य होगा / \(R\cup S\) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) में हर अपने-आप वाला युग्म पहले से मौजूद है। / (R) already contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
संघ लेने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि बने रहते हैं। / Taking a union does not remove pairs of (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup S\) भी स्वतुल्य होगा। / Therefore \(R\cup S\) is also reflexive.
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