Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं/No because only odd integers are obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है। / For integer functions, parity checks are very useful for onto questions.
A. नहीं क्योंकि प्रांत में तत्व कम हैं/No because the domain has fewer elements
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रांत में (3) और सहप्रांत में (4) तत्व हैं, इसलिए चारों तत्वों को ढकना असंभव है। / Here the domain has (3) elements and the codomain has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में पहले तत्वों की संख्या देखें। / For finite sets, first compare the number of elements.
(g) आच्छादी है इसलिए कोई \(y\in B\) है जिसके लिए (g(y)=z), और (f) आच्छादी है इसलिए कोई \(x\in A\) है जिसके लिए (f(x)=y)। / Since (g) is onto, (g(y)=z) for some \(y\in B\), and since (f) is onto, (f(x)=y) for some \(x\in A\).
Step 3
Exam Tip
तब (\(g\circ f\)(x)=z), इसलिए संयोजन भी आच्छादी है। / Thus (\(g\circ f\)(x)=z), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर तत्व (\(g\circ f\)(x)) के रूप में मिलता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is (\(g\circ f\)(x)) for some (x).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), इसलिए वही तत्व (g) के द्वारा भी प्राप्त होता है। / But (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), so that element is attained by (g).
Step 3
Exam Tip
संयोजन आच्छादी हो तो बाहरी फलन (g) अवश्य आच्छादी होता है। / If the composition is onto, the outer function must be onto.
\(g\circ f\) आच्छादी होने से (g) का आच्छादी होना निश्चित है। / If \(g\circ f\) is onto, (g) must be onto.
Step 2
Why this answer is correct
पर (f) पूरे (B) को ढके यह जरूरी नहीं, क्योंकि (g) को (C) ढकने के लिए (B) के सभी तत्वों की जरूरत नहीं हो सकती। / But (f) need not cover all of (B), because (g) may cover (C) using only part of (B).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के निष्कर्ष में भीतरी और बाहरी फलन की भूमिका अलग रखें। / In composition questions, keep the roles of inner and outer functions separate.
