Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/(1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है। / The nature of the square function depends strongly on its domain.
\(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है। / The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists.
A. \(g\circ f\) एकैकी होगा/\(g\circ f\) will be one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)); फिर (f) एकैकी होने से \(a_1=a_2\)। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))); since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन हमेशा एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is always one-one.
(C) के किसी भी (c) को लें। (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) होगा जिससे (g(b)=c)। / Take any \(c\in C\). Since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)। तब (g(f(a))=c)। / Since (f) is onto, there is \(a\in A\) such that (f(a)=b), so (g(f(a))=c).
Step 3
Exam Tip
दो आच्छादी फलनों का संयोजन आच्छादी होता है। / The composition of two onto functions is onto.
हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। / For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी। / A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto.
