Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ऐसा कोई वास्तविक (a) संभव नहीं है/No real (a) is possible
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (a) के लिए यह द्विघात फलन है। / For any real (a), this is a quadratic function.
Step 2
Why this answer is correct
पूरे \(\mathbb{R}\) पर द्विघात फलन अपने शीर्ष के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / On all of \(\mathbb{R}\), a quadratic takes equal values on opposite sides of its vertex.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore it cannot be one-one on the entire real domain.
मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एकैकी है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)); फिर (f) एकैकी है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)); since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों का संयोजन फिर एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जहाँ (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जहाँ (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) satisfies (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) satisfies (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है। / Hence (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto.
(f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / (f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है। / In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+1\ge 1\) होगा। / Since \(x^2\ge 0\), we get \(x^2+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर (f(x)=0) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but (f(x)=0) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के ऐसे मान खोजें जो फलन से कभी न मिलें। / To test onto, look for a codomain value that is never produced by the function.
\(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। / Let \(y=\frac{x-2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
(3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। / Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें। / To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables.
A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगा/At least two elements have the same image
Step 1
Concept
आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। / Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। / Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है। / For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly.
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-2) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-2) is also an integer, so every integer is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है। / On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection.
