Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) के हर अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (1,2,3) सभी अलग-अलग और पूरे (A) को ढकते हैं। / The images (1,2,3) are all distinct and cover the whole set (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय पर यदि सभी प्रतिबिंब अलग हों और संख्या बराबर हो, तो फलन द्वैकी होता है। / On a finite set, if all images are distinct and the sizes match, the function is bijective.
A. क्योंकि (1) के दो अलग प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two different images
Step 1
Concept
दिए गए संबंध में ((1,2)) और ((1,3)) दोनों हैं। / The relation contains both ((1,2)) and ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि एक ही निवेश (1) के दो अलग निर्गत (2) और (3) हैं, जो फलन की परिभाषा के विरुद्ध है। / This means the same input (1) has two different outputs (2) and (3), which violates the definition of a function.
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में पहले अवयव को देखकर फलन की जाँच करें। / In ordered pairs, check the first component to test whether the relation is a function.
यदि \(a\neq0\), तो (ax+b) की ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / If \(a\neq0\), the slope of (ax+b) is non-zero, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) मिल जाता है, इसलिए यह आच्छादी है। / For any (y), \(x=\frac{y-b}{a}\) exists, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में मुख्य शर्त \(a\neq0\) है, (b) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। / For a linear function, the key condition is \(a\neq0\); (b) may be any real number.
एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों का एक ही प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two distinct inputs with the same image.
जब किसी फलन को दो बार लगाने पर वही निवेश मिल जाए, तो वह अपना ही व्युत्क्रम होता है। / If applying a function twice gives the original input, the function is its own inverse.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+3) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x-3}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?
दोनों संयोजन पहचान फलन दें, तो दोनों फलन परस्पर व्युत्क्रम होते हैं। / If both compositions give the identity function, the two functions are inverses.
A. क्योंकि (f) एकैकी नहीं है/Because (f) is not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so two different inputs have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
व्युत्क्रम में (4) से (2) और (-2) दोनों मिलेंगे, जिससे एक निर्गत की शर्त टूटेगी। / In the inverse, (4) would point to both (2) and (-2), violating the function rule.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन के लिए मूल फलन का एकैकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
