Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. सार्विक तुल्यता सम्बन्ध/Universal equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In the given (R), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(A\times A\) के बराबर है। / It is equal to \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्विक सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / The universal relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation.
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है/Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
((1,3)) सम्बन्ध में है। / ((1,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति के लिए ((3,1)) भी होना चाहिए। / For symmetry, ((3,1)) must also belong to it.
Step 3
Exam Tip
((3,1)) न होने से सममिति टूट जाती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since ((3,1)) is missing, symmetry fails and the relation is not an equivalence relation.
(3.25-0.25=3), जो पूर्णांक है। / (3.25-0.25=3), which is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Therefore both numbers lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
दशमलव भाग समान हो तो पूर्णांक अंतर वाला सम्बन्ध जल्दी पहचाना जा सकता है। / If the decimal part is the same, a relation based on integer difference can be identified quickly.
हर आयत का क्षेत्रफल स्वयं के क्षेत्रफल के बराबर होता है। / Every rectangle has the same area as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान क्षेत्रफल की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Having equal area works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे का क्षेत्रफल समान है और दूसरे और तीसरे का भी समान है, तो पहले और तीसरे का क्षेत्रफल समान होगा। / If the first and second have equal area, and the second and third have equal area, then the first and third have equal area.
A. \(R\cap S\) हमेशा तुल्यता सम्बन्ध होगा/\(R\cap S\) is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं, इसलिए सभी ((a,a)) दोनों में होंगे और प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations are reflexive, so every ((a,a)) lies in both and also in the intersection.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति दोनों में होने से प्रतिच्छेद में भी रहती है। / Symmetry is preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता भी दोनों सम्बन्धों में साथ-साथ लागू होती है, इसलिए \(R\cap S\) तुल्यता सम्बन्ध होगा। / Transitivity also works because it holds in both relations, so \(R\cap S\) is an equivalence relation.
A. यह हमेशा तुल्यता सम्बन्ध नहीं होता/It is not always an equivalence relation
Step 1
Concept
संघ में स्वतुल्यता और सममिति अक्सर बच सकती हैं। / Reflexivity and symmetry may often remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / But transitivity can fail because one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup S\) को बिना जाँच तुल्यता सम्बन्ध नहीं माना जाता। / Therefore \(R\cup S\) is not assumed to be an equivalence relation without checking.
