वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय संख्या हो। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. What type of relation is it?
#rational difference
#real numbers
#equivalence relation
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) परिमेय है, तो (b-a=-(a-b)) भी परिमेय है। / If (a-b) is rational, then (b-a=-(a-b)) is rational.
Step 3
Exam Tip
दो परिमेय अंतरों का योग भी परिमेय होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है। / The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds.
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वास्तविक संख्याओं पर (a-b) परिमेय होने वाले संबंध में \(\sqrt{2}\) के साथ कौन सा तत्व निश्चित रूप से उसी तुल्यता वर्ग में है?
For the relation on real numbers where (a-b) is rational, which element is definitely in the same equivalence class as \(\sqrt{2}\)?
#rational difference
#equivalence class
#irrational numbers
A \(\sqrt{2}+3\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(2\sqrt{2}\)
D \(\pi\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}+3\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}+3\) का अंतर (3) है। / The difference between \(\sqrt{2}+3\) and \(\sqrt{2}\) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) परिमेय संख्या है, इसलिए दोनों एक ही वर्ग में हैं। / Since (3) is rational, they are in the same class.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में चुने हुए तत्व से अंतर निकालकर देखें। / In such questions, subtract from the given representative.
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किस संबंध में स्वतुल्यता तो है, पर सममितता सामान्यतः नहीं है?
Which relation is reflexive but generally not symmetric?
#reflexive relation
#not symmetric
#order relation
A (a=b)
B \(a\leq b\)
C (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है / (a-b) is divisible by (3)
D (|a|=|b|)
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Correct Answer
B. \(a\leq b\)
Step 1
Concept
\(a\leq a\) हमेशा सही है, इसलिए \(\leq\) स्वतुल्य है। / \(a\leq a\) is always true, so \(\leq\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(2\leq 3\) सही होने पर \(3\leq 2\) सही नहीं है। / But \(2\leq 3\) does not imply \(3\leq 2\).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए सममितता भी जरूरी है, इसलिए \(\leq\) तुल्यता संबंध नहीं है। / Since symmetry is missing, it is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। कौन सा युग्म (R) में होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a+b) is even. Which pair belongs to (R)?
#even sum
#pair selection
#parity
A ((1,2))
B ((2,3))
C ((1,3))
D ((3,4))
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Correct Answer
C. ((1,3))
Step 1
Concept
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। / A sum is even when both numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों विषम हैं, इसलिए (1+3=4) सम है। / (1) and (3) are both odd, so (1+3=4) is even.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में जोड़े की सम-विषम प्रकृति देखकर जल्दी उत्तर मिल सकता है। / Check parity quickly in such pair-selection questions.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#intersection of classes
#equivalence classes
#partition
A ([a]=[b])
B \([a]\subset [b]\) ही होगा / \([a]\subset [b]\) must hold
C ([a]) और ([b]) अलग होंगे / ([a]) and ([b]) are disjoint
D (a) और (b) का संबंध नहीं होगा / (a) and (b) are not related
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Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या समान होते हैं। / Equivalence classes are either disjoint or identical.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उनका प्रतिच्छेद खाली नहीं है, तो उनमें कोई समान तत्व है। / A non-empty intersection means they share an element.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व होने पर दोनों वर्ग बराबर माने जाते हैं। / Therefore the two classes must be equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (2)?
#modulo 4
#equivalence class
#finite set
A ({2,6})
B ({1,5})
C ({4,8})
D ({2,4,6,8})
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Correct Answer
A. ({2,6})
Step 1
Concept
(2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। / (2) gives remainder (2) on division by (4).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) और (6) ही ऐसे तत्व हैं जिनका शेष (2) है। / In the given set, (2) and (6) have remainder (2).
Step 3
Exam Tip
मापांक संबंध में वर्ग हमेशा समान शेष से बनता है। / In modulo relations, classes are formed by equal remainders.
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो पहचान संबंध से बनने वाले तुल्यता वर्गों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (n) elements, how many equivalence classes are formed by the identity relation?
#identity relation
#number of classes
#singleton
A (1)
B (n)
C \(n^2\)
D (0)
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Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक तत्व अपना अलग तुल्यता वर्ग बनाता है। / Hence every element forms its own equivalence class.
Step 3
Exam Tip
(n) तत्वों के लिए (n) एकल वर्ग मिलते हैं। / For (n) elements, there are (n) singleton classes.
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) से बनने वाले तुल्यता वर्गों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (n) elements, how many equivalence classes are formed by the universal relation \(A\times A\)?
#universal relation
#number of classes
#equivalence class
A (1)
B (n)
C \(n^2\)
D (0)
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Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी तत्व एक ही बड़े वर्ग में आ जाते हैं। / Thus all elements lie in one large class.
Step 3
Exam Tip
(A) गैर-रिक्त हो तो सार्वत्रिक संबंध में केवल (1) तुल्यता वर्ग होता है। / For a non-empty set (A), there is exactly (1) equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर दिए विभाजन ({1,4},{2},{3}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?
For the partition ({1,4},{2},{3}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair is not in the corresponding equivalence relation?
#partition to relation
#pair selection
#equivalence relation
A ((1,4))
B ((4,1))
C ((2,2))
D ((2,3))
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Correct Answer
D. ((2,3))
Step 1
Concept
विभाजन से बने संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर के युग्म आते हैं। / A relation from a partition contains only pairs from within the same block.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं। / (2) and (3) are in different blocks.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के बीच युग्म तुल्यता संबंध में शामिल नहीं किए जाते। / Pairs between different blocks are not included.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) से भाग देने पर समान शेष देते हैं। कौन सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) give the same remainder on division by (3). Which statement is correct?
#same remainder
#modulo 3
#equivalence class
A (1) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं / (1) and (4) are in the same equivalence class
B (2) और (3) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं / (2) and (3) are in the same equivalence class
C (3) और (5) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं / (3) and (5) are in the same equivalence class
D सभी तत्व अलग-अलग वर्गों में हैं / All elements are in separate classes
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Correct Answer
A. (1) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं / (1) and (4) are in the same equivalence class
Step 1
Concept
(1) और (4) दोनों को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / Both (1) and (4) give remainder (1) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Hence they belong to the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्नों में पहले भाग देकर शेष की तुलना करें। / In same-remainder questions, compare remainders directly.
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