Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (e=1)। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (e=1).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में (1) अक्सर तत्समक की भूमिका निभाता है। / In the least common multiple operation, (1) acts as the identity.
A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं है/No, there is no universal identity in positive integers
Step 1
Concept
(e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। / Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी। / Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change.
यदि क्रिया साहचर्य सिद्ध न हो, तो दिए गए कोष्ठक के अनुसार ही गणना करें। / If associativity is not already established, evaluate according to the given brackets.
प्रतिलोम (x) के लिए (\gcd(4,x)=6) चाहिए। / For inverse (x), we need (\gcd(4,x)=6).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(x\in A\) के लिए (\gcd(4,x)) अधिकतम (4) हो सकता है, इसलिए (6) नहीं मिलेगा। / For any \(x\in A\), (\gcd(4,x)) can be at most (4), so it cannot be (6).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम तभी होगा जब क्रिया का परिणाम तत्समक तक पहुँच सके। / An inverse exists only if the operation can reach the identity element.
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो प्रतिलोम नहीं मिलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), no inverse is obtained.
Step 3
Exam Tip
हर वाले पद को शून्य बनाने वाले मान को अलग पहचानें। / Identify the value that makes the denominator zero.
