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\(\sin^{-1}x\) वह कोण है (मुख्य मान) \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प "-x" भ्रम पैदा कर सकता है, पर सिद्धांततः \(\sin^{-1}x\) साइन को उलटकर नहीं बदलता, अतः "-x" गलत है। परिक्षा-सूत्र: हमेशा क्षेत्र (domain) \([-1,1]\) और principal value की सीमा \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) याद रखें। / By definition, \(\sin^{-1}x\) is the principal angle \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) such that \(\sin y=x\). Hence \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). The distractor "-x" is incorrect because taking \(\sin^{-1}\) returns the angle whose sine is exactly \(x\), not its negative. Exam tip: always check the domain \([-1,1]\) of \(\sin^{-1}x\) and remember the principal value range of arcsin when composing functions.
\(\cos^{-1}x\) से प्राप्त कोण को फिर \(\cos\) लेने पर हमें मूल मान \(x\) ही मिलता है, बशर्ते \(x\) का मान डोमेन \([-1,1]\) में हो। ध्यान रखें कि \(\cos^{-1}x\) का प्राथमिक मान \([0,\pi]\) होता है, और उस पर \(\cos\) लगाने पर परिणाम उसी \(x\) के बराबर होता है। विकल्प \(|x|\) सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि कुछ विद्यार्थी सोचते हैं कि चूँकि आर्ककोस का कोट में कोण गैर-ऋणात्मक होता है इसलिए मान धनात्मक होगा — यह गलत है; नकारात्मक \(x\) के लिए भी \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) रहता है। परीक्षा टिप: किसी भी inverse-trig रचना में पहले डोमेन/रेंज याद रखें और तभी संकलन (composition) करें। / The function \(\cos^{-1}x\) (principal value in \([0,\pi]\)) returns an angle whose cosine is \(x\). Applying \(\cos\) to that angle gives back the original \(x\) for every \(x\in[-1,1]\). The option \(|x|\) is a tempting distractor (students may wrongly think the result must be nonnegative), but for negative \(x\) the angle \(\cos^{-1}x\) lies in \((\pi/2,\pi]\) and its cosine is negative, equal to \(x\). Exam tip: always check the domain and principal range of inverse trig functions before simplifying compositions.
\(\tan^{-1}x\) वह कोण है जिसका टैन्जेंट मान \(x\) है और आर्कटैन्जेंट का मान सामान्यतः प्राथमिक शाखा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में रहता है, जहाँ \(\tan\) एक-से-एक है। इसलिए \(\tan\big(\tan^{-1}x\big)=x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। विकल्प B केवल \(x=0\) के लिए सत्य है; C (\(1/x\)) और D (\(-x\)) कुछ विशिष्ट मूल्यों पर ही सही होंगे, पर सामान्य रूप से गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: आर्कट्रिगोनोमेट्रिक फलनों की प्राथमिक रेंज याद रखें — उसी रेंज में प्रतिलोम फलन मूल मान लौटाते हैं। / The angle \(\tan^{-1}x\) (principal value of arctan) has tangent equal to \(x\). Since arctan takes values in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) where \(\tan\) is one-to-one, the composition gives \(\tan(\tan^{-1}x)=x\) for all real \(x\). Option B (0) holds only when \(x=0\); option C (\(1/x\)) and D (\(-x\)) are true only for special values and are not generally correct. Exam tip: remember the principal range of \(\tan^{-1}x\) so you can use the identity \(f(f^{-1}(x))=x\) when \(f\) is one-to-one on that range.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होता है। \(\pm\frac{\pi}{2}\) पर स्पर्शज्या अपरिभाषित होती है, इसलिए ये अंतिम बिंदु शामिल नहीं होते। विकल्प C निकट प्रतीत होता है, पर उसमें अंतिम बिंदु शामिल हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) और \(\cot^{-1}x\) के मुख्य मानों के अंतराल अलग-अलग याद रखें। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints \(\pm\frac{\pi}{2}\) are excluded because tangent is undefined there. Option C is close, but it incorrectly includes these endpoints. Exam tip: Remember that the principal-value intervals for \(\tan^{-1}x\) and \(\cot^{-1}x\) are different.
पहचान \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) लागू होती है क्योंकि \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\)। ऐसे प्रश्नों में सीधे पहचान लगाएं। / The identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) applies because \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\). Use the identity directly in such questions.
याद रखें कि सामान्य पहचान है \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}\) जब \(x\in[-1,1]\)। यहाँ \(x=\tfrac{4}{5}\) है जो इस क्षेत्र में आता है, अतः \(\cos^{-1}\tfrac{4}{5}+\sin^{-1}\tfrac{4}{5}=\dfrac{\pi}{2}\)। निकटभ्रम के लिए: \(\tfrac{\pi}{6}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह 30° है जबकि वास्तविक योग 90° है। परीक्षा टिप: कोई भी \(x\) के लिए पहले डोमेन जाँच लें और फिर पहचान लागू करें। / Use the identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}\) valid for \(x\in[-1,1]\). Here \(x=4/5\) lies in the domain, so the sum equals \(\dfrac{\pi}{2}\). Why other options fail: \(\frac{\pi}{6}\) (30°) is not the complement of the corresponding angles here, and \(\frac{3\pi}{2}\) or 0 are clearly inconsistent with principal values of arcsin/arccos. Exam tip: memorize the complementary identity and always check the domain before applying it.
जब \(x>0\), तब \(tan^{-1}x+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\)। चिन्ह की शर्त हमेशा देखें। / When \(x>0\), \(tan^{-1}x+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\). Always check the sign condition.
यहाँ \(2>0\), इसलिए \(tan^{-1}2+\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\)। पहचान में (x) और \(\frac{1}{x}\) पहचानें। / Here \(2>0\), so \(tan^{-1}2+\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\). Identify (x) and \(\frac{1}{x}\) in the identity.
\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। ऋणात्मक \(x\) में भी \(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लिया जाता है। / The identity \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) holds. For negative \(x\), the principal value of \(\cot^{-1}x\) is still taken in \(\left(0,\pi\right)\).
\(\sin^{-1}x\) एक विषम फलन है जिसका अर्थ है कि \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\) हर उस \(x\) के लिए जो \([-1,1]\) में है। इसलिए सही उत्तर \(-\sin^{-1}x\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह समानता केवल तब सही होती अगर फलन सम होता (जो कि यह नहीं है)। विकल्प C और D संबंधित हैं: \(\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\) है, पर यह \(\sin^{-1}(-x)\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी त्रिकोणमितीय व्युत्क्रमानुक्रमी फलन के विषम/सम गुण को याद रखें — अक्सर \(f(-x)=-f(x)\) या \(f(-x)=f(x)\) से उत्तर जल्दी मिल जाता है। / The function \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is odd, meaning \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\) for all \(x\in[-1,1]\). Hence the correct choice is \(-\sin^{-1}x\). Option B is incorrect because that would require the function to be even. Options C and D are related identities (\(\cos^{-1}x=\tfrac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\)) but do not equal \(\sin^{-1}(-x)\). Exam tip: check odd/even properties of inverse trig functions first — they often give the quickest justification.
\(\tan^{-1}x\) एक विषम फलन है और इसका प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(\tan^{-1}(-x)= -\tan^{-1}x\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह चिह्न बदलने की बात नहीं करता; विकल्प C और D सामान्य रूप से समान नहीं होते क्योंकि वे प्रमुख मान के बाहर के रूप हैं। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse-trig के लिए पहले उसकी parity (odd/even) और प्रमुख मान सीमा याद रखें। / The arctan function is odd and has principal value range \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence for any real \(x\), \(\tan^{-1}(-x)= -\tan^{-1}x\). Option B is incorrect because it does not change the sign; options C and D do not generally equal \(\tan^{-1}(-x)\) within the principal range. Exam tip: check whether the inverse trig function is odd or even and remember its principal value interval.
\(\tan\theta=\frac{3}{4}\) से लंब (3) और आधार (4) लें। कर्ण (5) होगा, इसलिए \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan\theta=\frac{3}{4}\), take opposite side (3) and adjacent side (4). The hypotenuse is (5), so \(\sin\theta=\frac{3}{5}\).
यदि \(\theta=\cos^{-1}x\), तो \(\cos\theta=x\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\)। इस परिसर में \(\sin\theta\ge0\), इसलिए मान \(\sqrt{1-x^2}\) है। / If \(\theta=\cos^{-1}x\), then \(\cos\theta=x\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this range \(\sin\theta\ge0\), so the value is \(\sqrt{1-x^2}\).
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\), तो \(sin\theta=x\) और \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)। यहाँ \(cos\theta\ge0\), इसलिए \(\sqrt{1-x^2}\) सही है। / If \(\theta=\sin^{-1}x\), then \(\sin\theta=x\) and \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Here \(cos\theta\ge0\), so \(\sqrt{1-x^2}\) is correct.
यदि \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\), तो \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) और \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{3}{4}\)। / If \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\), then \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) and \(\cos\theta=\frac{4}{5}\). Hence \(\tan\theta=\frac{3}{4}\).
यदि \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), तो \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) और \(\sin\theta=\frac{12}{13}\)। इसलिए \(\cot\theta=\frac{5}{12}\)। / If \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), then \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) and \(\sin\theta=\frac{12}{13}\). Hence \(\cot\theta=\frac{5}{12}\).
लेते हैं \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)\)। तब \(\tan\theta=\frac{7}{24}=\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\)। एक समकोण त्रिभुज में opposite = 7, adjacent = 24 लिया जाए तो पाइथागोरस से hypotenuse = \(\sqrt{7^2+24^2}=25\)। \(\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}=\frac{25}{24}\) इसलिए सही उत्तर \(\frac{25}{24}\) है। निकटतम भ्रमित विकल्प \(\frac{24}{25}\) (विकल्प B) विकर्ण का अनुपात नहीं बल्कि कॉसाइन का मान है (या सही उत्तर का倒数 नहीं)। विकल्प C \(\frac{7}{25}\) वास्तव में \(\sin\theta\) है और विकल्प D \(\frac{25}{7}\) \(\csc\theta\) के बराबर है। परीक्षा‑टिप: arctan के लिए तुरंत 7‑24‑25 त्रिभुज याद रखें और त्रिभुज बनाकर opposite/adjacent/hypotenuse सम्बन्ध लागू करें। / Let \(\theta=\tan^{-1}(7/24)\), so \(\tan\theta=7/24=\) opposite/adjacent. Using a right triangle with opposite = 7 and adjacent = 24 gives hypotenuse = \(\sqrt{7^2+24^2}=25\). Then \(\sec\theta=1/\cos\theta=\) hypotenuse/adjacent = \(25/24\), so option A is correct. Closest distractor \(24/25\) (B) is the reciprocal and corresponds to \(\cos\theta\), not \(\sec\theta\). Option C (\(7/25\)) equals \(\sin\theta\), and D (\(25/7\)) equals \(\csc\theta\). Exam tip: draw the 7‑24‑25 right triangle for arctan problems and read off opposite, adjacent, hypotenuse to compute sin, cos, sec quickly.
यदि \(cos\theta=\frac{8}{17}\), तो \(sin\theta=\frac{15}{17}\)। इसलिए \(cosec\theta=\frac{17}{15}\)। / If \(cos\theta=\frac{8}{17}\), then \(sin\theta=\frac{15}{17}\). Hence \(cosec\theta=\frac{17}{15}\).
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। पहले अंदर का मान निकालें। / Since \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). First find the inner value.
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। मानक कोण याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). Remember standard angles.
\(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\)। ऐसे प्रश्न में त्रिकोणमितीय मान पहले निकालें। / Since \(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) and \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). In such questions, find the trigonometric value first.
परिभाषा अनुसार \(\sin^{-1}x\) वह कोण \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) देता है जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए उस कोण का sine लेने पर मूल मान वापस मिलता है: \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प B (\(\sin^{-1}x\)) गलत है क्योंकि वह inverse फ़ंक्शन का मान है, जबकि हमें \(\sin\) को \(\sin^{-1}\) पर लागू करने पर मिलने वाला मान पूछे गए हैं; क्रम बदलने से परिणाम अलग हो सकता है। परीक्षा टिप: हमेशा अंदर वाले फलन का डोमेन और बाहरी फलन की रेंज जाँचें—यह सत्यापन का सबसे तेज़ तरीका है। / By definition, \(\sin^{-1}x\) gives the angle \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) such that \(\sin y=x\). Applying sine to that angle returns the original value: \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for \(x\in[-1,1]\). Option B (\(\sin^{-1}x\)) is incorrect because it is the inverse value itself; composing in the given order returns \(x\), not the inverse. Exam tip: always check the domain of the inner function and the principal range of the inverse to verify such compositions quickly.
\(\cos^{-1}x\) वह कोण देता है (principal value) जो \(\cos\) के द्वारा \(x\) देता है; इस कोण की मात्रा \(\theta\) सदैव \([0,\pi]\) में होती है और \(\cos\theta=x\) होता है। अतः \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प B (\(|x|\)) गलत है क्योंकि \(x\) ऋणात्मक भी हो सकता है पर \(\cos(\cos^{-1}x)\) उसे बदलकर धनात्मक नहीं कर देता। विकल्प C (\(\cos^{-1}x\)) गलत है क्योंकि वह कोण है न कि वही संख्या \(x\)। विकल्प D (\(-x\)) भी गलत है। परीक्षा टिप: ध्यान रखें कि \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) के लिए आवश्यक डोमेन \([-1,1]\) है, पर \(\cos^{-1}(\cos y)\) हमेशा \(y\) के बराबर नहीं होता — वह \([0,\pi]\) में प्रिंसिपल वैल्यू देता है। / The function \(\cos^{-1}x\) returns the principal angle \(\theta\in[0,\pi]\) such that \(\cos\theta=x\). Therefore \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). Option B (|x|) is incorrect because \(x\) may be negative and composition does not take absolute value. Option C (\(\cos^{-1}x\)) is an angle, not the original numeric value \(x\). Option D (\(-x\)) is also incorrect. Exam tip: remember domain/range restrictions — \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) on \([-1,1]\), whereas \(\cos^{-1}(\cos y)\) equals \(y\) only when \(y\in[0,\pi]\).
\(\tan^{-1}x\) किसी ऐसे कोण का मान देता है जिसका tan मान x होता है। यदि \(\tan^{-1}x=0\) तो दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan0=0\)। साथ ही ध्यान दें कि arctan का प्रधान मान सीमा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता है इसलिए उत्तर अद्वितीय है। विकल्प B (\(1\)) तब सही होता यदि \(\tan^{-1}x=\tfrac{\pi}{4}\) होता। विकल्प D एक कोण (\(\tfrac{\pi}{4}\)) है, x का मान नहीं—इसलिए गलत। परीक्षा युक्ति: arctan में दिए गए मान को पहले कोण समझें, फिर उस कोण का tan निकालें। / \(\tan^{-1}x\) denotes the angle whose tangent is x. If \(\tan^{-1}x=0\), taking tan of both sides gives \(x=\tan0=0\). Also note arctan's principal value lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), so the solution is unique. Option B (1) would be correct only if \(\tan^{-1}x=\tfrac{\pi}{4}\). Option D is an angle (\(\tfrac{\pi}{4}\)), not the value of x. Exam tip: clearly distinguish the inverse-trig function's output (an angle) from the variable x before applying the direct trig function.
