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(4) या (9) से विभाज्य संख्याएं (15+6-1=20) हैं। इसलिए पूरक में (60-20=40) सदस्य हैं। / Numbers divisible by (4) or (9) are (15+6-1=20). So the complement has (60-20=40) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), इसलिए (n\(A'\cap B'\)=84-18=66) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), (n\(A'\cap B'\)=84-18=66).
\(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) सदस्य हैं। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=12) है। / \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so (A) has (9) elements. Since (U) has (21) elements, (n(A')=12).
पूरक में (A) से बाहर के वास्तविक मान आते हैं। (-4) हटेगा, पर (2) और (6) शामिल होंगे। / The complement contains real values outside (A). The point (-4) is excluded, while (2) and (6) are included.
क्योंकि \(A\subseteq B\), \(A'\cap B=B-A\) होगा। इसलिए संख्या (97-64=33) है। / Since \(A\subseteq B\), \(A'\cap B=B-A\). Therefore the count is (97-64=33).
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर विषम अभाज्य संख्याएं होंगी। / (A') is the set of odd numbers. Thus \(A'\cap B\) contains odd prime numbers except (2).
\(A'\cap B'\) वही सदस्य हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं। \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), इसलिए उत्तर ({c,f}) है। / \(A'\cap B'\) contains elements not in \(A\cup B\). Since \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), the answer is ({c,f}).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (15) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (45-3=42) है। / By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (15), so the complement has (45-3=42) elements.
\(A\cup B\) को वास्तविक रेखा से हटाने पर तीन भाग बचते हैं। सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Removing \(A\cup B\) from the real line leaves three parts. Watch the open and closed endpoints carefully.
विषम संख्याओं में से वर्ग संख्याएं (1) और (9) हटेंगी। इसलिए \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\) है। / From the odd numbers, the square numbers (1) and (9) are removed. Hence \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\).
(25) तक अभाज्य संख्याएं (9) हैं और उनमें (5) को हटाना होगा। (A') में (5) के गुणज नहीं आते, इसलिए (7) अभाज्य बचते हैं। / There are (9) primes up to (25), and (5) must be removed. Multiples of (5) are not in (A'), so (7) primes remain.
\(A\cap B'=A\) तभी होता है जब (A) का हर सदस्य (B') में हो। अतः \(A\subseteq B'\) है। / \(A\cap B'=A\) occurs only when every element of (A) is in (B'). Hence \(A\subseteq B'\).
(A-B) में वे सम संख्याएं हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (35-5=30) है। इसलिए पूरक (70-30=40) है। / (A-B) contains even numbers not divisible by (7), and their count is (35-5=30). Therefore the complement has (70-30=40) elements.
\(x^2-6x+8>0\) का हल (x<2) या (x>4) है। इसलिए पूरक में \(2\le x\le 4\) आएगा। / The solution of \(x^2-6x+8>0\) is (x<2) or (x>4). Thus the complement is \(2\le x\le 4\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B={6,12,18}\), इसलिए इन्हें (U) से हटाएं। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={6,12,18}\), remove these from (U).
\(A'\cap B'\) का अर्थ विषम और वर्ग नहीं संख्याएं हैं। (40) तक (20) विषम संख्याओं में (1,9,25) वर्ग हैं, इसलिए (17) बचते हैं। / \(A'\cap B'\) means odd and non-square numbers. Among (20) odd numbers up to (40), (1,9,25) are squares, so (17) remain.
पहले (A=U-A'={p,r,t,v}) लिखें। फिर (B) से प्रतिच्छेद लेने पर ({p,t,v}) मिलता है। / First write (A=U-A'={p,r,t,v}). Intersecting with (B) gives ({p,t,v}).
\(A\cap B\) में (30) के गुणज होंगे, जो (90) तक (3) हैं। इसलिए पूरक में (90-3=87) सदस्य हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (30), and there are (3) up to (90). So the complement has (90-3=87) elements.
(A') में (1,4,7,10) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय में से (4) और (10) हटाने पर ({2,6,8,12}) बचता है। / (A') does not contain (1,4,7,10). Removing (4) and (10) from the given set leaves ({2,6,8,12}).
(A'=U) से \(A=\varnothing\) मिलता है। इसलिए \(A\cup B=\varnothing\cup B=B\) है। / (A'=U) gives \(A=\varnothing\). Hence \(A\cup B=\varnothing\cup B=B\).
समीकरण से \(A=\{4,5\}\) है। (5) से छोटे सदस्य (0,1,2,3,4) हैं, इनमें (4) हटेगा, इसलिए (4) नहीं बल्कि (4) सदस्य बचते हैं। / The equation gives \(A=\{4,5\}\). Elements less than (5) are (0,1,2,3,4), and (4) is removed, so (4) elements remain.
A. (U) में सम संख्याओं का समुच्चय/The set of even numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में सम नहीं यानी विषम संख्याएं हैं। इसलिए (A') में (U) की सम संख्याएं होंगी। / (A) contains numbers that are not even, meaning odd numbers. Therefore (A') contains the even numbers of (U).
\(A'\cap B\) का अर्थ (3) के वे गुणज हैं जो सम नहीं हैं। (36) तक (3) के (12) गुणज हैं, उनमें (6) सम हैं, इसलिए (6) बचते हैं। / \(A'\cap B\) means multiples of (3) that are not even. Up to (36), there are (12) multiples of (3), (6) of them are even, so (6) remain.
यदि दो समुच्चय मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए (B=A') है। / If two sets together form (U) and are disjoint, they are complements of each other. Hence (B=A').
\(A\cap B={5}\) है। इसलिए (\(A\cap B\)') में (5) को छोड़कर (U) के सभी सदस्य होंगे। / \(A\cap B={5}\). Therefore (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except (5).
(A') में (0) से (4) तक सभी वास्तविक मान आते हैं। इसे (B) से काटने पर ([0,4]) ही मिलता है। / (A') contains all real values from (0) to (4). Intersecting with (B) still gives ([0,4]).
(32) तक (2) की घातें (1,2,4,8,16,32) हैं, इसलिए (A) में (6) सदस्य हैं। पूरक में (32-6=26) सदस्य हैं। / Powers of (2) up to (32) are (1,2,4,8,16,32), so (A) has (6) elements. The complement has (32-6=26) elements.
\(A-B=\varnothing\) का अर्थ है कि (A) का कोई सदस्य (B) से बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A-B=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence \(A\subseteq B\).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (9) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+9-3=12) हैं, इसलिए पूरक (42) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Numbers divisible by (9) or (6) are (6+9-3=12), so the complement is (42).
(A) में (-1) शामिल है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (A) includes (-1), so it is not in the complement. The point (3) is not in (A), so it is included in the complement.
(A') सम संख्याओं का समुच्चय है। (7) के गुणजों में सम सदस्य (14) और (28) हैं। / (A') is the set of even numbers. Among multiples of (7), the even members are (14) and (28).
(22) तक विषम संख्याएं (11) हैं। उनमें अभाज्य विषम (3,5,7,11,13,17,19) हटेंगे, इसलिए (4) विषम मिश्रित या (1) बचते हैं। / There are (11) odd numbers up to (22). Removing odd primes (3,5,7,11,13,17,19) leaves (4) odd non-prime numbers including (1).
(A') में (7) विषम सदस्य और (A) में (7) सम सदस्य हैं। इसलिए (n\(A'\times A\)=7\times 7=49) है। / (A') has (7) odd elements and (A) has (7) even elements. Hence (n\(A'\times A\)=7\times 7=49).
((x-1)(x+2)\ge 0) का हल \(x\le -2\) या \(x\ge 1\) है। इसलिए बीच के पूर्णांक (-1,0) पूरक में आते हैं। / The solution of ((x-1)(x+2)\ge 0) is \(x\le -2\) or \(x\ge 1\). Thus the middle integers (-1,0) are in the complement.
डी मॉर्गन से (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। इसलिए (n\(A'\cup B'\)=76+89-31=134) है। / By De Morgan, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). Thus (n\(A'\cup B'\)=76+89-31=134).
(A'={4,5,6,7,8,9,10}) और \(A'\cap B={4,5}\) है। इसका पूरक ({1,2,3,6,7,8,9,10}) है। / (A'={4,5,6,7,8,9,10}) and \(A'\cap B={4,5}\). Its complement is ({1,2,3,6,7,8,9,10}).
(A'=\(-\infty,1\)) और \(B'=[4,\infty\)) हैं। उनका संघ (\(-\infty,1\)\cup[4,\infty)) है। / (A'=\(-\infty,1\)) and \(B'=[4,\infty\)). Their union is (\(-\infty,1\)\cup[4,\infty)).
(9) से विभाज्य संख्याएं (9,18,27,36,45,54,63,72,81) हैं। इनमें वर्ग (9,36,81) हटेंगे, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य बचते हैं। / Numbers divisible by (9) are (9,18,27,36,45,54,63,72,81). Removing squares (9,36,81) leaves (6) members.
(3) अभाज्य है, इसलिए वह (A') में नहीं होगा। बाकी (3) के गुणज (6,9,12,15,18) पूरक में हैं। / (3) is prime, so it is not in (A'). The remaining multiples (6,9,12,15,18) are in the complement.
(1,5,9,13,17,21,25,29) यानी (8) सदस्य (A) में हैं। इसलिए (n(A')=30-8=22) है। / The elements (1,5,9,13,17,21,25,29), so (8) elements, are in (A). Hence (n(A')=30-8=22).
(A) में (4) के गुणज हैं और (B) में (8) के गुणज हैं। \(B'\cap A\) में (4) के वे गुणज आएंगे जो (8) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (4), and (B) contains multiples of (8). \(B'\cap A\) contains multiples of (4) that are not multiples of (8).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं, पर (-2) और (5) नहीं हैं। इसलिए पूरक केवल ({-2,5}) है। / (A) contains all real numbers except (-2) and (5). Therefore the complement is only ({-2,5}).
(27) तक सम संख्याएं (13) हैं। इनमें (6,12,18,24) (3) से भी विभाज्य हैं, इसलिए (13-4=9) बचते हैं। / There are (13) even numbers up to (27). Among them (6,12,18,24) are also divisible by (3), so (13-4=9) remain.
डी मॉर्गन से (\(A'\cup B'\)'=A\cap B) है। सम और (8) से बड़े सदस्य (10) और (12) हैं। / By De Morgan, (\(A'\cup B'\)'=A\cap B). The even elements greater than (8) are (10) and (12).
