Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रतिच्छेद में केवल वे संख्याएँ आती हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। 1, समुच्चय \(B\) में शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ खुला सिरा है, इसलिए 1 नहीं लिया जाएगा। 4, समुच्चय \(A\) में शामिल है और \(B\) में भी है, इसलिए 4 लिया जाएगा। अतः \(A\cap B=(1,4]\) है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में प्रत्येक सिरे की सम्मिलित या असम्मिलित स्थिति दोनों अंतरालों में जाँचें। / The intersection contains only numbers that belong to both sets. The number 1 is excluded because \(B\) has an open endpoint at 1, while 4 is included because it belongs to both \(A\) and \(B\). Therefore, \(A\cap B=(1,4]\). Exam tip: Check each endpoint in both intervals before writing the final interval.
पहला अंतराल (3) तक और दूसरा (1) से आगे सभी संख्याएं देता है। दोनों मिलकर पूरी \(\mathbb{R}\) बनाते हैं। / The first interval gives all numbers up to (3), and the second gives all numbers from (1) onward. Together they form all of \(\mathbb{R}\).
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{6,12\}\), क्योंकि 6 और 12 दोनों समुच्चयों में समान हैं। अब \(\{6,12\}\setminus C\) में से वे तत्व हटाने हैं जो \(C=\{6,12,18\}\) में हैं। दोनों तत्व \(C\) में मौजूद हैं, इसलिए कोई तत्व शेष नहीं बचता और परिणाम \(\varnothing\) है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय के अंतर \(X\setminus Y\) में केवल वे तत्व रहते हैं जो \(X\) में हों, लेकिन \(Y\) में न हों। / First find the intersection: \(A\cap B=\{6,12\}\), since 6 and 12 are common to both sets. Next, remove from \(\{6,12\}\) every element that belongs to \(C=\{6,12,18\}\). Both elements are in \(C\), so no element remains and the result is \(\varnothing\). Exam tip: In the difference \(X\setminus Y\), retain only those elements that are in \(X\) but not in \(Y\).
(n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), अतः (n\(A\cup B\)=13)। पूरक में (20-13=7) तत्व हैं। / (n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), so (n\(A\cup B\)=13). The complement has (20-13=7) elements.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए समुच्चय \(B\) के प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होगा या \(A\) में नहीं होगा। जो तत्व \(A\) में नहीं हैं, वे \(B\setminus A\) में होंगे। अतः \(A\) और \(B\setminus A\) को मिलाने पर पूरे \(B\) के तत्व प्राप्त होते हैं, इसलिए \(A\cup(B\setminus A)=B\)। विकल्प \(A\) केवल वही तत्व देता है जो पहले से \(A\) में हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(A\subseteq B\), तो \(B\) को \(A\) और \(B\setminus A\) के असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है। / Since \(A\subseteq B\), every element of \(B\) is either in \(A\) or outside \(A\). The elements of \(B\) outside \(A\) form \(B\setminus A\). Therefore, combining \(A\) with \(B\setminus A\) gives all the elements of \(B\), so \(A\cup(B\setminus A)=B\). Option \(B\) is incorrect because it contains only the elements already in \(A\). Exam tip: when \(A\subseteq B\), the sets \(A\) and \(B\setminus A\) partition \(B\).
\(A\cap B=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक तत्व \(B\) में भी उपस्थित है। इसी प्रकार, \(A\cup B=B\) तभी होता है जब \(A\), \(B\) का उपसमुच्चय हो। इसलिए सही निष्कर्ष \(A\subseteq B\) है। विकल्प B केवल तब सही होता जब दोनों समुच्चय समान होते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B=A\) या \(A\cup B=B\) दिखे, तो सीधे \(A\subseteq B\) निष्कर्ष निकालें। / The statement \(A\cap B=A\) means that every element of \(A\) is also an element of \(B\). Likewise, \(A\cup B=B\) holds when \(A\) is a subset of \(B\). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct. Option B would be true only if the two sets were equal. Exam tip: whenever \(A\cap B=A\) or \(A\cup B=B\) appears, conclude directly that \(A\subseteq B\).
समुच्चय \(A\) में वे 18 अवयव शामिल हैं जो \(B\) में नहीं हैं। इसलिए \(A\) और \(B\) के उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=30-18=12\) है। अब \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+24-12=42\)। 54 वह मान है जो उभयनिष्ठ अवयवों को घटाए बिना प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना में उभयनिष्ठ अवयवों को एक बार घटाना न भूलें। / The 18 elements in \(A\setminus B\) are the elements of \(A\) that are not in \(B\). Hence, \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=30-18=12\). Therefore, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+24-12=42\). The value 54 results from adding the set sizes without removing the overlap. Exam tip: In a union, subtract the common elements once because they are counted twice in \(n(A)+n(B)\).
किसी भी समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव \(A\cup B\) में होता है। दी गई समानता के कारण वह \(A\cap B\) में भी होगा, इसलिए वह \(B\) में होगा। अतः \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार \(B\subseteq A\), इसलिए \(A=B\)। विकल्प B और C केवल तब सत्य होंगे जब दोनों समुच्चय रिक्त हों, जबकि विकल्प D भी सदैव सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि संघ और प्रतिच्छेद समान दिए हों, तो दोनों समुच्चयों की समानता निष्कर्षित करें। / Every element of \(A\) belongs to \(A\cup B\). By the given equality, it must also belong to \(A\cap B\), and hence to \(B\). Thus, \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\subseteq A\), so \(A=B\). Options B and C are true only when both sets are empty, while option D is not always true. Exam tip: Whenever a union equals the corresponding intersection, conclude that the two sets are equal.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le 12\}\) और \(B=\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ अभाज्य है}\}\) है तथा \(B\) को \(A\) तक सीमित माना गया है, तो \(A\setminus B\) क्या होगा?
यहाँ \(A=\{1,2,3,\ldots,12\}\) है। इस समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ \(B=\{2,3,5,7,11\}\) हैं। अतः \(A\setminus B\) में \(A\) के वे सभी तत्व होंगे जो अभाज्य नहीं हैं: \(\{1,4,6,8,9,10,12\}\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह उत्तर में शामिल होगा। / Here, \(A=\{1,2,3,\ldots,12\}\), and the prime elements of \(A\) are \(B=\{2,3,5,7,11\}\). Therefore, \(A\setminus B\) contains all elements of \(A\) that are not prime, giving \(\{1,4,6,8,9,10,12\}\). Remember that 1 is not a prime number, so it remains in the difference set.
\(A\setminus B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) का कोई भी अवयव \(B\) से बाहर नहीं है, इसलिए \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार, \(B\setminus A=\varnothing\) से \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। दोनों समावेशों से \(A=B\) निष्कर्षित होता है। विकल्प C और D केवल एकतरफा उचित उपसमुच्चय बताते हैं, जबकि यहाँ दोनों दिशाओं में समावेश है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों की पारस्परिक उपसमुच्चयता उनकी समानता सिद्ध करती है। / The condition \(A\setminus B=\varnothing\) means that no element of \(A\) lies outside \(B\), so \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\setminus A=\varnothing\) gives \(B\subseteq A\). Mutual containment implies \(A=B\). Options C and D claim a proper subset relation in only one direction, which contradicts the two given conditions. Exam tip: if each set is a subset of the other, the two sets are equal.
