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पहले \(A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}\) ज्ञात करते हैं। अब इस संघ से \(C\) के तत्व \(1,2,3,4\) हटाने पर \(\{5,6,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प D में 6 को अनावश्यक रूप से हटा दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \((A\cup B)\setminus C\) में पहले संघ और फिर अंतर निकालें। / First, \(A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}\). Removing the elements of \(C\), namely 1, 2, 3, and 4, leaves \(\{5,6,7,9\}\). Option D is incorrect because it unnecessarily omits 6. Exam tip: for \((A\cup B)\setminus C\), find the union first and then remove the elements of \(C\).
(A) से (B) हटाने पर भी (A) बच रहा है, इसलिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so (A) and (B) have no common element. Hence \(A\cap B=\varnothing\).
चूँकि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए A और B असंयुक्त समुच्चय हैं तथा उनमें कोई भी उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-0=38\)। 21 या 17 केवल अलग-अलग समुच्चयों की cardinality हैं, संघ की नहीं। परीक्षा-युक्ति: असंयुक्त समुच्चयों के लिए संघ की cardinality सीधे उनकी cardinalities के योग के बराबर होती है। / Since \(A\cap B=\varnothing\), the sets A and B are disjoint and have no common elements. Using the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-0=38\). The values 21 and 17 represent the cardinalities of the individual sets, not their union. Exam tip: for disjoint sets, the cardinality of the union is simply the sum of their cardinalities.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए उत्तर ({1,2,3,5,7}) है। / The union is formed from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence the answer is ({1,2,3,5,7}).
समुच्चय \(A\cup B\) में तीन असंबद्ध भाग शामिल होते हैं: केवल \(A\) के तत्व, केवल \(B\) के तत्व और साझा तत्व \(A\cap B\)। इसलिए \(n(A\cup B)=12+9+6=27\)। विकल्प 21 केवल दोनों अंतर वाले भागों का योग है और उसमें प्रतिच्छेद के 6 तत्व शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना करते समय साझा भाग को एक बार अवश्य जोड़ें। / The union \(A\cup B\) consists of three disjoint parts: elements only in \(A\), elements only in \(B\), and the common elements in \(A\cap B\). Hence, \(n(A\cup B)=12+9+6=27\). Option 21 omits the 6 elements in the intersection. Exam tip: When the exclusive parts and the intersection are given, add all three parts exactly once.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है कि \(B\) का प्रत्येक तत्व पहले से \(A\) में मौजूद है; अतः \(B\subseteq A\)। इसलिए \(B\setminus A\), अर्थात् \(B\) में मौजूद लेकिन \(A\) में अनुपस्थित तत्वों का समुच्चय, रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) है। विकल्प B सही नहीं है, क्योंकि वह केवल तब सही होता जब \(B\) और \(A\) में कोई समान तत्व न हो। परीक्षा-युक्ति: \(X\cup Y=X\) दिखे, तो तुरंत \(Y\subseteq X\) निष्कर्ष निकालें। / The condition \(A\cup B=A\) means that every element of \(B\) is already contained in \(A\); hence, \(B\subseteq A\). Therefore, \(B\setminus A\), the set of elements in \(B\) but not in \(A\), is the empty set \(\varnothing\). Option B is not correct because \(B\setminus A=B\) would require \(A\) and \(B\) to have no common elements. Exam tip: whenever \(X\cup Y=X\), immediately infer that \(Y\subseteq X\).
\(A\cap B=B\) से \(B\subseteq A\) मिलता है, पर \(A\setminus B\) खाली भी हो सकता है और नहीं भी। बाकी कथन सदैव सत्य हैं। / \(A\cap B=B\) gives \(B\subseteq A\), but \(A\setminus B\) may or may not be empty. The other statements are always true.
साझा तत्व (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे। (50) तक (12,24,36,48) यानी (4) तत्व हैं। / Common elements are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (50), they are (12,24,36,48), so there are (4) elements.
\(A\) में \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) अर्थात् 9 तत्व हैं। समीकरण \(x^2-2x-3=0\) को \((x-3)(x+1)=0\) लिखने पर \(B=\{-1,3\}\) मिलता है। दोनों तत्व \(A\) में हैं, इसलिए \(A\setminus B\) में 9 में से 2 तत्व हटेंगे और \(9-2=7\) तत्व बचेंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर समुच्चय में हटाए जाने वाले तत्वों की संख्या जाँचें; केवल वही तत्व घटाएँ जो वास्तव में \(A\) में मौजूद हों। / The set \(A\) is \(\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so it has 9 elements. Factoring \(x^2-2x-3=0\) as \((x-3)(x+1)=0\) gives \(B=\{-1,3\}\). Both elements of \(B\) belong to \(A\), so removing them leaves \(9-2=7\) elements in \(A\setminus B\). Exam tip: when finding a set difference, subtract only those elements of the second set that actually belong to the first set.
यदि \(A\triangle B\) को \((A\setminus B)\cup(B\setminus A)\) द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n(A\cup B)=40\), \(n(A\cap B)=13\) है, तो \(n(A\triangle B)\) का मान क्या होगा?
सममित अंतर \(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो केवल \(A\) या केवल \(B\) में हैं; उभयनिष्ठ तत्व इसमें शामिल नहीं होते। इसलिए \(A\cup B\) से \(A\cap B\) को हटाने पर \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)=40-13=27\)। परीक्षा-युक्ति: सममित अंतर की संख्या के लिए सीधे \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)\) का प्रयोग करें। / The symmetric difference \(A\triangle B\) contains elements that belong to exactly one of the sets, so the common elements are excluded. Hence, \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)=40-13=27\). The closest distractor, 13, is only the cardinality of the intersection, not the symmetric difference. Exam tip: use \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)\) when the union and intersection are given.
