Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(C\setminus B\) में (B) से बाहर के तत्व होते हैं। \(A\subseteq B\) होने से (A) का कोई तत्व वहां नहीं होगा। / \(C\setminus B\) contains elements outside (B). Since \(A\subseteq B\), no element of (A) can be there.
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है। \(A\cap B\ne\varnothing\) बताता है कि (A) खाली नहीं है। / \(A\setminus B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\). \(A\cap B\ne\varnothing\) shows that (A) is not empty.
(n\(A\cup B\)=n(B)) से \(A\subseteq B\) है। इसलिए \(A\setminus B=\varnothing\) और संख्या (0) है। / Since (n\(A\cup B\)=n(B)), we have \(A\subseteq B\). Hence \(A\setminus B=\varnothing\) and the number is (0).
यहाँ \(A\cup B=[0,8]\) और \(A\cap B=(3,5)\) है। संघ से उभयनिष्ठ भाग हटाने पर \([0,3]\cup[5,8]\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(3\) केवल \(A\) में और \(5\) केवल \(B\) में है, इसलिए दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा। परीक्षा-युक्ति: खुले और बंद सिरों को प्रत्येक समुच्चय की मूल शर्तों से जाँचें। / Here, \(A\cup B=[0,8]\) and \(A\cap B=(3,5)\). Removing the common part from the union gives \([0,3]\cup[5,8]\). Notice that \(3\) belongs only to \(A\), while \(5\) belongs only to \(B\), so both endpoints are included. Exam tip: determine each interval endpoint from the original inequalities before performing set operations.
यदि \(n(A\cup B\cup C)=86\), \(n(A)=38\), \(n(B)=34\), \(n(C)=31\), \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=10\) और \(n(C\cap A)=9\) है, तो \(n(A\cap B\cap C)\) का मान क्या है?
तीन समुच्चयों के समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के अनुसार, \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\)। मान रखने पर \(86=38+34+31-12-10-9+x=72+x\), इसलिए \(x=14\)। अतः सही उत्तर 14 है। परीक्षा-युक्ति: तीनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद को अंत में जोड़ना न भूलें, क्योंकि वह पहले घटाए गए युग्मीय प्रतिच्छेदों में तीन बार शामिल होता है। / By the inclusion–exclusion principle for three sets, \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting the given values gives \(86=38+34+31-12-10-9+x=72+x\), so \(x=14\). Therefore, the correct answer is 14. Exam tip: remember to add the three-way intersection at the end because it is included three times in the pairwise intersections that were subtracted.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (20+13+8-6-4-2+1=30) मिलता है। परीक्षा में युग्म प्रतिच्छेद घटाकर त्रिक प्रतिच्छेद जोड़ें। / Using the three-set formula gives (20+13+8-6-4-2+1=30). In exams, subtract pairwise intersections and add the triple intersection.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=70-22-31=17)। / The union is made of three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=70-22-31=17).
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो \(A\) में है वह पहले से ही \(B\) में है। इसलिए \(A\) और \(B\) का संघ (union) \(B\) से बड़ा या अलग कुछ नहीं देगा; इसलिए \(A\cup B=B\) हमेशा सत्य है। विकल्प C (\(A\cap B=B\)) तब ही सत्य होगा जब \(B\subseteq A\) हो — यहाँ दिया गया है \(A\subseteq B\), अतः सामान्यतः \(A\cap B=A\)। विकल्प B (\(A\cup B=A\)) उसी तरह तभी सत्य होगा जब \(B\subseteq A\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\setminus B=\emptyset\) जब \(A\subseteq B\) हो, न कि \(B\)। परीक्षा की टिप: सबसे पहले \(A\subseteq B\) का मतलब याद रखें — सभी तत्व A के B में होते हैं; फिर संघ और छेद (intersection) के सिद्धांत लागू करें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already an element of \(B\). Hence forming the union adds no new elements and \(A\cup B=B\) always holds. Option C (\(A\cap B=B\)) would require \(B\subseteq A\), so in our case the intersection equals \(A\), not \(B\). Option B (\(A\cup B=A\)) is likewise only true when \(B\subseteq A\). Option D is incorrect because when \(A\subseteq B\) we have \(A\setminus B=\emptyset\), not \(B\). Exam tip: translate the subset relation into “every element of A is in B” and then apply union/intersection identities: \(A\cup B=B\), \(A\cap B=A\), \(A\setminus B=\emptyset\) when \(A\subseteq B\).
यदि \(A\cup B = B\), तो किसी भी तत्व \(x\) के लिए, यदि \(x\in A\) तो निश्चित रूप से \(x\in A\cup B\), और इसलिए \(x\in B\)। इसका सीधा अर्थ है कि हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है, यानी \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) तभी सत्य होगा जब \(A=B\) हो — यह जरूरी नहीं है। विकल्प C (\(A=B^{c}\)) और D (\(A\cap B=\emptyset\)) भी आवश्यक सत्य नहीं हैं क्योंकि वे अतिरिक्त परिस्थितियों पर निर्भर करते हैं। परीक्षा-टिप: यूनियन का अर्थ तत्व-स्तर पर जांचें — यदि \(A\cup B=B\), तो हर \(A\) का तत्व \(B\) में होना चाहिए। / From \(A\cup B = B\) consider any element \(x\). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup B\), so by equality \(x\in B\). Thus every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) would hold only if \(A=B\), which is not guaranteed. Options C (\(A=B^{c}\)) and D (\(A\cap B=\emptyset\)) are not implied by the given equality and require extra assumptions. Exam tip: use element-wise reasoning — check what membership in \(A\) implies from the union equality.
\(A - B = \emptyset\) का अर्थ है कि सेट \(A\) का कोई भी सदस्य ऐसा नहीं है जो \(B\) के बाहर हो। यही कहता है कि प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) भी सत्य है, अतः \(A\subseteq B\)। यह समकक्षता (equality) \(A= B\) की गारंटी नहीं देता क्योंकि \(B\) में ऐसे सदस्य हो सकते हैं जो \(A\) में न हों। समान रूप से \(A\cap B=\emptyset\) या \(B\subseteq A\) के विकल्प गलत हैं। परीक्षा टिप: सेट-भेद \(A-B\) का हमेशा अर्थ याद रखें — यह वही तत्व देता है जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। / \(A - B = \emptyset\) means there is no element of \(A\) that lies outside \(B\). Therefore every \(x\in A\) is also in \(B\), so \(A\subseteq B\). This does not imply equality \(A= B\) because \(B\) may have extra elements; nor does it imply \(B\subseteq A\) or that \(A\) and \(B\) are disjoint. Exam tip: translate set-difference statements into "for every element..." form to decide subset relations quickly.
