Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए सम्बन्धों से ट्रान्जिटिविटी के कारण \(A\subseteq C\) होगा। इसका अर्थ है कि जिस भी तत्व का होना \(A\) में आवश्यक है, वह तत्व \(C\) में भी होगा। अतः \(A\) और \(C\) का प्रतिच्छेद उसी सेट के बराबर होगा जो \(A\) में पहले से है, यानी \(A\cap C= A\)। विकल्पों की जाँच: \(B\) सही नहीं क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो \(A\) में नहीं हैं; \(C\) सही नहीं क्योंकि \(C\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं; \(\emptyset\) तभी होगा जब \(A=\emptyset\), पर सामान्य स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। परीक्षाई सुझाव: याद रखें—यदि \(X\subseteq Y\) हो तो \(X\cap Y=X\)। / By transitivity from the given relations we have \(A\subseteq C\). Every element of \(A\) is therefore an element of \(C\), so the intersection \(A\cap C\) contains exactly the elements of \(A\). Hence \(A\cap C=A\). Why other options fail: \(B\) may contain elements not in \(A\); \(C\) may be strictly larger than \(A\); \(\emptyset\) would only be correct if \(A=\emptyset\), which is not generally assumed. Exam tip: draw a small Venn diagram or use the rule “if \(X\subseteq Y\) then \(X\cap Y=X\)” to answer quickly.
क्योंकि \(A\subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का हर तत्व भी \(B\) में है। इसलिए \(A\setminus B\) — अर्थात् उन तत्वों का समूह जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं — का कोई तत्व शेष नहीं रहेगा। अतः \(A\setminus B=\emptyset\) (रिक्त समुच्चय)। अक्सर भ्रामक विचार यह होता है कि \(A\setminus B= A\); यह गलत है क्योंकि उस कथन के लिए \(A\) के कुछ तत्वों का \(B\) के बाहर होना आवश्यक है, जो यहाँ संभव नहीं। परिक्षा सुझाव: किसी छोटा उदाहरण ले कर (उदा. \(A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}\)) प्रतीकात्मक अर्थ की पुष्टि करें। / Since \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is also an element of \(B\). Removing from \(A\) all elements that belong to \(B\) leaves nothing, so \(A\setminus B=\emptyset\). A common wrong thought is \(A\setminus B=A\), which would require elements of \(A\) lying outside \(B\); that is not the case here. Note that \(B\setminus A\) denotes elements of \(B\) not in \(A\) and may be nonempty. Exam tip: verify set-relations with a concrete small example (e.g. \(A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}\)) to build intuition.
परिभाषा के अनुसार \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\)। यदि \(A\subseteq B\) है तो \(A-B=\emptyset\) होगा, अतः \(A\triangle B=B-A\)। दिया गया है कि \(A\triangle B=\{7\}\), इसलिए \(B-A=\{7\}\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि symmetric difference खाली नहीं है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(B-A\) और \(A\) आपस में विषम होते हैं यदि \(A\subseteq B\) हो; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(B\) में \(A\) भी शामिल हो सकता है और केवल \(\{7\}\) के बराबर नहीं। परीक्षा-सूत्र: जब \(A\subseteq B\) दिया हो तो \(A\triangle B\) को सीधे \(B-A\) मानकर समस्या सरल बनाएं। / By definition, \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\). If \(A\subseteq B\) then \(A-B=\emptyset\), so \(A\triangle B=B-A\). Given \(A\triangle B=\{7\}\), it follows that \(B-A=\{7\}\). Option (B) is wrong because the symmetric difference is nonempty; (C) is wrong because elements in \(B-A\) are not in \(A\) when \(A\subseteq B\); (D) is wrong because \(B\) may contain all of \(A\) plus the element 7 and thus need not equal \{7\}. Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), replace \(A\triangle B\) by \(B-A\) to simplify.
एक कक्षा में 95 विद्यार्थी हैं। इनमें 56 विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं, 49 विद्यार्थी विज्ञान पढ़ते हैं और 27 विद्यार्थी दोनों विषय पढ़ते हैं। ठीक एक विषय पढ़ने वाले कितने हैं?
ठीक एक विषय = (केवल गणित) + (केवल विज्ञान)। केवल गणित = 56−27, केवल विज्ञान = 49−27 इसलिए ठीक एक = (56−27)+(49−27) = 51। वैकल्पिक रूप से पहले से मिलकर पढ़ने वाले की संख्या (union) = 56+49−27 = 78 होती है और ठीक एक = union − दोनों = 78−27 = 51। निकटतम भ्रमित विकल्प: 78 उन छात्रों की संख्या है जो कम से कम एक विषय पढ़ते हैं (दोनों सहित), और 22 केवल विज्ञान पढ़ने वाले हैं (49−27)। परीक्षा-सुझाव: वेन आरेख बनाकर क्षेत्रों को लेबल करें या फार्मूला \\(exactly\ one = M+S-2\times(both)\\) याद रखें। / Exactly one subject = (only Math) + (only Science). Only Math = 56−27, Only Science = 49−27, so exactly one = (56−27)+(49−27) = 51. Alternatively union = 56+49−27 = 78 and exactly one = union − both = 78−27 = 51. Closest distractors: 78 is the count of students studying at least one subject (includes both), and 22 equals only Science (49−27), not the sum of both "only" regions. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram and label the three regions or use the formula \(exactly\ one = M+S-2\times(both)\) to avoid errors.
(n(A)=15), (n(B)=10) और (n\(A\cap B\)=5), इसलिए (n\(A\cup B\)=20)। ऐसी गिनती में समावेशन-बहिष्करण याद रखें। / (n(A)=15), (n(B)=10) and (n\(A\cap B\)=5), so (n\(A\cup B\)=20). Use inclusion-exclusion in such counting questions.
\(A\cup B\) से \(A\setminus B\) हटाने पर (B) के सभी तत्व बचते हैं। ऐसे प्रश्न में वेन आरेख के क्षेत्रों को अलग-अलग देखें। / Removing \(A\setminus B\) from \(A\cup B\) leaves all elements of (B). In such questions, view separate Venn diagram regions.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\) और \(A\cap B=A\), इसलिए उत्तर \(B\setminus A\) है। उपसमुच्चय की शर्त पहले लगाएं। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\), hence the answer is \(B\setminus A\). Apply the subset condition first.
\(A\cup B\) तीन अलग भागों से बनता है, इसलिए (54=17+21+n\(A\cap B\))। अतः (n\(A\cap B\)=16), वेन आरेख में क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A\cup B\) is made of three separate parts, so (54=17+21+n\(A\cap B\)). Hence (n\(A\cap B\)=16), add Venn regions carefully.
दोनों अंतर रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चय एक-दूसरे में समाहित हैं, इसलिए (A=B)। समानता सिद्ध करने में दोनों दिशाएं जांचें। / Both differences being empty means each set is contained in the other, so (A=B). To prove equality, check both containments.
(B=(-1,6]) में (-1) नहीं है और (6) शामिल है, इसलिए (A) से बीच का भाग हटकर ([-4,-1]\cup(6,9]) बचता है। अंतर में खुले-बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since (B=(-1,6]) excludes (-1) and includes (6), removing it from (A) leaves ([-4,-1]\cup(6,9]). In differences, handle open and closed endpoints carefully.
