Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x\le 8\}\), \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid 0\le x\le 5\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\text{ सम है}\}\), तो \((A\setminus B)\cap C\) का मान क्या है?
पहले \(A\setminus B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(A\) में \(-3\) से \(8\) तक सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में \(0\) से \(5\) तक के पूर्णांक हैं। अतः \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\)। इनमें सम पूर्णांक केवल \(-2,6,8\) हैं, इसलिए \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\)। विकल्प B में विषम संख्याएँ भी रह गई हैं, इसलिए वह केवल \(A\setminus B\) है, अंतिम प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले difference निकालें और उसके बाद intersection की शर्त लागू करें। / First find \(A\setminus B\). Set \(A\) contains all integers from \(-3\) through \(8\), while \(B\) contains the integers from \(0\) through \(5\). Therefore, \(A\setminus B=\{-3,-2,-1,6,7,8\}\). The even elements of this set are only \(-2,6,8\), so \((A\setminus B)\cap C=\{-2,6,8\}\). Option B is only \(A\setminus B\); it incorrectly retains the odd elements as well. Exam tip: compute the difference first, then apply the intersection condition.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 10\}\), \(B=\{x\in\mathbb{N}:x\text{ विषम है}\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{N}:x\text{ अभाज्य है}\}\), तो \(A\cap(B-C)\) का मान क्या है?
10 तक की विषम संख्याएँ \(\{1,3,5,7,9\}\) हैं। इनमें से अभाज्य संख्याएँ \(3,5,7\) हटाने पर \(B-C=\{1,9\}\) मिलता है। ये दोनों संख्याएँ \(A\) में भी हैं, इसलिए \(A\cap(B-C)=\{1,9\}\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है। / The odd numbers not exceeding 10 are \(\{1,3,5,7,9\}\). Removing the prime numbers \(3,5,7\) gives \(B-C=\{1,9\}\). Both 1 and 9 belong to \(A\), so \(A\cap(B-C)=\{1,9\}\). Exam tip: 1 is neither prime nor composite.
इन दोनों समानताओं से (A) के अंदर और बाहर (B) और (C) की सदस्यता समान हो जाती है। अतः (B=C)। / These two equalities make the membership of (B) and (C) the same both inside and outside (A). Hence (B=C).
द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित करने पर \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) मिलता है। अतः \((x-1)(x-3)>0\) के लिए \(x<1\) या \(x>3\)। अब \(B\) में केवल \(x>1\) मान हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों का सामान्य भाग \((3,\infty)\) है। 1 और 3 शामिल नहीं होंगे, क्योंकि असमानताएँ सख्त हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात असमानता में पहले मूल निकालकर sign intervals जाँचें। / Factoring gives \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Thus, \((x-1)(x-3)>0\) when \(x<1\) or \(x>3\). Since \(B\) contains only values with \(x>1\), the common part is \((3,\infty)\). Neither 1 nor 3 is included because the inequalities are strict. Exam tip: For a quadratic inequality, find the roots first and test the sign on the resulting intervals.
\(x^2\le 9\) से \(A=[-3,3]\) और \(x^2<1\) से \(B=(-1,1)\) प्राप्त होता है। \(A-B\) में \(A\) के वे सभी तत्त्व होंगे जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \((-1,1)\) हटाने पर \([-3,-1]\cup[1,3]\) मिलता है। \(-1\) और \(1\) शामिल हैं क्योंकि \(B\) में असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: \(<\) या \(>\) पर खुले सिरे और \(\le\) या \(\ge\) पर बंद सिरे लगाएँ। / From \(x^2\le 9\), we get \(A=[-3,3]\), and from \(x^2<1\), we get \(B=(-1,1)\). The difference \(A-B\) contains elements of \(A\) that are not in \(B\), so removing \((-1,1)\) gives \([-3,-1]\cup[1,3]\). The endpoints \(-1\) and \(1\) are included because the inequality defining \(B\) is strict. Exam tip: use open endpoints for \(<\) or \(>\), and closed endpoints for \(\le\) or \(\ge\).
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), इसलिए \(|A\cup B|=5\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(S)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A\cup B)|=2^5=32\)। विकल्प 16 केवल 4 तत्व वाले समुच्चय के लिए सही होता; परीक्षा में पहले संघ के अलग-अलग तत्व गिनें, फिर \(2^n\) लगाएँ। / First find the union: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), so \(|A\cup B|=5\). A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cup B)|=2^5=32\). The value 16 would apply to a set with only 4 elements; in such questions, count the distinct elements of the union before applying \(2^n\).
पहले अंतर समुच्चय ज्ञात करें: \(A-B=\{1,3,5\}\), जिसमें 3 तत्व हैं। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। अतः \(n(\mathcal{P}(A-B))=2^3=8\)। विकल्प 3 केवल \(A-B\) की cardinality बताता है, घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर समुच्चय के तत्वों की संख्या निकालकर उसे \(2^n\) में रखें। / First find the difference set: \(A-B=\{1,3,5\}\), which contains 3 elements. A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set. Therefore, \(n(\mathcal{P}(A-B))=2^3=8\). The value 3 gives only the cardinality of \(A-B\), not of its power set. Exam tip: find the number of elements in the difference set first, then apply \(2^n\).
\((A-B)\cap(B-C)\) में वही (6) तत्व हैं जो (B-C) में (A) के साथ सामान्य हैं। इसलिए संघ का मान (17+22-6=33) है। / \((A-B)\cap(B-C)\) contains those (6) elements common to (B-C) and (A). Hence the union count is (17+22-6=33).
(C-A) में से (B-A) हटाने पर (B) के बाहर और (C) के अंदर वाले तत्व बचते हैं। इसलिए परिणाम (C-B) है। / Removing (B-A) from (C-A) leaves the elements inside (C) but outside (B). Hence the result is (C-B).
दिया गया है कि प्रत्येक दो समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त है, इसलिए \(A\), \(B\) और \(C\) परस्पर असंबद्ध समुच्चय हैं। अतः किसी भी अवयव की दोबारा गणना नहीं होगी और \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)=12+15+18=45\)। इसलिए सही उत्तर 45 है। परीक्षा-टिप: असंबद्ध समुच्चयों के संघ की संख्या उनके अवयवों की संख्याओं के योग के बराबर होती है; प्रतिच्छेद होने पर समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगाएँ। / Each pair of sets has an empty intersection, so \(A\), \(B\), and \(C\) are pairwise disjoint. Therefore, no element is counted more than once, and \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)=12+15+18=45\). Hence, 45 is correct. Exam tip: For disjoint sets, add their cardinalities directly; if intersections are non-empty, use the inclusion-exclusion formula.
