Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-3|\) आलेख को 3 इकाई दाईं ओर और बाहर जोड़ा गया \(+2\) उसे 2 इकाई ऊपर ले जाता है। इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C में ऊर्ध्वाधर विस्थापन की दिशा गलत है। परीक्षा युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(|x-3|\), the graph shifts 3 units to the right, and the outside \(+2\) shifts it 2 units upward. Therefore, the vertex is \((3,2)\). Option B reverses the horizontal shift, while option C reverses the vertical shift. Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is directly \((h,k)\).
क्योंकि \((x+2)^2\ge 0\), इसलिए \(-(x+2)^2\le 0\) और \(f(x)=-(x+2)^2+5\le 5\)। समानता तब होती है जब \(x=-2\), अतः अधिकतम मान 5 है। ध्यान रखें कि \(-2\) शीर्ष-बिंदु का \(x\)-निर्देशांक है, फलन का अधिकतम मान नहीं। परीक्षा में नीचे खुले हुए पराबोला \(y=-(x+2)^2+5\) का अधिकतम \(y\)-मान शीर्ष-बिंदु से पहचानें। / Since \((x+2)^2\ge 0\), we have \(-(x+2)^2\le 0\), so \(f(x)=-(x+2)^2+5\le 5\). Equality occurs when \(x=-2\), hence the maximum value is 5. Note that \(-2\) is the x-coordinate of the vertex, not the maximum value of the function. Exam tip: for a downward-opening parabola, the y-coordinate of the vertex gives the maximum value.
वास्तविक मान के लिए \(7-x\ge 0\), इसलिए \(x\le 7\)। वर्गमूल में अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / For real values, \(7-x\ge 0\), so \(x\le 7\). The expression inside a square root must not be negative.
ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट उस मान पर मिलता है जहाँ फलन का हर शून्य हो जाता है। यहाँ \(x+3=0\), इसलिए \(x=-3\) पर फलन अपरिभाषित है और यही ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(y=-2\) क्षैतिज आसिम्प्टोट है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{1}{x-a}+b\) के लिए ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट \(x=a\) होता है। / A vertical asymptote occurs where the denominator becomes zero. Here, \(x+3=0\), so the function is undefined at \(x=-3\), making \(x=-3\) the vertical asymptote. The line \(y=-2\) is the horizontal asymptote, not the vertical one. Exam tip: For \(\frac{1}{x-a}+b\), the vertical asymptote is \(x=a\).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{2}{x-1}\) का मान 0 के बहुत निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान 4 के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=4\) है। विकल्प \(x=1\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{x-h}+k\) के रूप में लिखे फलन का क्षैतिज आसिम्प्टोट हमेशा \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{2}{x-1}\) approaches 0. Therefore, \(f(x)\) approaches 4, so the horizontal asymptote is \(y=4\). The line \(x=1\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function in the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is \(y=k\).
मापांक \(|2x-6|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, और यह तभी प्राप्त होता है जब अंदर का व्यंजक शून्य हो। इसलिए \(2x-6=0\), जिससे \(x=3\) मिलता है। \(x=6\) रखने पर फलन का मान 6 आता है, इसलिए वह न्यूनतम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|ax+b|\) का न्यूनतम बिंदु हमेशा \(ax+b=0\) से प्राप्त करें। / The modulus \(|2x-6|\) is minimized when its inner expression is zero, because the least possible value of an absolute value is 0. Thus, \(2x-6=0\), giving \(x=3\). For example, at \(x=6\), the function value is 6, so it cannot be the minimum. Exam tip: For a function of the form \(|ax+b|\), set \(ax+b=0\) to find the minimum point.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) होता है। अतः \(|x+1|-4=0\), यानी \(|x+1|=4\)। इसलिए \(x+1=4\) या \(x+1=-4\), जिससे \(x=3\) या \(x=-5\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) और \((-5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए पहले \(f(x)=0\) रखें और दोनों चिह्नों वाले मामले हल करें। / At an x-intercept, the function value is zero. Thus, \(|x+1|-4=0\), so \(|x+1|=4\). Therefore, \(x+1=4\) or \(x+1=-4\), giving \(x=3\) or \(x=-5\). Hence, the x-intercepts are \((3,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: For a modulus function, set \(f(x)=0\) and solve both positive and negative cases.
x-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \((x-3)^2-4=0\), अर्थात \((x-3)^2=4\)। इससे \(x-3=\pm2\), इसलिए \(x=1\) या \(x=5\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((1,0)\) और \((5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(f(x)=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \((x-3)^2-4=0\), so \((x-3)^2=4\). Hence \(x-3=\pm2\), giving \(x=1\) or \(x=5\). Therefore, the x-intercepts are \((1,0)\) and \((5,0)\). Exam tip: To find x-intercepts, set the function equal to zero.
\(f(x)=3|x-2|\) में बाहरी गुणांक 3, प्रत्येक \(y\)-मान को 3 गुना कर देता है। इसलिए आलेख ऊर्ध्व दिशा में 3 के गुणक से खिंचता है, जबकि शीर्षबिंदु \((2,0)\) अपरिवर्तित रहता है। विकल्प B में ऊर्ध्व संपीड़न कहा गया है, जो तब होता जब गुणांक 0 और 1 के बीच होता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर का गुणांक ऊर्ध्व परिवर्तन करता है, जबकि मॉड्यूलस के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(f(x)=3|x-2|\), the outside coefficient 3 multiplies every \(y\)-value by 3. Hence the graph is vertically stretched by a factor of 3, while its vertex remains at \((2,0)\). Option B describes vertical compression, which occurs when the outside coefficient lies between 0 and 1. Exam tip: a coefficient outside the modulus causes vertical scaling, whereas a change inside the modulus causes horizontal shifting.
यहाँ \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), मूल फलन \(y=x^2\) के प्रत्येक \(y\)-मान का आधा कर देता है। इसलिए आलेख \(x\)-अक्ष की ओर ऊर्ध्वाधर रूप से संकुचित होता है और परवलय अधिक चौड़ा दिखाई देता है। यह बाईं या नीचे ओर स्थानांतरण नहीं है, क्योंकि \(x\) में कोई बदलाव या स्थिर पद नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(0<a<1\) होने पर \(y=ax^2\) का आलेख ऊर्ध्वाधर रूप से संकुचित होता है। / In \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), every \(y\)-value of the parent function \(y=x^2\) is multiplied by \(\frac{1}{2}\). Thus, the graph is vertically compressed toward the \(x\)-axis and the parabola appears wider. It is not shifted left or down because there is no change inside \(x\) and no constant term has been added. Exam tip: when \(0<a<1\), the graph of \(y=ax^2\) is vertically compressed.
