Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों समीकरणों के \(y\) मान समान होंगे, इसलिए \(|x-2|=4\)। इससे \(x-2=4\) या \(x-2=-4\), अतः \(x=6\) या \(x=-2\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में \(|x-2|=4\) का सही हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: \(|u|=a\), जहाँ \(a>0\), हो तो हमेशा \(u=\pm a\) के दोनों मामले जाँचें। / At an intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(|x-2|=4\). Thus \(x-2=4\) or \(x-2=-4\), giving \(x=6\) or \(x=-2\). Therefore, option A is correct. Option B does not satisfy \(|x-2|=4\). Exam tip: when \(|u|=a\) with \(a>0\), solve both cases \(u=a\) and \(u=-a\).
प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों ग्राफ़ों के \(y\) मान समान होंगे, इसलिए \(\sqrt{x+1}=3\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x+1=9\), अतः \(x=8\)। विकल्प \(x=9\) में \(-1\) घटाना भूलने की सामान्य गलती है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग करने के बाद मूल समीकरण में मान रखकर जाँच करें; यहाँ \(\sqrt{8+1}=3\) है। / At the intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(\sqrt{x+1}=3\). Squaring both sides gives \(x+1=9\), hence \(x=8\). The distractor \(x=9\) results from forgetting to subtract 1. Exam tip: Always substitute the obtained value back into the original equation; here, \(\sqrt{8+1}=3\).
\(y=x^3\) एक विषम फलन है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)। इसलिए इसका ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। \(y=x^2\) y-अक्ष के सापेक्ष सममित है। परीक्षा टिप: विषम फलन के लिए \(f(-x)=-f(x)\) जाँचें। / \(y=x^3\) is an odd function because \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\). Hence, its graph is symmetric about the origin. In contrast, \(y=x^2\) is symmetric about the y-axis. Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) to identify odd functions.
A. 4 इकाई बाईं ओर और 3 इकाई नीचे/4 units left and 3 units down
Explanation
Simple Explanation
\(f(x+4)\) में इनपुट के अंदर \(+4\) होने के कारण ग्राफ क्षैतिज दिशा में 4 इकाई बाईं ओर खिसकता है; अंदर का चिह्न दिशा को उलट देता है। बाहर का \(-3\), पूरे फलन के मान से 3 घटाता है, इसलिए ग्राफ 3 इकाई नीचे जाता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(f(x-a)\) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और \(f(x)+b\) से b इकाई ऊपर जाता है। / In \(f(x+4)\), the input contains \(+4\), so the graph shifts 4 units horizontally to the left; the sign inside the function reverses the direction. The outside term \(-3\) subtracts 3 from every function value, shifting the graph 3 units downward. Therefore, option A is correct. Exam tip: \(f(x-a)\) shifts a graph a units right, while \(f(x)+b\) shifts it b units up.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2 के साथ; फिर 1 इकाई नीचे खिसकाना/Vertical stretch by a factor of 2, followed by a downward shift of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=2f(x)-1\) में \(f(x)\) के बाहर का गुणक 2 प्रत्येक \(y\)-मान को दोगुना करता है, इसलिए ग्राफ का ऊर्ध्वाधर खिंचाव गुणक 2 होता है। इसके बाद \(-1\) सभी मानों को 1 इकाई नीचे ले जाता है। यह क्षैतिज खिंचाव नहीं है, क्योंकि क्षैतिज रूपांतरण में परिवर्तन \(f(2x)\) जैसे फलन के तर्क के अंदर होता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज रूपांतरण दर्शाता है। / In \(y=2f(x)-1\), the factor 2 outside \(f(x)\) doubles every \(y\)-value, producing a vertical stretch by a factor of 2. The term \(-1\) then shifts the entire graph 1 unit downward. It is not a horizontal stretch, because horizontal transformations involve changes inside the function’s argument, such as \(f(2x)\). Exam tip: factors outside the function affect vertical changes, while factors inside its argument affect horizontal changes.
A. क्षैतिज संपीड़न (3) गुना/Horizontal compression by factor (3)
Explanation
Simple Explanation
अंदर (3x) होने से ग्राफ (y)-अक्ष की ओर सिमटता है। अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन देता है। / Having (3x) inside shrinks the graph toward the (y)-axis. An inside multiplier gives a horizontal change.
A. क्षैतिज खिंचाव (2) गुना/Horizontal stretch by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
अंदर \(\frac{x}{2}\) होने से वही (f)-मान पाने के लिए (x) दुगुना चाहिए। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रूप से खिंचता है। / With \(\frac{x}{2}\) inside, (x) must double to get the same (f)-value. Hence the graph stretches horizontally.
A. y-अक्ष में परावर्तन और 2 इकाई ऊपर की ओर स्थानांतरण/Reflection in the y-axis followed by a translation 2 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(f(-x)\) में x के स्थान पर \(-x\) रखने से मूल ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तित होता है। इसके बाद बाहर जोड़ा गया \(+2\) प्रत्येक y-मान में 2 जोड़ता है, इसलिए ग्राफ 2 इकाई ऊपर खिसकता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में x-अक्ष का परावर्तन \(-f(x)\) से होता, जबकि दाईं ओर 2 इकाई स्थानांतरण के लिए \(f(x-2)\) चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अंदर का परिवर्तन क्षैतिज और बाहर का परिवर्तन ऊर्ध्वाधर होता है। / Replacing x by \(-x\) in \(f(-x)\) reflects the original graph in the y-axis. The outside term \(+2\) adds 2 to every y-value, so the graph then shifts 2 units upward. Therefore, option A is correct. Reflection in the x-axis would require \(-f(x)\), while a shift 2 units to the right would require \(f(x-2)\). Exam tip: changes inside the function affect the horizontal direction, whereas changes outside affect the vertical direction.
A. रेखा (y=2) के नीचे वाला भाग ऊपर/The part below (y=2) upward
Explanation
Simple Explanation
(|f(x)-2|) पहले (f(x)-2) को अऋणात्मक बनाता है। इसलिए (f(x)<2) वाला भाग रेखा (y=2) के सापेक्ष ऊपर मुड़ता है। / (|f(x)-2|) makes (f(x)-2) non-negative. Therefore the part with (f(x)<2) folds upward about the line (y=2).
(|x-1|) में (x=1) से समान दूरी वाले इनपुट समान होते हैं। इसलिए ग्राफ (x=1) के सापेक्ष सममित होता है। / In (|x-1|), inputs at equal distance from (x=1) become equal. Hence the graph is symmetric about (x=1).
