Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 491-500 of 510 questions.
The graph of (y=\frac{1}{(x+1)2}) is symmetric about which line?
A. (x=-1)
यह \(y=\frac{1}{x^2}\) का (1) इकाई बाईं ओर खिसका हुआ ग्राफ है। इसलिए सममिति अक्ष (x=-1) है। / It is the graph of \(y=\frac{1}{x^2}\) shifted (1) unit left. Therefore the axis of symmetry is (x=-1).
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What is the maximum value of \(y=\frac{1}{x^2+9}\)?
A. \(\frac{1}{9}\)
\(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। इसलिए \(\frac{1}{x^2+9}\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{9}\) है। / The minimum value of \(x^2+9\) is (9). Hence the maximum value of \(\frac{1}{x^2+9}\) is \(\frac{1}{9}\).
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Which symmetry does the graph of \(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\) have?
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममितिSymmetry about the origin
फलन का परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि \(x^2+1\neq 0\)। अब \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\)। अतः यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। y-अक्ष की सममिति के लिए \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) दिखे तो मूल बिंदु की सममिति चुनें। / The domain is all real numbers because \(x^2+1\neq 0\). Also, \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\). Therefore, the function is odd, so its graph is symmetric about the origin. It is not symmetric about the y-axis, since that would require \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: the condition \(f(-x)=-f(x)\) indicates symmetry about the origin.
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For the greatest integer function \(f(x)=\lfloor x\rfloor\), what is the value of \(f(-4)\)?
A. -4
महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\), \(x\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक होता है। चूँकि \(-4\) स्वयं एक पूर्णांक है, इसलिए \(\lfloor -4\rfloor=-4\) और अतः \(f(-4)=-4\)। विकल्प \(-5\) गलत है, क्योंकि वह \(-4\) से छोटा है; परीक्षा में याद रखें कि पूर्णांक के लिए उसका महत्तम पूर्णांक फलन मान वही पूर्णांक होता है। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). Since \(-4\) is itself an integer, \(\lfloor -4\rfloor=-4\), so \(f(-4)=-4\). The value \(-5\) is incorrect because it is less than \(-4\); in exams, remember that the greatest integer function of any integer is the integer itself.
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What is (g(-2.2)) for the ceiling function (g(x)=\lceil x \rceil)?
A. (-2)
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (-2.2) के लिए वह (-2) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (-2.2), it is (-2).
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For which values of \(x\) is the function \(f(x)=\operatorname{sgn}(x^2-4)\) equal to \(0\)?
A. \(\{-2,2\}\)
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान \(0\) तभी होता है जब \(t=0\) हो। इसलिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \((x-2)(x+2)=0\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। विकल्प C में \(\pm4\) लेना गलत है, क्योंकि \(4^2-4\neq0\)। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\) के लिए सीधे \(g(x)=0\) हल करें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(t)\) equals \(0\) only when \(t=0\). Hence, solve \(x^2-4=0\), or \((x-2)(x+2)=0\), giving \(x=2\) and \(x=-2\). Option C is incorrect because \(4^2-4\neq0\). Exam tip: To find where \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\), set the inner expression \(g(x)\) equal to zero.
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At which point does the graph of the function \(y=\max(x,3)\) have its corner?
A. \((3,3)\)
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(y=3\) जब \(x\leq 3\), और \(y=x\) जब \(x\geq 3\)। दोनों रेखाएँ \(x=3\) पर मिलती हैं और उस समय \(y=3\), इसलिए कोना \((3,3)\) पर है। \((0,3)\) उसी क्षैतिज भाग का बिंदु है, लेकिन वहाँ ढाल में परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\max(x,a)\) के ग्राफ का कोना सामान्यतः \((a,a)\) पर होता है। / The function can be written as \(y=3\) for \(x\leq 3\) and \(y=x\) for \(x\geq 3\). These two lines meet at \(x=3\), where \(y=3\), so the corner is at \((3,3)\). The point \((0,3)\) lies on the horizontal part but is not a point where the slope changes. Exam tip: the graph of \(\max(x,a)\) has its corner at \((a,a)\).
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At which point is the corner of the graph of \(y=\min(x,-3)\) located?
A. \((-3,-3)\)
जब \(x\leq -3\), तब \(y=x\); और जब \(x\geq -3\), तब \(y=-3\)। दोनों नियम \(x=-3\) पर मिलते हैं, जहाँ \(y=-3\) है। इसलिए कोना \((-3,-3)\) पर स्थित है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \((0,-3)\) क्षैतिज रेखा पर तो है, लेकिन वह नियम बदलने का बिंदु नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(y=x\) और \(y=-3\) का प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / For \(x\leq -3\), the minimum is \(x\), so \(y=x\); for \(x\geq -3\), the minimum is \(-3\), so \(y=-3\). These two rules meet at \(x=-3\), giving \(y=-3\). Hence the corner is \((-3,-3)\). Option D lies on the horizontal part of the graph but is not the point where the rule changes. Exam tip: find the intersection of \(y=x\) and \(y=-3\).
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For the function \(y=|x-2|+x\), which line represents its graph when \(x\ge 2\)?
A. \(y=2x-2\)
जब \(x\ge 2\), तब \(x-2\ge 0\), इसलिए \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x-2)+x=2x-2\), इसलिए सही रेखा \(y=2x-2\) है। विकल्प D केवल मॉड्यूलस वाले पद \(|x-2|\) को दर्शाता है और इसमें \(+x\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस के अंदर का व्यंजक धनात्मक या शून्य होने पर उसका मॉड्यूलस उसी व्यंजक के बराबर होता है। / When \(x\ge 2\), we have \(x-2\ge 0\), so \(|x-2|=x-2\). Therefore, \(y=(x-2)+x=2x-2\), making \(y=2x-2\) the correct line. Option D represents only the modulus term \(|x-2|\) and omits the added \(+x\). Exam tip: when the expression inside a modulus is non-negative, its modulus equals the expression itself.
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At which values of \(x\) do the graphs of \(y=x^2\) and \(y=3x+4\) intersect?
A. \(x\in\{-1,4\}\)
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों का \(y\)-मान समान होता है, इसलिए \(x^2=3x+4\)। इसे \(x^2-3x-4=0\) लिखकर गुणनखंड करने पर \((x-4)(x+1)=0\) मिलता है। अतः \(x=4\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=-1\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में दो ग्राफ़ों के प्रतिच्छेद के लिए पहले उनके \(y\)-व्यंजकों को बराबर रखें। / At an intersection point, both graphs have the same \(y\)-value, so set \(x^2=3x+4\). Rearranging and factoring gives \(x^2-3x-4=0\), or \((x-4)(x+1)=0\). Hence \(x=4\) or \(x=-1\), making option A correct. Option B results from taking the sign of the root \(-1\) incorrectly. Exam tip: to find intersections of two graphs, equate their \(y\)-expressions first.
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