Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(-x-2=-(x+2)) है। पहले (y)-अक्ष में परावर्तन और फिर क्षैतिज खिसकाव समझना आसान होता है। / (-x-2=-(x+2)). It is easier to read the graph as a reflection in the (y)-axis with a horizontal shift.
A. वे (x)-अक्ष के ऊपर परावर्तित होते हैं/They are reflected above the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मापांक बाहर होने से सभी (y)-मान अऋणात्मक हो जाते हैं। इसलिए (x)-अक्ष के नीचे वाला भाग ऊपर परावर्तित होता है। / With modulus outside, all (y)-values become non-negative. Hence the part below the (x)-axis reflects upward.
A. दाईं ओर का भाग (y)-अक्ष में परावर्तित होता है/The right-side part is reflected in the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(|x|) के कारण (x<0) पर भी (f) में धनात्मक इनपुट जाता है। इसलिए दाईं ओर का ग्राफ बाईं ओर परावर्तित होता है। / Because of (|x|), even for (x<0), the input to (f) is positive. Hence the right-side graph reflects to the left.
यह व्यंजक संख्या रेखा पर \(x\) की बिंदु \(-2\) और \(4\) से दूरियों का योग है। इन दोनों स्थिर बिंदुओं के बीच की दूरी \(|4-(-2)|=6\) है, इसलिए त्रिभुज असमता के अनुसार इसका न्यूनतम मान 6 होगा। वास्तव में \(-2\le x\le4\) के लिए यह योग 6 ही रहता है। परीक्षा टिप: \(|x-a|+|x-b|\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \(|a-b|\) होता है। / The expression represents the sum of the distances of the point \(x\) from the fixed points \(-2\) and \(4\) on the number line. The distance between these points is \(|4-(-2)|=6\), so by the triangle inequality the minimum sum is 6. In fact, the sum remains 6 for every \(x\) in the interval \([-2,4]\). Exam tip: The minimum value of \(|x-a|+|x-b|\) is generally \(|a-b|\).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\) है लेकिन (x=-4) डोमेन में नहीं है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में (x=-4) पर छिद्र बनता है। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\), but (x=-4) is not in the domain. Therefore the line-like graph has a hole at (x=-4).
यह (x) का भिन्नात्मक भाग देता है जो (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। इसलिए रेंज ([0,1)) है। / It gives the fractional part of (x), which starts at (0) and stays less than (1). Hence the range is ([0,1)).
\(4\le x\le 10\) पर योग ((x-4)+(10-x)=6) है। मापांक दूरी योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज होता है। / On \(4\le x\le 10\), the sum is ((x-4)+(10-x)=6). In a modulus distance sum the graph is horizontal between the two points.
A. यह \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित है और इसका परास \([0,\infty)\) है।/It is symmetric about the \(y\)-axis and has range \([0,\infty)\).
Explanation
Simple Explanation
\(f(-x)=|-x|=|x|\), इसलिए \(|x|\) एक सम फलन है और इसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। क्योंकि \(|x|\ge 0\), इसका परास \([0,\infty)\) है। \(x=0\) पर ढाल बदलती है, इसलिए यह एक सीधी रेखा नहीं है। परीक्षा टिप: सम फलन के लिए \(f(-x)=f(x)\) जाँचें। / Since \(f(-x)=|-x|=|x|\), \(|x|\) is an even function, so its graph is symmetric about the \(y\)-axis. Also, \(|x|\ge0\), giving range \([0,\infty)\). It is not one straight line because the slope changes at \(x=0\). Exam tip: test evenness using \(f(-x)=f(x)\).
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। इसलिए \(|2x+6|-4=0\), अर्थात् \(|2x+6|=4\)। अब \(2x+6=4\) से \(x=-1\) और \(2x+6=-4\) से \(x=-5\) मिलता है। अतः सही मान \(x=-5,-1\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले समीकरण \(|u|=a\) में हमेशा \(u=a\) और \(u=-a\) दोनों स्थितियाँ जाँचें। विकल्प B में मापांक समीकरण को सही ढंग से हल नहीं किया गया है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Hence \(|2x+6|-4=0\), so \(|2x+6|=4\). This gives two cases: \(2x+6=4\), yielding \(x=-1\), and \(2x+6=-4\), yielding \(x=-5\). Therefore, the correct values are \(x=-5,-1\). Exam tip: for an equation \(|u|=a\), always consider both \(u=a\) and \(u=-a\). Option B does not result from correctly solving the two cases.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(y=0\) होना आवश्यक है। अतः \(|x^2-1|=0\), और मापांक तभी शून्य होता है जब \(x^2-1=0\)। इसलिए \(x=\pm1\), जिससे बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) प्राप्त होते हैं। ध्यान दें कि ग्राफ इन बिंदुओं पर \(x\)-अक्ष को छूता है, उसे पार नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / For a point on the \(x\)-axis, \(y=0\). Thus, \(|x^2-1|=0\), which is possible only when \(x^2-1=0\). Hence \(x=\pm1\), giving the points \((-1,0)\) and \((1,0)\). The graph touches the \(x\)-axis at these points rather than crossing it. Exam tip: To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\).
