Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 461-470 of 510 questions.
What is (g(4.1)) for the function (g(x)=\lceil x \rceil)?
A. (5)
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (4.1) के लिए यह (5) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (4.1), it is (5).
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A. \(x=4\)
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(u)\) का मान \(u<0\) पर \(-1\) और \(u>0\) पर \(1\) होता है, इसलिए इसमें छलांग \(u=0\) पर आती है। यहाँ \(2x-8=0\), अतः \(x=4\)। वास्तव में \(x=4\) पर फलन का मान \(0\) है, जबकि बाएँ और दाएँ सीमाएँ क्रमशः \(-1\) और \(1\) हैं। परीक्षा टिप: साइनम ग्राफ की छलांग पाने के लिए उसके अंदर की अभिव्यक्ति को शून्य रखें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(u)\) equals \(-1\) for \(u<0\) and \(1\) for \(u>0\), so its jump occurs where \(u=0\). Here, \(2x-8=0\), giving \(x=4\). At \(x=4\), the function value is \(0\), while the left- and right-hand limits are \(-1\) and \(1\), respectively. Exam tip: To locate the jump of a signum function, set its inner expression equal to zero.
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For the function \(y=\min(x,4)\), what is the value of \(y\) when \(x>4\)?
A. \(y=4\)
\(\min(x,4)\) का अर्थ है \(x\) और \(4\) में से छोटा मान लेना। जब \(x>4\) होता है, तब छोटा मान हमेशा \(4\) होता है; इसलिए \(y=4\) और ग्राफ इस क्षेत्र में क्षैतिज रेखा होता है। विकल्प \(y=x\) केवल \(x\leq 4\) के लिए सही है। परीक्षा-युक्ति: \(\min\) फलन में प्रत्येक अंतराल पर दिए गए मानों में छोटे मान की पहचान करें। / The expression \(\min(x,4)\) selects the smaller of \(x\) and \(4\). When \(x>4\), the smaller value is always \(4\), so \(y=4\) and the graph is horizontal in this region. The option \(y=x\) is valid only for \(x\leq 4\). Exam tip: For a minimum function, compare the expressions separately on the relevant intervals.
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For the function \(y=|x-3|-(x-3)\), what is the value of \(y\) when \(x\ge 3\)?
A. 0
जब \(x\ge 3\), तब \(x-3\ge 0\), इसलिए \(|x-3|=x-3\)। अतः \(y=(x-3)-(x-3)=0\)। विकल्प B केवल तब बनता है जब मापांक को गलत रूप से \(|x-3|=-(x-3)\) लिया जाए। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x\ge 3\), we have \(x-3\ge 0\), so \(|x-3|=x-3\). Therefore, \(y=(x-3)-(x-3)=0\). Option B would result from incorrectly using \(|x-3|=-(x-3)\). Exam tip: For an absolute-value function, first determine the sign of the expression inside the modulus.
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Which of the following functions has a graph symmetric about the origin?
C. \(y=x^3\)
\(y=x^3\) एक विषम फलन है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)। इसलिए इसका ग्राफ़ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। \(y=x^2\) सम फलन है और y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। परीक्षा टिप: मूलबिंदु सममिति के लिए \(f(-x)=-f(x)\) जाँचें। / \(y=x^3\) is an odd function because \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\). Hence, its graph is symmetric about the origin. In contrast, \(y=x^2\) is even and is symmetric about the y-axis. Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) for origin symmetry.
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At which \(x\)-values do the graphs of \(y=|x+1|\) and \(y=5\) intersect?
A. \(x=-6\) और \(x=4\)
प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(|x+1|=5\)। अतः \(x+1=5\) या \(x+1=-5\), जिससे \(x=4\) या \(x=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। याद रखें: \(|u|=a\) के लिए, जहाँ \(a>0\), \(u=\pm a\) लिया जाता है। / At an intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(|x+1|=5\). Thus, \(x+1=5\) or \(x+1=-5\), giving \(x=4\) or \(x=-6\). Therefore, option A is correct. Exam tip: for \(|u|=a\) with \(a>0\), always consider both cases \(u=\pm a\).
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A. \(x=4\)
प्रतिच्छेद-बिंदु पर दोनों फलनों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(\sqrt{x}=x-2\)। वर्गमूल के कारण \(x\ge 0\), और दायाँ पक्ष गैर-ऋणात्मक होने के लिए \(x\ge 2\) आवश्यक है। समीकरण को वर्ग करने पर \(x=(x-2)^2\), अर्थात् \(x^2-5x+4=0\), जिससे \(x=1\) या \(x=4\) मिलता है। लेकिन \(x=1\), \(x\ge 2\) की शर्त पूरी नहीं करता और वर्ग करने से उत्पन्न बाह्य हल है। अतः सही मान \(x=4\) है; जाँच: \(\sqrt{4}=2=4-2\)। परीक्षा-टिप: वर्ग करने के बाद प्राप्त प्रत्येक हल को मूल समीकरण में अवश्य जाँचें। / At an intersection, the two functions have the same \(y\)-value, so \(\sqrt{x}=x-2\). Since the left side is non-negative, we must have \(x-2\ge 0\), hence \(x\ge 2\). Squaring gives \(x=(x-2)^2\), or \(x^2-5x+4=0\), whose roots are \(x=1\) and \(x=4\). However, \(x=1\) violates the condition \(x\ge 2\) and is an extraneous root introduced by squaring. Therefore, \(x=4\); checking gives \(\sqrt{4}=2=4-2\). Exam tip: Always substitute the roots back into the original equation after squaring.
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At which points do the graphs y=\frac{1}{x}\u0001 and y=x intersect?
A. \((1,1)\) और \((-1,-1)\)
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों ग्राफों के y-निर्देशांक समान होंगे, इसलिए \(\frac{1}{x}=x\), जहाँ \(x\neq 0\)। इससे \(x^2=1\), अतः \(x=1\) या \(x=-1\)। चूँकि \(y=x\), संबंधित बिंदु \((1,1)\) और \((-1,-1)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \((0,0)\) को न चुनें, क्योंकि \(\frac{1}{x}\) में \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है। / At an intersection point, the y-coordinates of both graphs are equal, so \(\frac{1}{x}=x\), with \(x\neq 0\). Thus \(x^2=1\), giving \(x=1\) or \(x=-1\). Since \(y=x\), the corresponding points are \((1,1)\) and \((-1,-1)\). Exam tip: Do not select \((0,0)\), because \(\frac{1}{x}\) is undefined at \(x=0\).
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How is the graph (y=f(x-3)+2) obtained from (y=f(x))?
A. (3) इकाई दाईं ओर और (2) इकाई ऊपर(3) units right and (2) units up
(x-3) क्षैतिज रूप से (3) इकाई दाईं ओर खिसकाता है। बाहर (+2) ग्राफ को (2) इकाई ऊपर ले जाता है। / The term (x-3) shifts the graph (3) units right horizontally. The outside (+2) moves it (2) units up.
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How is the graph of (y=-f(x)+4) obtained from the graph of (y=f(x))?
A. (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन और 4 इकाई ऊपर खिसकावReflection in the (x)-axis followed by a shift 4 units upward
यदि (y=f(x)) के प्रत्येक बिंदु ((x,y)) को पहले (x,-y) में बदला जाए, तो यह (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन है और इससे (y=-f(x)) मिलता है। इसके बाद (+4) जोड़ने पर सभी (y)-निर्देशांक 4 बढ़ जाते हैं, इसलिए ग्राफ 4 इकाई ऊपर खिसकता है। (y)-अक्ष में परावर्तन के लिए (f(-x)) चाहिए, न कि (-f(x))। परीक्षा-युक्ति: -f(x) ऊर्ध्वाधर परावर्तन और + c ऊर्ध्वाधर ऊपर खिसकाव दर्शाता है। / For every point ((x,y)) on (y=f(x)), replacing (y) by (-y) gives (x,-y), which is reflection in the (x)-axis and produces (y=-f(x)). Adding (4) then increases every (y)-coordinate by 4, shifting the graph 4 units upward. Reflection in the (y)-axis would require (f(-x)), not (-f(x)). Exam tip: -f(x) means reflection across the (x)-axis, while +c shifts the graph upward by (c) units.
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