Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\)/For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें प्रत्येक इनपुट की ठीक एक छवि होती है। सहप्रांत के हर अवयव का उपयोग होना जरूरी नहीं है। / A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=1) और (y=-1) दोनों संभव हैं। वृत्त जैसे संबंध अक्सर फलन-परीक्षा में अद्वितीयता तोड़ते हैं। / At (x=0), both (y=1) and (y=-1) are possible. Circle-like relations often break uniqueness in function tests.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+1}) से परिभाषित करना हो तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
हर कभी शून्य न हो, इसके लिए द्विघात \(x^2+ax+1\) की विविक्तिका \(a^2-4<0\) चाहिए। इसलिए (|a|<2) है। / The denominator must never be zero, so the discriminant of \(x^2+ax+1\) must satisfy \(a^2-4<0\). Hence (|a|<2).
A. \(R\), \(A\) से \(B\) में एक फलन है, लेकिन आच्छादी फलन नहीं है।/\(R\) is a function from \(A\) to \(B\), but it is not onto.
Explanation
Simple Explanation
\(A\) के प्रत्येक तत्व 1, 2 और 3 का ठीक एक प्रतिबिंब क्रमशः \(a,b,a\) है, इसलिए \(R\) फलन है। परंतु \(c\) किसी तत्व का प्रतिबिंब नहीं है, अतः यह आच्छादी नहीं है। परीक्षा टिप: फलन जाँचते समय पहले प्रत्येक input का केवल एक output देखें। / Each element of \(A\)—1, 2 and 3—has exactly one image, namely \(a,b,a\), so \(R\) is a function. However, \(c\) has no preimage, so it is not onto. Exam tip: first check that every input has exactly one output; repeated outputs are allowed.
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Explanation
Simple Explanation
यह फलन प्रत्येक मान को अद्वितीय रूप से बदलता है और फिर वही नियम वापस देता है। इसलिए उल्टा संबंध भी फलन है। / This function pairs values uniquely and the same rule reverses them. Hence the inverse relation is also a function.
(x-2+2x+5=(x+1)2+4) है, इसलिए न्यूनतम मान (4) है। वर्ग पूरा करना परिसर के लिए उपयोगी है। / Since (x-2+2x+5=(x+1)2+4), the minimum value is (4). Completing the square is useful for range.
हर \(n\in\mathbb{N}\) के लिए \(n^2+n+1\) प्राकृतिक संख्या है। अन्य नियम सभी प्राकृतिक (n) पर प्राकृतिक मान नहीं देते। / For every \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2+n+1\) is a natural number. The other rules do not give natural values for all natural (n).
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (1) और (3) हैं/Because (x=1) has images (1) and (3)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) पर (y=1) और (y=3) दोनों से योग सम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते। / For (x=1), both (y=1) and (y=3) make the sum even. Multiple outputs for one input do not define a function.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x-1) है और (x=-1) हटने से मान (-2) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे इनपुट का आउटपुट हटाएं। / On the given domain (f(x)=x-1), and removing (x=-1) removes the value (-2). After simplification remove the output of the excluded input.
A. जब हर प्रथम घटक (1,2,3) ठीक एक बार आए/When each first component (1,2,3) appears exactly once
Explanation
Simple Explanation
ठीक (3) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के तीनों अवयवों की एक-एक छवि होनी चाहिए। द्वितीय घटकों का दोहराव मान्य है। / With exactly (3) pairs, a function needs one image for each of the three elements of (A). Repetition of second components is allowed.
