Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(1)=f(2)) के लिए (3) विकल्प और (f(3)\ne f(4)) के लिए \(3\cdot2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3\cdot2=18\) हैं। / There are (3) choices for (f(1)=f(2)) and \(3\cdot2\) choices for (f(3)\ne f(4)). Total is \(3\cdot3\cdot2=18\).
संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x+1,\ x\in X,\ y\in Y\}\), जहाँ \(X=\{0,3,8\}\) और \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\), को \(X\) से \(Y\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है, क्योंकि \(0\) की दो छवियां हैं/It is not a function because \(0\) has two images
Explanation
Simple Explanation
\(x=0\) रखने पर \(y^2=1\), इसलिए \(y=1\) और \(y=-1\) दोनों प्राप्त होते हैं। अतः संबंध में \((0,1)\) और \((0,-1)\) दोनों सम्मिलित हैं। किसी फलन में प्रत्येक अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए; इसलिए यह फलन नहीं है। इसी प्रकार \(x=3\) के लिए \(y=\pm2\) और \(x=8\) के लिए \(y=\pm3\) मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध को फलन जाँचने के लिए देखें कि डोमेन के किसी भी एक अवयव से दो अलग-अलग मान संबद्ध तो नहीं हैं। / For \(x=0\), the equation gives \(y^2=1\), so both \(y=1\) and \(y=-1\) are obtained. Thus, the relation contains both \((0,1)\) and \((0,-1)\). A function must assign exactly one image to each element of its domain, so this relation is not a function. Likewise, \(x=3\) gives \(y=\pm2\), and \(x=8\) gives \(y=\pm3\). Exam tip: to test a relation for being a function, check whether any one domain element is paired with two different elements of the codomain.
\(ax^2+4\) सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए अऋण तभी रहता है जब \(a\ge0\) हो। मूल वाले फलन में भीतर की राशि अऋण चाहिए। / The expression \(ax^2+4\) stays non-negative for all \(x\in\mathbb{R}\) only when \(a\ge0\). In square-root functions the radicand must be non-negative.
B. यह फलन है क्योंकि (n(n+1)) हमेशा सम होता है/It is a function because (n(n+1)) is always even
Explanation
Simple Explanation
लगातार दो पूर्णांकों (n) और (n+1) में से एक सम होता है। इसलिए \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\) है। / Among consecutive integers (n) and (n+1), one is even. So \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\).
A. यह फलन है और परिसर ({1,2,3,6}) है/It is a function and range is ({1,2,3,6})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए \(y=\frac{6}{x}\) अद्वितीय है और दिए गए समुच्चय में है। सीमित समुच्चय में प्रत्येक इनपुट की छवि अलग से जांचें। / For each (x), \(y=\frac{6}{x}\) is unique and lies in the given set. In finite sets check the image of every input separately.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=2) हटने से मान (4) नहीं मिलता। हटे हुए बिंदु का प्रभाव परिसर पर देखें। / On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=2) removes the value (4). Check how a removed point affects the range.
\(f(1),f(2),f(3)\) को \(B\) के तीनों अवयवों में सख्ती से बढ़ते क्रम में होना चाहिए। इसलिए एकमात्र संभव क्रम \((0,1,2)\) है, अर्थात \(f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2\)। अतः केवल 1 फलन बनता है। परीक्षा-युक्ति: तीन अवयवों वाले समुच्चय से तीन अलग-अलग मानों का सख्त बढ़ता क्रम माँगा जाए, तो क्रम स्वतः निर्धारित हो जाता है। / The values \(f(1),f(2),f(3)\) must be in strictly increasing order and must belong to \(B\). Since \(B\) has exactly the three elements \(0,1,2\), the only possible ordered triple is \((0,1,2)\). Thus \(f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2\), giving exactly one function. Exam tip: when all elements of a three-element codomain must appear in strictly increasing order, their assignment is forced.
विकल्प (C) में (3) की दो छवियां (a) और (c) हैं। फलन के लिए पूर्णता के साथ अद्वितीयता भी जरूरी है। / In option (C), (3) has two images (a) and (c). A function requires both existence and uniqueness.
\(x\in[1,3]\) पर मान (2) है और (x=-1) पर अधिकतम (4) मिलता है। खंडों में मापांक खोलकर परिसर निकालें। / For \(x\in[1,3]\), the value is (2), and the maximum (4) occurs at (x=-1). Open moduli in intervals to find range.
रिक्त प्रांत से रिक्त सहप्रांत में भी एक खाली फलन होता है। इसे सूत्र \(0^0=1\) की फलन-संदर्भ व्याख्या से याद रखें। / From an empty domain to an empty codomain, there is one empty function. Remember this as the function-context meaning of \(0^0=1\).
