Topic Quiz • 144 questions • 30 seconds per question.
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What is the simplified value of \( \frac{8!}{6!} \)?
A. (56)
\(8!=8\cdot7\cdot6!\), इसलिए मान (56) है। परीक्षा में समान फैक्टोरियल भाग पहले काटें। / Since \(8!=8\cdot7\cdot6!\), the value is (56). In exams, cancel the common factorial part first.
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Find the value of \( \frac{11!}{9!\cdot2!} \).
B. (55)
\(11!=11\cdot10\cdot9!\) और \(2!=2\), इसलिए मान (55) है। पहले विस्तार करके फिर कटौती करें। / \(11!=11\cdot10\cdot9!\) and \(2!=2\), so the value is (55). Expand first and then cancel.
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If \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=42 \), what is the positive value of (n)?
B. 6
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\) होने से \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) होगा। अतः \(n(n+1)=42\), यानी \(n^2+n-42=0\)। इसका धनात्मक हल \(n=6\) है, क्योंकि \(6\times7=42\)। विकल्प 7 सही नहीं है, क्योंकि \(7\times8=56\) होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर क्रमागत गुणनफल लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Hence, \(n(n+1)=42\), or \(n^2+n-42=0\). The positive solution is \(n=6\), because \(6\times7=42\). Option 7 is not correct because it gives \(7\times8=56\). Exam tip: In factorial ratios, first cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
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What is the simplified value of \( \frac{7!+6!}{6!} \)?
C. 8
क्योंकि \(7!=7\times6!\), इसलिए \(\frac{7!+6!}{6!}=\frac{7\times6!+6!}{6!}=\frac{8\times6!}{6!}=8\)। विकल्प 7 केवल \(7!/6!\) का मान है; उसमें \(6!\) वाला अतिरिक्त पद शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के योग में पहले छोटे फैक्टोरियल को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7!+6!}{6!}=\frac{7\times6!+6!}{6!}=\frac{8\times6!}{6!}=8\). Option 7 is only the value of \(7!/6!\); it ignores the additional \(6!\) term. Exam tip: in a sum of factorial terms, first factor out the smaller common factorial.
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What is the value of \( \frac{12!}{10!\cdot3!} \)?
A. (22)
\(12!=12\cdot11\cdot10!\) और (3!=6), इसलिए मान (22) है। हर में मौजूद फैक्टोरियल को पहले काटें। / \(12!=12\cdot11\cdot10!\) and (3!=6), so the value is (22). Cancel the denominator factorial first.
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If \( \frac{n!}{(n-2)!}=90 \), what is the value of (n)?
C. 10
\((n-2)!\) को काटने पर \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) मिलता है। अतः \(n(n-1)=90\)। 90 को दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(10\times9\) लिखा जा सकता है, इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(9\times8=72\) होगा, 90 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को रद्द करें। / Cancelling \((n-2)!\) gives \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Hence, \(n(n-1)=90\). Since \(90=10\times9\), the required consecutive positive integers are 10 and 9, so \(n=10\). For option 9, the product would be \(9\times8=72\), not 90. Exam tip: In such questions, expand the factorial first and cancel the common factorial terms.
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What is the value of \( \frac{9!}{5!\cdot4!} \)?
A. (126)
(9!) को \(9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!\) लिखकर (4!) से भाग देने पर (126) मिलता है। यह संयोजन में आने वाला सामान्य रूप है। / Writing (9!) as \(9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!\) and dividing by (4!) gives (126). This is a common form in combinations.
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What is ( \frac{(n+3)!}{(n+1)!} ) equal to?
B. ( (n+3)(n+2) )
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए उत्तर ((n+3)(n+2)) है। बड़ी फैक्टोरियल को छोटी फैक्टोरियल तक फैलाएं। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so the answer is ((n+3)(n+2)). Expand the larger factorial up to the smaller one.
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Find the value of \( \frac{15!}{13!\cdot2} \).
A. (105)
\(15!=15\cdot14\cdot13!\), इसलिए \( \frac{15\cdot14}{2}=105 \) है। पहले सामान्य भाग हटाएं। / \(15!=15\cdot14\cdot13!\), so \( \frac{15\cdot14}{2}=105 \). Remove the common part first.
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What is the simplified value of \( \frac{6!\cdot5!}{7!\cdot4!} \)?
A. \( \frac{5}{7} \)
(6!) और \(5!=5\cdot4!\) रखने पर मान \( \frac{5}{7} \) आता है। गुणन में छोटे फैक्टोरियल काटना आसान होता है। / Using (6!) and \(5!=5\cdot4!\), the value becomes \( \frac{5}{7} \). In products, cancel smaller factorials carefully.
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What is the value of \( \frac{13!-12!}{11!} \)?
A. (144)
(13!-12!=12!(13-1)=12\cdot12!), इसलिए मान (144) है। घटाव में सामान्य फैक्टर जरूर निकालें। / (13!-12!=12!(13-1)=12\cdot12!), so the value is (144). Always take a common factor in subtraction.
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What is the value of \( \frac{8!}{3!\cdot5!}+\frac{7!}{2!\cdot5!} \)?
C. (91)
पहला पद (56) और दूसरा पद (35) है, इसलिए योग (91) है। मिश्रित अभिव्यक्ति में प्रत्येक पद अलग सरल करें। / The first term is (56) and the second term is (35), so the sum is (91). Simplify each term separately in mixed expressions.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!} \)?
B. \((n+4)(n+3)\)
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\)। अतः \((n+2)!\) से भाग देने पर यह गुणनखंड कट जाता है और \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+2)\) एक अतिरिक्त, गलत गुणनखंड है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक लिखकर समान भाग को काटें। / Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\), dividing by \((n+2)!\) cancels the common factorial and gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Option A incorrectly retains an extra factor \((n+2)\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel the common part.
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If \( \frac{(n+3)!}{(n+1)!}=72 \), what will be the value of (n)?
B. 6
\((n+3)!\) और \((n+1)!\) में \((n+1)!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। अतः \((n+3)(n+2)=72\)। 72 के क्रमागत गुणनखंड \(8\) और \(9\) हैं, इसलिए \(n+2=8\) तथा \(n=6\)। विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(9\times10=90\) होगा, 72 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / On cancelling \((n+1)!\) from \((n+3)!\), we get \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, \((n+3)(n+2)=72\). The consecutive factors of 72 are \(8\) and \(9\), so \(n+2=8\) and \(n=6\). For option 7, the product would be \(9\times10=90\), not 72. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller one and cancel common factors.
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What is the value of \( \frac{14!}{12!\cdot2!}-\frac{13!}{11!\cdot2!} \)?
A. (13)
पहला मान (91) और दूसरा (78) है, इसलिए अंतर (13) है। समान प्रकार के पदों को अलग-अलग निकालें। / The first value is (91) and the second is (78), so the difference is (13). Evaluate similar terms separately.
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What is the value of \( \frac{9!}{6!\cdot3!}\cdot\frac{3!}{2!} \)?
C. (252)
पहला भाग (84) है और दूसरा भाग (3), इसलिए गुणनफल (252) है। कटौती से पहले संरचना को ध्यान से देखें। / The first part is (84) and the second part is (3), so the product is (252). Observe the structure carefully before canceling.
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What is ( \frac{(2n)!}{(2n-2)!} ) equal to?
B. (2n(2n-1))
((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!), इसलिए उत्तर (2n(2n-1)) है। सूचक में भी वही फैक्टोरियल नियम लगाएं। / ((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!), so the answer is (2n(2n-1)). Apply the same factorial rule to indexed terms.
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If \( \frac{(2n)!}{(2n-2)!}=132 \), what is the value of (n)?
B. (6)
\(2n(2n-1)=132\) और \(12\cdot11=132\), इसलिए \(n=6\) है। पहले ((2n)) को एक संख्या की तरह मानें। / \(2n(2n-1)=132\) and \(12\cdot11=132\), so \(n=6\). Treat ((2n)) as one number first.
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What is the value of \( \frac{10!}{7!}-\frac{9!}{6!} \)?
B. (288)
पहला मान \(10\cdot9\cdot8=720\) और दूसरा \(9\cdot8\cdot7=504\), अंतर (216) नहीं बल्कि (216) होगा; सही गणना से (720-504=216) है। / The first value is \(10\cdot9\cdot8=720\) and the second is \(9\cdot8\cdot7=504\), so (720-504=216). Check subtraction carefully after expansion.
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What is the value of \( \frac{5!+4!+3!}{3!} \)?
C. (25)
\(5!=20\cdot3!\), \(4!=4\cdot3!\) और \(3!=1\cdot3!\), इसलिए कुल (25) है। हर पद को समान फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / \(5!=20\cdot3!\), \(4!=4\cdot3!\), and \(3!=1\cdot3!\), so the total is (25). Write every term in the same factorial form.
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If ( \frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}=49 ), what is the value of (n)?
C. (7)
पिछले रूप से अभिव्यक्ति \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=49\) और (n=7)। पहले बीजीय रूप सरल करें। / From the simplified form, the expression is \(n^2\), so \(n^2=49\) and (n=7). Simplify the algebraic form first.
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What is the value of \( \frac{16!}{14!\cdot2!} \div \frac{15!}{13!\cdot2!} \)?
A. \( \frac{8}{7} \)
पहला मान (120) और दूसरा (105), इसलिए अनुपात \( \frac{8}{7} \) है। भाग को अनुपात की तरह हल करें। / The first value is (120) and the second is (105), so the ratio is \( \frac{8}{7} \). Solve division as a ratio.
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What is the value of \( \frac{7!}{4!}+\frac{6!}{3!} \)?
B. (780)
पहला मान (210) और दूसरा (120), इसलिए योग (330) है; दिए विकल्पों में सही मान (330) नहीं है। ऐसी स्थिति में प्रश्न या विकल्प त्रुटिपूर्ण होंगे। / The first value is (210) and the second is (120), so the sum is (330); the correct value is not in the options. In such a case, the question or options are incorrect.
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What is the value of \( \frac{11!}{8!}-\frac{10!}{7!} \)?
C. (360)
\(11\cdot10\cdot9=990\) और \(10\cdot9\cdot8=720\), इसलिए अंतर (270) है। लगातार तीन गुणकों का विस्तार करें। / \(11\cdot10\cdot9=990\) and \(10\cdot9\cdot8=720\), so the difference is (270). Expand three consecutive factors.
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If \( \frac{(n+5)!}{(n+3)!}=132 \), what is the value of (n)?
B. 7
\(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}\) में \((n+3)!\) कटने पर \((n+5)(n+4)=132\) मिलता है। 132 के क्रमागत गुणनखंड \(11\) और \(12\) हैं, इसलिए \(n+4=11\) तथा \(n=7\)। उदाहरण के लिए, \(n=6\) रखने पर गुणनफल \(11\times10=110\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / On cancelling \((n+3)!\) from \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}\), we get \((n+5)(n+4)=132\). The consecutive factors of 132 are \(11\) and \(12\), so \(n+4=11\) and hence \(n=7\). For instance, if \(n=6\), the product is \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
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What is the difference between \( \frac{20!}{18!\cdot2!} \) and \( \frac{19!}{17!\cdot2!} \)?
B. (19)
मान (190) और (171) हैं, इसलिए अंतर (19) है। निकट पदों में अंतर अक्सर जल्दी निकलता है। / The values are (190) and (171), so the difference is (19). For nearby terms, the difference often comes quickly.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!} \)?
A. (495)
\( \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495 \) है। बड़े गुणनफल को चरणों में छोटा करें। / \( \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495 \). Reduce the large product step by step.
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What is the value of \( \frac{9!}{4!\cdot5!}+\frac{9!}{3!\cdot6!} \)?
A. (168)
दोनों पद क्रमशः (126) और (84) हैं, इसलिए योग (210) है; सही विकल्प (210) होना चाहिए। विकल्प मिलान करते समय गणना जरूर जांचें। / The two terms are (126) and (84), so the sum is (210); the correct option should be (210). Always verify the option after calculation.
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What is ( \frac{(n+2)!}{(n-1)!} ) equal to?
A. (n(n+1)(n+2))
((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!), इसलिए तीन गुणक बचते हैं। हर तक विस्तार करना न भूलें। / ((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!), so three factors remain. Do not forget to expand down to the denominator.
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What is the value of \( \frac{8!}{5!} \div 3! \)?
C. 56
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। अब \(3!=6\), अतः \(336\div6=56\)। विकल्प 336 केवल \(\frac{8!}{5!}\) का मान है; इसमें \(3!\) से भाग देना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels. Now \(3!=6\), so \(336\div6=56\). Option 336 is only the value of \(\frac{8!}{5!}\); it does not include division by \(3!\). Exam tip: expand factorials and cancel common factorial terms first.
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What is the simplified value of \( \frac{6!}{3!} \times \frac{4!}{5!} \)?
A. (24)
\( \frac{6!}{3!}=120 \) और \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \), इसलिए मान (24) है। उलटे फैक्टोरियल अनुपात में सावधानी रखें। / \( \frac{6!}{3!}=120 \) and \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \), so the value is (24). Be careful with reversed factorial ratios.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+1)!}{(n-2)!} \)?
A. \((n+1)n(n-1)\)
\((n+1)!\) को \((n-2)!\) तक विस्तृत करने पर \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)!\) मिलता है। अतः \((n-2)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \((n-2)\) अतिरिक्त है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को हर में दिए गए फैक्टोरियल तक ही विस्तृत करें, फिर समान पदों को काटें। / Expanding \((n+1)!\) up to \((n-2)!\) gives \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)!\). Cancelling \((n-2)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Option B incorrectly retains an extra factor \((n-2)\). Exam tip: expand the numerator factorial only until the denominator factorial appears, then cancel common factors.
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If \( \frac{(n+1)!}{(n-2)!}=504 \), what is the value of (n)?
B. (8)
\((n+1)n(n-1)=504\) और \(9\cdot8\cdot7=504\), इसलिए \(n=8\) है। मध्य संख्या (n) को पहचानें। / \((n+1)n(n-1)=504\) and \(9\cdot8\cdot7=504\), so \(n=8\). Identify the middle number as (n).
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What is the sum of \( \frac{10!}{4!\cdot6!} \) and \( \frac{10!}{3!\cdot7!} \)?
B. (330)
दोनों पद (210) और (120) हैं, इसलिए योग (330) है। हर पद को अलग संयोजन रूप में पहचानें। / The two terms are (210) and (120), so the sum is (330). Identify each term separately in combination form.
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What is the value of \( \frac{18!}{16!\cdot2!} \times \frac{2}{17} \)?
A. 18
\(18! = 18\times17\times16!\) होने पर \(\frac{18!}{16!\cdot2!}=\frac{18\times17}{2}=153\) मिलता है। अतः \(153\times\frac{2}{17}=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। 17 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जो अंतिम गुणन \(\frac{2}{17}\) को सही ढंग से सरल न करने पर होती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(18! = 18\times17\times16!\), we get \(\frac{18!}{16!\cdot2!}=\frac{18\times17}{2}=153\). Therefore, \(153\times\frac{2}{17}=18\). Hence, the correct answer is 18. Getting 17 is a common error caused by not simplifying the final factor \(\frac{2}{17}\) correctly. Exam tip: In factorial questions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
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What is the simplified value of \( \frac{13!}{10!} \div \frac{12!}{10!} \)?
D. (13)
सामान्य (10!) कटने पर अनुपात \( \frac{13!}{12!}=13 \) मिलता है। भाग में दूसरी भिन्न को उलटकर भी जांच सकते हैं। / After canceling common (10!), the ratio becomes \( \frac{13!}{12!}=13 \). You can also check by inverting the second fraction.
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If ( \frac{(n+4)!}{(n+1)!}=990 ), what is the value of (n)?
C. (8)
((n+4)(n+3)(n+2)=990) और \(12\cdot11\cdot10=1320\) नहीं; \(11\cdot10\cdot9=990\), इसलिए (n=7) है। / ((n+4)(n+3)(n+2)=990), and \(11\cdot10\cdot9=990\), so (n=7). Match the three consecutive factors carefully.
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What is the value of \( \frac{12!}{9!}-3\cdot\frac{11!}{8!} \)?
A. (132)
पहला भाग (1320) और दूसरा \(3\cdot990=2970\) नहीं; सही दूसरा \(3\cdot990\) है, अतः मान ऋणात्मक होगा और विकल्प त्रुटिपूर्ण हैं। / The first part is (1320), and the second is \(3\cdot990=2970\), so the value is negative and the options are incorrect. Always check signs and multipliers.
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What is the value of \( \frac{15!}{12!} \div \frac{5!}{2!} \)?
A. (91)
\( \frac{15!}{12!}=15\cdot14\cdot13 \) और \( \frac{5!}{2!}=60 \), इसलिए मान (45.5) नहीं बल्कि (45.5) है; विकल्प त्रुटिपूर्ण हैं। / \( \frac{15!}{12!}=15\cdot14\cdot13 \) and \( \frac{5!}{2!}=60 \), so the value is (45.5); the options are incorrect. Do not force-fit an answer.
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What is the value of \( \frac{7!}{2!\cdot5!}+\frac{8!}{2!\cdot6!} \)?
B. (49)
पहला पद (21) और दूसरा (28), इसलिए योग (49) है। छोटे संयोजन मानों को तेज़ी से पहचानें। / The first term is (21) and the second is (28), so the sum is (49). Recognize small combination values quickly.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!} )?
D. (3(n+1)(n+2))
पहला पद ((n+3)(n+2)(n+1)) और दूसरा (n(n+1)(n+2)) है, इसलिए अंतर (3(n+1)(n+2)) है। समान गुणकों को बाहर निकालें। / The first term is ((n+3)(n+2)(n+1)) and the second is (n(n+1)(n+2)), so the difference is (3(n+1)(n+2)). Take common factors out.
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If ( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=216 ), what is the value of (n)?
A. (6)
सरल रूप (3(n+1)(n+2)) है, इसलिए ((n+1)(n+2)=72) और (n=7) होगा; सही विकल्प (7) है। पहले रूप निकालकर विकल्प मिलाएं। / The simplified form is (3(n+1)(n+2)), so ((n+1)(n+2)=72) and (n=7); the correct option is (7). First simplify and then match options.
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What is the value of \( \frac{11!+10!}{9!} \)?
C. (120)
\(11!=11\cdot10\cdot9!\) और \(10!=10\cdot9!\), इसलिए मान (120) है। जोड़ में सामान्य फैक्टोरियल निकालना तेज तरीका है। / \(11!=11\cdot10\cdot9!\) and \(10!=10\cdot9!\), so the value is (120). Taking the common factorial in addition is a quick method.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!}{n!}-\frac{(n+1)!}{(n-1)!} )?
A. (2(n+1))
पहला पद ((n+2)(n+1)) और दूसरा (n(n+1)) है, इसलिए अंतर (2(n+1)) है। समान गुणक बाहर निकालें। / The first term is ((n+2)(n+1)) and the second is (n(n+1)), so the difference is (2(n+1)). Take the common factor out.
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If \( \frac{(n+2)!}{n!}-\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=18 \), what is the value of (n)?
B. 8
\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\)। अतः अंतर \((n+1)[(n+2)-n]=2(n+1)\) होगा। इसलिए \(2(n+1)=18\), जिससे \(n+1=9\) और \(n=8\) मिलता है। विकल्प 9 तब आता यदि \(n+1\) को ही \(n\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Hence, their difference is \((n+1)[(n+2)-n]=2(n+1)\). So \(2(n+1)=18\), giving \(n+1=9\) and therefore \(n=8\). Option 9 results from incorrectly taking \(n+1\) itself as \(n\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first and then expand the remaining factors.
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What is the value of \( \frac{14!}{11!\cdot3!}\cdot\frac{3}{13} \)?
A. (28)
पहला भाग (364) है और \(364\cdot\frac{3}{13}=84\) नहीं, सही कटौती से \( \frac{14\cdot13\cdot12}{6}\cdot\frac{3}{13}=84 \) मिलता है। गणना में हर कटौती को साफ लिखें। / The first part is (364), and \(364\cdot\frac{3}{13}=84\). Write each cancellation clearly during calculation.
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What is the simplified value of \( \frac{9!\cdot4!}{7!\cdot6!} \)?
B. \( \frac{12}{5} \)
\( \frac{9!}{7!}=72 \) और \( \frac{4!}{6!}=\frac{1}{30} \), इसलिए मान \( \frac{12}{5} \) है। बड़े गुणन को छोटे अनुपातों में तोड़ें। / \( \frac{9!}{7!}=72 \) and \( \frac{4!}{6!}=\frac{1}{30} \), so the value is \( \frac{12}{5} \). Break large products into smaller ratios.
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What is ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!} ) equal to?
B. ( (2n+1)(2n) )
((2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!), इसलिए उत्तर ((2n+1)(2n)) है। सूचक वाले फैक्टोरियल में भी क्रम न छोड़ें। / ((2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!), so the answer is ((2n+1)(2n)). Do not skip the order in indexed factorials.
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If ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}=210 ), what is the value of (n)?
B. (7)
((2n+1)(2n)=210) और \(15\cdot14=210\), इसलिए (2n=14) और (n=7)। पहले लगातार गुणकों को पहचानें। / ((2n+1)(2n)=210) and \(15\cdot14=210\), so (2n=14) and (n=7). Identify the consecutive factors first.
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What is the value of \(\frac{10!}{6!\cdot4!}-\frac{9!}{6!\cdot3!}\)?
B. (84)
पहला पद (210) और दूसरा (84), इसलिए अंतर (126) है; सही विकल्प (126) होना चाहिए। विकल्प चुनने से पहले अंतिम घटाव जांचें। / The first term is (210) and the second is (84), so the difference is (126); the correct option should be (126). Check the final subtraction before choosing an option.
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What is the value of \( \frac{12!}{9!} \)?
C. (1320)
(12!) को \(12\cdot11\cdot10\cdot9!\) लिखने पर मान (1320) मिलता है। परीक्षा में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाएं। / Writing (12!) as \(12\cdot11\cdot10\cdot9!\) gives (1320). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the simplified value of \( \frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
B. (120)
(10!) को \(10\cdot9\cdot8\cdot7!\) लिखकर (3!) से भाग देने पर (120) मिलता है। समान फैक्टोरियल पहले काटें। / Writing (10!) as \(10\cdot9\cdot8\cdot7!\) and dividing by (3!) gives (120). Cancel common factorials first.
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Find the value of \( \frac{8!-7!}{6!} \).
D. (49)
(8!-7!=7!(8-1)) और \( \frac{7!}{6!}=7 \), इसलिए मान (49) है। घटाव में सामान्य फैक्टर निकालें। / (8!-7!=7!(8-1)) and \( \frac{7!}{6!}=7 \), so the value is (49). Take the common factor in subtraction.
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If ( \frac{(n+2)!}{n!}=90 ), what is the value of (n)?
A. (8)
यह ((n+2)(n+1)=90) देता है और \(10\cdot9=90\), इसलिए (n=8)। लगातार गुणकों को पहचानना तेज तरीका है। / It gives ((n+2)(n+1)=90), and \(10\cdot9=90\), so (n=8). Recognizing consecutive factors is a quick method.
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If ( \frac{n!}{(n-3)!}=336 ), what is the positive value of (n)?
C. (8)
यह (n(n-1)(n-2)=336) है और \(8\cdot7\cdot6=336\)। ऐसे प्रश्नों में तीन लगातार घटते गुणक देखें। / It is (n(n-1)(n-2)=336), and \(8\cdot7\cdot6=336\). In such questions, look for three consecutive decreasing factors.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!+(n+1)!}{n!} )?
B. ( (n+1)(n+3) )
दोनों पदों में ((n+1)!) सामान्य है, इसलिए सरल रूप ((n+1)(n+3)) है। पहले सामान्य फैक्टोरियल बाहर निकालें। / ((n+1)!) is common in both terms, so the simplified form is ((n+1)(n+3)). Take the common factorial out first.
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If \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!}=49 \), what will be the value of (n)?
D. (5)
अभिव्यक्ति \((n+2)^2\) बनती है, इसलिए \((n+2)^2=49\) और \(n=5\)। पहले घटाव को सरल करें। / The expression becomes \((n+2)^2\), so \((n+2)^2=49\) and \(n=5\). Simplify the subtraction first.
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What is the simplified value of \( \frac{14!}{11!}\div\frac{7!}{4!} \)?
A. \( \frac{52}{5} \)
मान \( \frac{14\cdot13\cdot12}{7\cdot6\cdot5}=\frac{52}{5} \) है। भाग में दोनों फैक्टोरियल अनुपात अलग-अलग फैलाएं। / The value is \( \frac{14\cdot13\cdot12}{7\cdot6\cdot5}=\frac{52}{5} \). In division, expand both factorial ratios separately.
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What is the value of \( \frac{9!}{6!\cdot2!} \)?
C. 252
\(9!=9\times8\times7\times6!\) होने से \(\frac{9!}{6!\cdot2!}=\frac{9\times8\times7}{2}=252\)। अतः सही उत्तर 252 है। 336 प्राप्त करना एक सामान्य त्रुटि है, जो \(2!\) से भाग न देने पर आता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(9!=9\times8\times7\times6!\), \(\frac{9!}{6!\cdot2!}=\frac{9\times8\times7}{2}=252\). Therefore, 252 is correct. The value 336 is a common error obtained by not dividing by \(2!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial term first and then multiply the remaining factors.
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What is ( \frac{(2n+2)!}{(2n)!} ) equal to?
B. ( (2n+2)(2n+1) )
((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!), इसलिए उत्तर ((2n+2)(2n+1)) है। सूचक वाले फैक्टोरियल में क्रम न छोड़ें। / ((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!), so the answer is ((2n+2)(2n+1)). Do not skip the order in indexed factorials.
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If ( \frac{(2n+2)!}{(2n)!}=132 ), what is the value of (n)?
D. (5)
यह ((2n+2)(2n+1)=132) देता है और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=5)। पहले लगातार गुणकों को मिलाएं। / It gives ((2n+2)(2n+1)=132), and \(12\cdot11=132\), so (n=5). Match the consecutive factors first.
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What is the simplified form of ( \frac{m!}{(m-2)!(m-1)} )?
A. (m)
(m!=m(m-1)(m-2)!), इसलिए काटने पर (m) बचता है। फैक्टोरियल को ठीक उसी सीमा तक फैलाएं। / (m!=m(m-1)(m-2)!), so (m) remains after cancellation. Expand the factorial exactly up to the needed limit.
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If \( \frac{n!}{(n-2)!}=9n \), what is the positive value of (n)?
B. 10
क्योंकि \(n! = n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। अतः \(n(n-1)=9n\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\geq2\) है, इसलिए \(n\) से भाग देने पर \(n-1=9\) मिलता है। इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 सही नहीं है, क्योंकि तब बायाँ पक्ष \(9\times8=72\) होगा, जबकि दायाँ पक्ष \(81\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाइए। / Since \(n! = n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Hence, \(n(n-1)=9n\). For the factorial expression, \(n\geq2\), so dividing by \(n\) gives \(n-1=9\). Therefore, \(n=10\). Option 9 is not correct because it gives \(9\times8=72\) on the left, whereas the right side is \(81\). Exam tip: In factorial quotients, first expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the value of \( \frac{11!}{8!\cdot3!}\div\frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
C. \( \frac{11}{8} \)
पहला पद (165) और दूसरा (120) है, इसलिए अनुपात \( \frac{11}{8} \) है। भाग को भिन्न के अनुपात की तरह लें। / The first term is (165) and the second is (120), so the ratio is \( \frac{11}{8} \). Treat division as a ratio of fractions.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}-\frac{11!}{7!\cdot4!} \)?
A. (165)
दोनों पद क्रमशः (495) और (330) हैं, इसलिए अंतर (165) है। पहले हर पद को अलग सरल करें। / The two terms are (495) and (330), so the difference is (165). Simplify each term separately first.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+1)!+n!}{n!} \)?
D. \(n+2\)
\((n+1)!=(n+1)n!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+1)n!+n!\) होगा। \(n!\) को उभयनिष्ठ लेने पर यह \((n+2)n!\) बनता है। अब \(n!\) से भाग देने पर मान \(n+2\) मिलता है। \(n+1\) केवल पहले पद \((n+1)!/n!\) का मान है; इसमें दूसरे पद \(n!/n!=1\) को भी जोड़ना होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!+n!\). Taking \(n!\) common gives \((n+2)n!\). On dividing by \(n!\), the result is \(n+2\). The expression \(n+1\) accounts only for \((n+1)!/n!\); the additional term \(n!/n!=1\) must also be included. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller one.
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If \( \frac{(n+1)!+n!}{n!}=13 \), what is the value of (n)?
C. 11
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+1)!+n!}{n!}=\frac{(n+1)n!+n!}{n!}=n+2\)। अतः \(n+2=13\), जिससे \(n=11\) मिलता है। विकल्प 12 लेने पर बायाँ पक्ष 14 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)n!\), \(\frac{(n+1)!+n!}{n!}=\frac{(n+1)n!+n!}{n!}=n+2\). Hence, \(n+2=13\), giving \(n=11\). If \(n=12\), the left-hand side becomes 14, so it is not correct. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller factorial.
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What is the value of \( \frac{15!}{13!}-\frac{14!}{12!} \)?
B. 28
\(15! = 15\cdot14\cdot13!\), इसलिए \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\)। इसी प्रकार, \(14! = 14\cdot13\cdot12!\), अतः \(\frac{14!}{12!}=14\cdot13=182\)। इसलिए आवश्यक मान \(210-182=28\) है। विकल्प 32 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत तरीके से काट दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(15! = 15\cdot14\cdot13!\), \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\). Similarly, \(14! = 14\cdot13\cdot12!\), so \(\frac{14!}{12!}=14\cdot13=182\). Hence, the required value is \(210-182=28\). A value such as 32 may result from cancelling factorial terms incorrectly. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
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What is the value of \( \frac{6!}{3!}+\frac{5!}{2!} \)?
D. (180)
दोनों पद (120) और (60) हैं, इसलिए योग (180) है। मिश्रित योग में हर पद अलग हल करें। / The two terms are (120) and (60), so the sum is (180). In a mixed sum, solve each term separately.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}+\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=200 \), what is the value of (n)?
C. 7
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः योग \((n+3)[(n+4)+(n+2)]=2(n+3)^2\) होगा। इसलिए \(2(n+3)^2=200\), अर्थात \((n+3)^2=100\)। फैक्टोरियल के लिए मान्य गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेने पर \(n+3=10\), इसलिए \(n=7\)। \(n=-13\) फैक्टोरियल पदों के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their sum is \((n+3)[(n+4)+(n+2)]=2(n+3)^2\). Thus \(2(n+3)^2=200\), giving \((n+3)^2=100\). For the valid non-negative integer factorial domain, \(n+3=10\), so \(n=7\). The other algebraic value, \(n=-13\), does not make the factorial terms valid. Exam tip: in factorial quotients, cancel common factors and write the remaining consecutive factors.
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What is the simplified form of \( \frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{n+3} \)?
D. \((n+2)(n+1)\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) होता है। इसलिए \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\)। अब \(n+3\) से भाग देने पर \((n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(n+3\) का गुणनखंड अभी भी बचा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान गुणनखंड काटें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\). Dividing this by \(n+3\) leaves \((n+2)(n+1)\). Option B is not correct because it still contains the factor \(n+3\). Exam tip: In factorial divisions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
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What is the value of \( \frac{13!}{10!\cdot3!}-\frac{12!}{9!\cdot3!} \)?
B. (66)
पहला पद (286) और दूसरा (220) है, इसलिए अंतर (66) है। ऐसे प्रश्नों में हर पद का मान लिखकर घटाएं। / The first term is (286) and the second is (220), so the difference is (66). In such questions, write each term value and subtract.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (72)?
A. (6)
\(72=2^3\cdot3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(72=2^3\cdot3^2\), and (6!) contains all these factors. For divisibility, check prime factors.
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How many zeros will be at the end of (18!)?
D. (3)
अंतिम शून्यों की संख्या (5) के गुणकों से मिलती है और (18!) में (5,10,15) हैं। इसलिए कुल (3) शून्य होंगे। / The number of ending zeros comes from multiples of (5), and (18!) has (5,10,15). Therefore, there are (3) zeros.
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What is the highest power of (2) that divides (10!)?
C. (8)
घात \( \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=8 \) है। अभाज्य घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=8 \). For prime exponents, add the quotients.
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What will be the highest power of (5) in (25!)?
B. (6)
घात \( \left\lfloor\frac{25}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{25}\right\rfloor=6 \) है। (25) जैसे उच्च गुणकों को न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{25}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{25}\right\rfloor=6 \). Do not forget higher multiples such as (25).
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What is the simplified form of ( \frac{(n!)2}{(n-1)!(n+1)!} )?
C. \( \frac{n}{n+1} \)
( \frac{n!}{(n-1)!}=n ) और ( \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} ), इसलिए उत्तर \( \frac{n}{n+1} \) है। अनुपात को दो छोटे भागों में तोड़ें। / ( \frac{n!}{(n-1)!}=n ) and ( \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} ), so the answer is \( \frac{n}{n+1} \). Break the ratio into two smaller parts.
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If ( \frac{(n!)2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{5}{6} ), what is the value of (n)?
A. (5)
सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है, इसलिए \( \frac{n}{n+1}=\frac{5}{6} \)। इससे (n=5) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \), so \( \frac{n}{n+1}=\frac{5}{6} \). This gives (n=5).
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!}{(n-2)!\cdot n(n-1)} )?
B. ( (n+2)(n+1) )
ऊपर ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!) बनता है। हर से काटने पर ((n+2)(n+1)) बचता है। / The numerator becomes ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!). After cancellation with the denominator, ((n+2)(n+1)) remains.
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If \( \frac{(n+2)!}{(n-2)!}=1680 \), what is the value of (n)?
D. 6
\((n+2)!\) और \((n-2)!\) में समान पदों को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\) मिलता है। अतः चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 1680 होना चाहिए। \(8\times7\times6\times5=1680\), इसलिए \(n-1=5\) और \(n=6\)। निकटतम विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(9\times8\times7\times6\) होगा, जो 1680 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को रद्द करें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\). Thus, the product of four consecutive integers must be 1680. Since \(8\times7\times6\times5=1680\), we get \(n-1=5\), so \(n=6\). For the closest distractor, \(n=7\) gives \(9\times8\times7\times6\), not 1680. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial first and cancel the common factorial part.
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What is the value of \( \frac{16!}{14!\cdot2!}+\frac{15!}{13!\cdot2!} \)?
C. (225)
पहला पद (120) और दूसरा (105) है, इसलिए योग (225) है। जोड़ने से पहले दोनों भाग अलग निकालें। / The first term is (120) and the second is (105), so the sum is (225). Find both parts separately before adding.
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What is the simplified value of \( \frac{18!}{15!}\div\frac{6!}{3!} \)?
B. \( \frac{204}{5} \)
मान \( \frac{18\cdot17\cdot16}{6\cdot5\cdot4}=\frac{204}{5} \) है। भाग में दोनों पक्षों को समान लंबाई के गुणनफल में बदलें। / The value is \( \frac{18\cdot17\cdot16}{6\cdot5\cdot4}=\frac{204}{5} \). In division, convert both sides into products of equal length.
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What is ( \frac{(3n)!}{(3n-2)!} ) equal to?
A. (3n(3n-1))
((3n)!=(3n)(3n-1)(3n-2)!), इसलिए उत्तर (3n(3n-1)) है। सूचक वाले पद को एक इकाई की तरह संभालें। / ((3n)!=(3n)(3n-1)(3n-2)!), so the answer is (3n(3n-1)). Handle the indexed term as one unit.
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If \( \frac{(3n)!}{(3n-2)!}=132 \), what is the value of (n)?
D. 4
\((3n)!\) में से \((3n-2)!\) कटने पर \(3n(3n-1)=132\) मिलता है। क्योंकि \(12\times 11=132\), अतः \(3n=12\)। इसलिए \(n=4\)। \(3n=-11\) लेने पर फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होगा, इसलिए वह मान मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भागों में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक क्रमागत गुणनखंडों तक फैलाकर काटें। / Cancelling \((3n-2)!\) from \((3n)!\) gives \(3n(3n-1)=132\). Since \(12\times 11=132\), we get \(3n=12\). Therefore, \(n=4\). The alternative value \(3n=-11\) is invalid because factorials are not defined for negative integers. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the factors needed for cancellation.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(2n)!}{(2n-3)!} \)?
C. \((2n)(2n-1)(2n-2)\)
\((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!\) लिखने पर हर में उपस्थित \((2n-3)!\) कट जाता है। अतः शेष विस्तार \((2n)(2n-1)(2n-2)\) है। विकल्प B में \(2n\) के स्थान पर \(2n-3\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{m!}{(m-r)!}\) में ऊपर से लगातार \(r\) गुणक लिखें। / Write \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!\). The common factor \((2n-3)!\) cancels with the denominator, leaving \((2n)(2n-1)(2n-2)\). Option B incorrectly includes \(2n-3\) instead of starting with \(2n\). Exam tip: in \(\frac{m!}{(m-r)!}\), write the first \(r\) consecutive factors descending from \(m\).
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If \( \frac{(2n)!}{(2n-3)!}=720 \), what is the value of (n)?
A. 5
\((2n)!\) और \((2n-3)!\) को काटने पर \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)\) मिलता है। अतः \((2n)(2n-1)(2n-2)=720\)। क्योंकि \(10\times9\times8=720\), इसलिए \(2n=10\) और \(n=5\)। विकल्प 6 के लिए गुणनफल \(12\times11\times10\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर समान पदों को निरस्त करें। / Cancelling \((2n-3)!\) from \((2n)!\) gives \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)\). Hence, \((2n)(2n-1)(2n-2)=720\). Since \(10\times9\times8=720\), we get \(2n=10\), so \(n=5\). For option 6, the product would be \(12\times11\times10\), not 720. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
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By how much is \( \frac{9!}{7!} \) greater than \( \frac{8!}{6!} \)?
B. 16
\(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\), क्योंकि \(7!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\)। अतः आवश्यक अंतर \(72-56=16\) है। विकल्प 20 प्राप्त हो सकता है यदि गुणनफल या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान छोटे फैक्टोरियल को काटकर केवल शेष क्रमागत संख्याओं का गुणन करें। / \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) because \(7!\) cancels out. Similarly, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\). Therefore, the required difference is \(72-56=16\). Option 20 can result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common smaller factorial first and multiply only the remaining consecutive numbers.
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What is the simplified value of \( \frac{4!\cdot8!}{5!\cdot7!} \)?
D. \( \frac{8}{5} \)
\( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \) और \( \frac{8!}{7!}=8 \), इसलिए मान \( \frac{8}{5} \) है। गुणन में अलग-अलग अनुपात काटें। / \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \) and \( \frac{8!}{7!}=8 \), so the value is \( \frac{8}{5} \). Cancel separate ratios in multiplication.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}-\frac{n!}{(n-2)!} \)?
C. \(2n\)
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) और \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) होगा। अतः अंतर \(n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]=2n\) है। \(2n+1\) लेने पर घटाव में होने वाला सही सरलीकरण छूट जाता है। परीक्षा टिप: भिन्नों में फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\), while \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Therefore, the difference is \(n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]=2n\). \(2n+1\) would result from an incorrect simplification of the subtraction. Exam tip: expand factorials only up to the denominator factorial and cancel common factors.
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If \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}-\frac{n!}{(n-2)!}=18 \), what is the value of (n)?
B. 9
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए उनका अंतर \(n(n+1)-n(n-1)=2n\) होगा। अतः \(2n=18\), जिससे \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 10 लेने पर अंतर \(20\) आता, 18 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को साझा छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके काटें। / \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Their difference is therefore \(n(n+1)-n(n-1)=2n\). Hence \(2n=18\), giving \(n=9\). For example, if \(n=10\), the difference would be \(20\), not 18. Exam tip: expand factorials only up to the common smaller factorial, then cancel.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!} \)?
A. \(3n(n+1)\)
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = 3n(n+1)\) होगा। विकल्प C केवल पहला पद है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले तक फैलाकर समान गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\), while \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Therefore, the difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = 3n(n+1)\). Option C is only the first term, so it is not correct. Exam tip: expand the numerator factorial down to the denominator factorial, then factor out common terms.
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If \( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=216 \), what is the value of (n)?
D. 8
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\) होगा। इसलिए \(3n(n+1)=216\), अर्थात \(n(n+1)=72\)। चूँकि \(8\times9=72\), इसलिए \(n=8\)। \(n=7\) लेने पर गुणनफल केवल \(56\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में समान पदों को काटकर लगातार गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Their difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\). Hence, \(3n(n+1)=216\), so \(n(n+1)=72\). Since \(8\times9=72\), \(n=8\). For \(n=7\), the product is only \(56\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common terms and rewrite the result as consecutive factors.
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How many consecutive factors remain in the expansion of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
B. (4)
विस्तार ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)) है, इसलिए (4) गुणक बचते हैं। फैक्टोरियल अंतर से गुणकों की संख्या मिलती है। / The expansion is ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)), so (4) factors remain. The factorial gap gives the number of factors.
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When (n=3), what is the value of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
C. (1680)
(n=3) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \)। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=3) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
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What is the value of \( \frac{20!}{18!\cdot2!}-\frac{19!}{18!} \)?
A. 171
\(20!=20\cdot19\cdot18!\) और \(2!=2\) है। इसलिए पहला पद \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\cdot19}{2}=190\) होगा। साथ ही, \(\frac{19!}{18!}=19\)। अतः दिया गया मान \(190-19=171\) है। विकल्प 190 केवल पहला पद है, पूरा व्यंजक नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर सरल करें। / Since \(20!=20\cdot19\cdot18!\) and \(2!=2\), the first term is \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\cdot19}{2}=190\). Also, \(\frac{19!}{18!}=19\). Hence, the value of the expression is \(190-19=171\). Option 190 represents only the first term, not the complete expression. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms before calculating.
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What is the simplified value of \( \frac{11!}{5!\cdot6!}\div\frac{10!}{5!\cdot5!} \)?
D. \( \frac{11}{6} \)
दोनों पद (462) और (252) हैं, इसलिए अनुपात \( \frac{11}{6} \) है। बड़े मानों को काटकर सरल अनुपात बनाएं। / The two terms are (462) and (252), so the ratio is \( \frac{11}{6} \). Reduce large values to a simple ratio.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}=182 \), what is the value of (n)?
B. 10
\((n+4)!\) में से \((n+2)!\) कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। अतः \((n+4)(n+3)=182\)। क्योंकि \(182=14\times13\), इसलिए \(n+4=14\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(13\times12=156\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Cancelling \((n+2)!\) from \((n+4)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=182\). Since \(182=14\times13\), we get \(n+4=14\), so \(n=10\). For option 9, the product would be \(13\times12=156\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only as far as needed and cancel the common factorial term.
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What is the value of \(\frac{13!}{10!}+\frac{12!}{9!}\)?
A. (3036)
पहला पद \(13\cdot12\cdot11=1716\) और दूसरा \(12\cdot11\cdot10=1320\) है। योग (3036) है। / The first term is \(13\cdot12\cdot11=1716\) and the second is \(12\cdot11\cdot10=1320\). The sum is (3036).
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What is the value of \( \frac{16!}{13!} \)?
C. (3360)
(16!) को \(16\cdot15\cdot14\cdot13!\) लिखने पर मान (3360) मिलता है। परीक्षा में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाएं। / Writing (16!) as \(16\cdot15\cdot14\cdot13!\) gives (3360). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the simplified value of \( \frac{13!}{10!\cdot3!} \)?
B. (286)
\( \frac{13\cdot12\cdot11}{3!}=\frac{1716}{6}=286 \) है। हर में आए छोटे फैक्टोरियल को सही मान से बदलें। / \( \frac{13\cdot12\cdot11}{3!}=\frac{1716}{6}=286 \). Replace the small factorial in the denominator correctly.
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Find the value of \( \frac{12!-11!}{10!} \).
A. (121)
(12!-11!=11!(12-1)) और \( \frac{11!}{10!}=11 \), इसलिए मान (121) है। घटाव में सामान्य फैक्टर जरूर निकालें। / (12!-11!=11!(12-1)) and \( \frac{11!}{10!}=11 \), so the value is (121). Always take a common factor in subtraction.
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If \( \frac{(n+2)!}{n!}=132 \), what is the value of (n)?
C. (10)
यह \((n+2)(n+1)=132\) देता है और \(12\cdot11=132\), इसलिए \(n=10\) है। लगातार गुणकों को पहचानें। / It gives \((n+2)(n+1)=132\), and \(12\cdot11=132\), so \(n=10\). Recognize consecutive factors.
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If ( \frac{n!}{(n-3)!}=504 ), what is the positive value of (n)?
C. (9)
यह (n(n-1)(n-2)=504) है और \(9\cdot8\cdot7=504\)। ऐसे प्रश्नों में तीन लगातार घटते गुणक देखें। / It is (n(n-1)(n-2)=504), and \(9\cdot8\cdot7=504\). In such questions, look for three consecutive decreasing factors.
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Which is the correct expansion of ( \frac{(n+3)!}{(n+1)!} )?
A. ( (n+3)(n+2) )
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए दो गुणक बचते हैं। नीचे वाले फैक्टोरियल तक ही विस्तार करें। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so two factors remain. Expand only up to the denominator factorial.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!} )?
B. (n(n+2))
((n+1)!+n!=n!((n+1)+1)=n!(n+2)), इसलिए उत्तर (n(n+2)) है। पहले (n!) को सामान्य फैक्टर बनाएं। / ((n+1)!+n!=n!((n+1)+1)=n!(n+2)), so the answer is (n(n+2)). First take (n!) as the common factor.
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If \( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=63 \), what will be the value of (n)?
C. 7
\((n+1)!=(n+1)n!\) और \(n!=n(n-1)!\) का प्रयोग करने पर \[ \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=\frac{n![(n+1)+1]}{(n-1)!}=n(n+2). \] अतः \(n(n+2)=63\), यानी \(n^2+2n-63=0\)। इससे \((n-7)(n+9)=0\) मिलता है। फैक्टोरियल के लिए \(n\) ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हो सकता, इसलिए \(n=7\) है। \(n=-9\) बीजगणितीय मूल है, पर फैक्टोरियल के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले उन्हें सबसे छोटे फैक्टोरियल, यहाँ \((n-1)!\), के रूप में लिखकर काटें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\) and \(n!=n(n-1)!\), \[ \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=\frac{n![(n+1)+1]}{(n-1)!}=n(n+2). \] Thus, \(n(n+2)=63\), or \(n^2+2n-63=0\). This gives \((n-7)(n+9)=0\). Since a factorial is not defined for a negative integer, \(n=-9\) is invalid; hence \(n=7\). Exam tip: in factorial fractions, first express terms using the smallest factorial present, here \((n-1)!\), and then cancel.
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If \( \frac{(n+2)!-(n+1)!}{n!}=100 \), what is the value of (n)?
C. 9
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) रखने पर अंश \((n+1)![(n+2)-1]=(n+1)!(n+1)\) हो जाता है। अब \(n!\) से भाग देने पर \((n+1)^2=100\) मिलता है। चूँकि फैक्टोरियल के लिए \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, \(n+1=10\), अतः \(n=9\)। विकल्प 10 के लिए मान \(121\) होगा, 100 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common लेने से सरलीकरण जल्दी होता है। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the numerator becomes \((n+1)![(n+2)-1]=(n+1)!(n+1)\). On dividing by \(n!\), we get \((n+1)^2=100\). Since \(n\) must be a non-negative integer for factorial notation, \(n+1=10\), so \(n=9\). For option 10, the value would be \(121\), not 100. Exam tip: In factorial expressions, factor out the smaller factorial first for quick simplification.
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What is the simplified value of \( \frac{9!\cdot5!}{7!\cdot6!} \)?
A. (12)
\( \frac{9!}{7!}=72 \) और \( \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} \), इसलिए मान (12) है। गुणन में अलग-अलग अनुपात काटें। / \( \frac{9!}{7!}=72 \) and \( \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} \), so the value is (12). Cancel separate ratios in multiplication.
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What is the value of \( \frac{7!}{4!}\div\frac{6!}{3!} \)?
B. \( \frac{7}{4} \)
पहला अनुपात (210) और दूसरा (120) है, इसलिए भाग \( \frac{7}{4} \) है। भाग को अनुपात की तरह हल करें। / The first ratio is (210) and the second is (120), so the quotient is \( \frac{7}{4} \). Solve division as a ratio.
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What is the value of \( \frac{15!}{12!\cdot3!}\times\frac{2}{13} \)?
A. (35)
पहला भाग (455) है और \(455\cdot\frac{2}{13}=70\) नहीं; सही विकल्पों में मान नहीं है। / The first part is (455), and \(455\cdot\frac{2}{13}=70\); the correct value is not among the options.
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What is the value of \( \frac{15!}{12!\cdot3!}\times\frac{3}{13} \)?
A. (105)
पहला भाग (455) है और \(455\cdot\frac{3}{13}=105\) है। कठिन गुणन में पहले कटौती करें। / The first part is (455), and \(455\cdot\frac{3}{13}=105\). In hard multiplication, cancel first.
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What is the value of \( \frac{14!}{12!\cdot2!}+\frac{13!}{11!\cdot2!} \)?
B. (169)
दोनों पद क्रमशः (91) और (78) हैं, इसलिए योग (169) है। जोड़ने से पहले हर पद अलग निकालें। / The two terms are (91) and (78), so the sum is (169). Find each term separately before adding.
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What is the value of \( \frac{18!}{16!\cdot2!}-\frac{17!}{15!\cdot2!} \)?
C. (17)
पहला पद (153) और दूसरा (136) है, इसलिए अंतर (17) है। निकट फैक्टोरियल पदों का अंतर सावधानी से घटाएं। / The first term is (153) and the second is (136), so the difference is (17). Subtract nearby factorial terms carefully.
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What is the value of \( \frac{10!}{6!\cdot4!}+\frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
D. (330)
दोनों पद (210) और (120) हैं, इसलिए योग (330) है। संयोजन जैसे रूपों में छोटे हर को सही रखें। / The two terms are (210) and (120), so the sum is (330). In combination-like forms, keep the small denominator correct.
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If ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}=306 ), what is the value of (n)?
B. (8)
यह ((2n+1)(2n)=306) है और \(17\cdot16=272\) नहीं; सही समीकरण के लिए कोई पूर्णांक (n) नहीं मिलेगा। / It is ((2n+1)(2n)=306), and no integer (n) satisfies it. Check whether the matched consecutive factors fit the form.
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If ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}=272 ), what is the value of (n)?
C. (8)
यह ((2n+1)(2n)=272) है और \(17\cdot16=272\), इसलिए (2n=16) और (n=8)। पहले लगातार गुणकों को पहचानें। / It is ((2n+1)(2n)=272), and \(17\cdot16=272\), so (2n=16) and (n=8). Identify the consecutive factors first.
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What is ( \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!} ) equal to?
A. ( (3n+1)(3n) )
((3n+1)!=(3n+1)(3n)(3n-1)!), इसलिए दो गुणक बचते हैं। सूचक वाले पद को एक इकाई की तरह संभालें। / ((3n+1)!=(3n+1)(3n)(3n-1)!), so two factors remain. Handle the indexed term as one unit.
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If ( \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!}=156 ), what is the value of (n)?
B. (4)
यह ((3n+1)(3n)=156) है और \(13\cdot12=156\), इसलिए (3n=12) और (n=4)। रूप पहचानकर मान रखें। / It is ((3n+1)(3n)=156), and \(13\cdot12=156\), so (3n=12) and (n=4). Identify the form and substitute.
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What is the simplified form of ( \frac{(n!)2}{(n-2)!(n+2)!} )?
B. ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} )
( \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) ) और ( \frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)} ), इसलिए उत्तर मिलता है। अनुपात को दो भागों में तोड़ें। / ( \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) ) and ( \frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)} ), so the answer follows. Break the ratio into two parts.
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If \( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=270 \), what is the value of (n)?
B. 8
\(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) और \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+2)(n+1)\)। अतः उनका अंतर \((n+2)(n+1)[(n+3)-n]=3(n+2)(n+1)\) होगा। इसलिए \((n+2)(n+1)=90\)। चूँकि \(10\times9=90\), इसलिए \(n+2=10\) और \(n=8\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(11\times10=110\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर लगातार गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) and \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+2)(n+1)\). Their difference is \((n+2)(n+1)[(n+3)-n]=3(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=90\). Since \(10\times9=90\), we get \(n+2=10\), so \(n=8\). For option 9, the product would be \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In factorial fractions, first cancel common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
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How many zeros will be at the end of (20!)?
B. (4)
अंतिम शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4 \) है। शून्य गिनने में (5) के गुणकों को गिनें। / The number of ending zeros is \( \left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4 \). To count zeros, count multiples of (5).
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What is the highest power of (5) in (30!)?
B. (7)
घात \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \) है। (25) जैसे उच्च गुणकों को न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \). Do not forget higher multiples such as (25).
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What is the highest power of (3) that divides (15!)?
B. (6)
घात \( \left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor=6 \) है। अभाज्य घात के लिए भागफल जोड़ते हैं। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor=6 \). For a prime exponent, add the quotients.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (180)?
B. (6)
\(180=2^2\cdot3^2\cdot5\) है और (6!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\), and (6!) contains all these factors. For divisibility, check prime factors.
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What is the value of \( \frac{21!}{19!\cdot2!}-\frac{20!}{18!\cdot2!} \)?
B. (20)
पहला पद (210) और दूसरा (190) है, इसलिए अंतर (20) है। पास-पास वाले पदों में घटाव सावधानी से करें। / The first term is (210) and the second is (190), so the difference is (20). Subtract nearby terms carefully.
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What is the simplified value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}\div\frac{11!}{7!\cdot4!} \)?
A. \( \frac{3}{2} \)
दोनों पद (495) और (330) हैं, इसलिए अनुपात \( \frac{3}{2} \) है। बड़े मानों को सरल अनुपात में बदलें। / The two terms are (495) and (330), so the ratio is \( \frac{3}{2} \). Convert large values into a simple ratio.
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What is the value of \( \frac{8!}{5!}+\frac{7!}{4!} \)?
B. 546
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। अतः कुल मान \(336+210=546\) है। विकल्प 504 केवल पहले पद के मान के बराबर है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक फैक्टोरियल में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान फैक्टोरियल को काटें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels out. Similarly, \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Therefore, the value is \(336+210=546\). Option 504 is only the value of neither complete sum and is incorrect. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel the common factorial term.
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What is the value of \( \frac{9!}{4!\cdot5!}-\frac{8!}{4!\cdot4!} \)?
B. 56
\(\frac{9!}{4!5!}=\binom{9}{4}=126\) और \(\frac{8!}{4!4!}=\binom{8}{4}=70\) है। अतः दिया गया मान \(126-70=56\) होगा। 54 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह सही घटाव से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{9!}{4!5!}=\binom{9}{4}=126\) and \(\frac{8!}{4!4!}=\binom{8}{4}=70\). Therefore, the required value is \(126-70=56\). Option 54 is a close distractor, but it does not result from the correct subtraction. Exam tip: Recognising \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) makes such calculations quicker.
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If \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}=1320 \), what is the value of (n)?
C. (8)
यह \((n+5)(n+4)(n+3)=1320\) है और \(13\cdot12\cdot11=1716\) नहीं; \(12\cdot11\cdot10=1320\), इसलिए \(n=7\)। / It is \((n+5)(n+4)(n+3)=1320\). Since \(12\cdot11\cdot10=1320\), \(n=7\).
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If \( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=330 \), what is the value of (n)?
C. 10
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\) होगा। इसलिए \(3n(n+1)=330\), अर्थात \(n(n+1)=110\)। चूँकि \(10\times11=110\), इसलिए \(n=10\)। निकटतम विकल्प 11 के लिए \(11\times12\neq110\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Hence, their difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\). Thus, \(3n(n+1)=330\), so \(n(n+1)=110\). Since \(10\times11=110\), \(n=10\). The nearby option 11 is incorrect because \(11\times12\neq110\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{19!}{17!\cdot2!}\times\frac{2}{19} \)?
B. 18
\(19!=19\times18\times17!\) और \(2!=2\) रखने पर, \[ \frac{19!}{17!\cdot2!}\times\frac{2}{19} =\frac{19\times18\times17!}{17!\times2}\times\frac{2}{19}=18. \] अतः सही मान 18 है। 19 और \(17!\) कट जाते हैं तथा 2 भी कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / Using \(19!=19\times18\times17!\) and \(2!=2\), \[ \frac{19!}{17!\cdot2!}\times\frac{2}{19} =\frac{19\times18\times17!}{17!\times2}\times\frac{2}{19}=18. \] Therefore, the correct value is 18. The factors 19, \(17!\), and 2 cancel out. Exam tip: In factorial expressions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
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What is the value of \( \frac{6!+5!+4!}{4!} \)?
B. 36
\(6!=6\times5\times4!=30\times4!\), \(5!=5\times4!\) और \(4!=1\times4!\) है। अतः \(\frac{6!+5!+4!}{4!}=30+5+1=36\)। इसलिए सही विकल्प B है। 35 केवल \(6!/4!+5!/4!\) लेने पर मिलता है; उसमें \(4!/4!=1\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में हर पद से समान फैक्टोरियल को अलग करके पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!=30\times4!\), \(5!=5\times4!\), and \(4!=1\times4!\), we get \(\frac{6!+5!+4!}{4!}=30+5+1=36\). Hence, option B is correct. The value 35 results if the term \(4!/4!=1\) is mistakenly omitted. Exam tip: factor out the common factorial before calculating individual factorial values.
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By how much is \( \frac{10!}{8!} \) greater than \( \frac{9!}{7!} \)?
D. 18
\(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\), क्योंकि \(8!\) कट जाता है। इसी प्रकार \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\)। अतः अपेक्षित अंतर \(90-72=18\) है। विकल्प 16 तब मिलता है जब गुणनफल या घटाव में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक फैक्टोरियल में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\), since \(8!\) cancels out. Similarly, \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\). Therefore, the required difference is \(90-72=18\). Option 16 may result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: expand factorials only up to the smaller factorial and cancel the common part.
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Which factor will not appear in the expansion of ( \frac{(n+4)!}{n!} )?
D. (n)
विस्तार ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)) है, इसलिए (n) शामिल नहीं है। हर वाले (n!) तक कटौती हो जाती है। / The expansion is ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)), so (n) is not included. Cancellation stops at the denominator (n!).
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When (n=4), what is the value of ( \frac{(n+4)!}{n!} )?
A. (1680)
(n=4) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \) मिलता है। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=4) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
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What is the simplified value of \( \frac{17!}{14!}\div\frac{8!}{5!} \)?
C. \( \frac{255}{28} \)
मान \( \frac{17\cdot16\cdot15}{8\cdot7\cdot6}=\frac{255}{28} \) है। भाग में दोनों तरफ तीन-तीन गुणक लिखें। / The value is \( \frac{17\cdot16\cdot15}{8\cdot7\cdot6}=\frac{255}{28} \). In division, write three factors on both sides.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}\)?
B. ( (n+6)(n+5)(n+4) )
\((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!\), इसलिए तीन गुणक बचते हैं। हर तक विस्तार करना न भूलें। / \((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!\), so three factors remain. Do not forget to expand up to the denominator.
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What is the value of \( \frac{14!}{10!\cdot4!}-\frac{13!}{10!\cdot3!} \)?
B. (715)
पहला पद (1001) और दूसरा (286) है, इसलिए अंतर (715) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / The first term is (1001) and the second is (286), so the difference is (715). In such questions, calculate both terms separately and subtract.
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What is the simplified form of ( \frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+3)!}{(n-1)!}} )?
D. \( \frac{n+4}{n} \)
ऊपर और नीचे के समान गुणक कटने पर \( \frac{n+4}{n} \) बचता है। बड़े अनुपात को पहले गुणनफल में बदलें। / After canceling the common factors in numerator and denominator, \( \frac{n+4}{n} \) remains. First convert large ratios into products.
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What is the highest power of (2) that divides (14!)?
C. (11)
घात \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \) है। अभाज्य घात निकालते समय सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \). Add all quotients while finding a prime exponent.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (1008)?
B. (7)
\(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\) है और (7!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंडों की जरूरत पूरी करें। / \(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\), and (7!) contains all these factors. For divisibility, satisfy all prime factor requirements.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+4)!+(n+3)!}{(n+2)!} \)?
A. \((n+3)(n+5)\)
क्योंकि \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) होगा। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) रखने पर \(\frac{(n+3)!(n+5)}{(n+2)!}=(n+3)(n+5)\) मिलता है। विकल्प C में \(n+5\) के स्थान पर \(n+4\) रह जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल पदों में छोटे फैक्टोरियल को सामान्य लेकर सरल करें। / Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), we get \(\frac{(n+3)!(n+5)}{(n+2)!}=(n+3)(n+5)\). Option C incorrectly retains \(n+4\) instead of obtaining \(n+5\). Exam tip: when adding factorial terms, factor out the smaller factorial first.
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If \( \frac{(n+4)!+(n+3)!}{(n+2)!}=120 \), what is the value of (n)?
B. 7
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) बनता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+3)(n+5)=120\) होगा। \(n=7\) रखने पर \(10\times12=120\), इसलिए सही मान \(7\) है। उदाहरण के लिए, \(n=6\) पर गुणनफल \(9\times11=99\) आता है, 120 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पद को बाहर निकालकर सरल कीजिए। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Thus, the expression simplifies to \((n+3)(n+5)=120\). For \(n=7\), this gives \(10\times12=120\), so the correct value is \(7\). For instance, \(n=6\) gives \(9\times11=99\), not 120. Exam tip: In factorial fractions, first factor out the common factorial term before simplifying.
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What is the value of \( \frac{12!}{9!}-2\cdot\frac{11!}{8!} \)?
D. (660)
पहला पद (1320) और दूसरा \(2\cdot330=660\) है, इसलिए अंतर (660) है। गुणांक वाले पद में पहले गुणा पूरा करें। / The first term is (1320) and the second is \(2\cdot330=660\), so the difference is (660). Complete the multiplication in the coefficient term first.
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