Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(4-2x\) में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर इसका मान घटता है। \(x=-3\) लेने पर \(4-2(-3)=10\) मिलता है और \(-3\) शामिल है, इसलिए \(10\) शामिल होगा। जब \(x\), \(2\) के बाएँ से निकट जाता है, तब \(4-2x\), \(0\) के निकट जाता है; लेकिन \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(0\) शामिल नहीं होगा। अतः मानों का अंतराल \((0,10]\) है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमता को गुणा या भाग देने पर असमता का चिह्न उलटता है और सिरों का समावेश अलग से जाँचें। / Since the coefficient of \(x\) in \(4-2x\) is negative, the expression decreases as \(x\) increases. At \(x=-3\), \(4-2(-3)=10\), and this value is included because \(-3\) is included. As \(x\) approaches \(2\) from the left, \(4-2x\) approaches \(0\); however, \(x=2\) is excluded, so \(0\) is not attained. Hence the interval is \((0,10]\). Exam tip: when multiplying or dividing an inequality by a negative number, reverse the inequality sign and then check endpoint inclusion separately.
A. \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -5\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
किसी निरपेक्ष मान की असमानता \(|A|\ge k\), जहाँ \(k>0\), के लिए \(A\le -k\) या \(A\ge k\) होता है। अतः \(|x+1|\ge 4\) से \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\), इसलिए \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)। विकल्प B और D बीच के मान देते हैं, जबकि यहाँ हल संख्या रेखा के बाहर के दो भागों में है; विकल्प C में बराबरी के सिरों को गलत ढंग से हटा दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) होने पर सीमा-बिंदु \(-5\) और \(3\) दोनों शामिल होते हैं। / For an absolute-value inequality \(|A|\ge k\), where \(k>0\), we use \(A\le -k\) or \(A\ge k\). Thus, \(|x+1|\ge 4\) gives \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\), so \(x\le -5\) or \(x\ge 3\). Options B and D describe values between the endpoints, whereas the solution lies outside them; option C incorrectly excludes the equality endpoints. Exam tip: with \(\ge\), both boundary values, \(-5\) and \(3\), are included.
हर रैखिक असमानता का हल एक अंतराल या अर्ध-रेखा होता है। किसी तंत्र में इनका प्रतिच्छेद भी एक सतत अंतराल, अर्ध-रेखा, बिंदु या रिक्त समुच्चय होता है; दो अलग भागों वाला A नहीं। परीक्षा-टिप: तंत्र में हलों का प्रतिच्छेद लेते हैं, संघ नहीं। / The solution of each linear inequality is an interval or a ray. Their intersection in a system remains one continuous interval, ray, point, or empty set; hence the disconnected set in A is impossible. Exam tip: for a system, take intersection, not union.
हर रैखिक असमिका एक अर्ध-समतल दर्शाती है और प्रत्येक अर्ध-समतल उत्तल होता है। अर्ध-समतलों का प्रतिच्छेद भी उत्तल रहता है, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: उत्तल होने का अर्थ सीमाबद्ध होना नहीं है। / Each linear inequality represents a half-plane, and every half-plane is convex. The intersection of half-planes remains convex, so option A is correct. Exam tip: a convex solution region need not be bounded.
‘अधिकतम 9’ का अर्थ \(2x-1\le 9\) होता है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(2x\le 10\), और 2 से भाग देने पर \(x\le 5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=5\) भी मान्य है; ‘अधिकतम’ में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता। / ‘At most 9’ means \(2x-1\le 9\). Adding 1 to both sides gives \(2x\le 10\), and dividing by 2 gives \(x\le 5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because \(x=5\) is also allowed; ‘at most’ includes equality. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता \\(2x+3<11\\) से \\(2x<8\\), अर्थात् \\(x<4\\) प्राप्त होता है। इसलिए \\(x=0,2,3\\) इसे संतुष्ट करते हैं, जबकि \\(x=4\\) रखने पर \\(11<11\\) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा-युक्ति: '<' वाली असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / From \\(2x+3<11\\), we get \\(2x<8\\), hence \\(x<4\\). Therefore, \\(x=0,2,3\\) satisfy the inequality, but substituting \\(x=4\\) gives \\(11<11\\), which is false. Exam tip: For a strict '<' inequality, the boundary value is not included.
असमानता \(-x+6\ge 2\) में 6 घटाने पर \(-x\ge -4\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\le 4\)। दिए गए विकल्पों में केवल \(x=4\) इस शर्त को संतुष्ट करता है; \(x=5\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि वह 4 से बड़ा है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 6 from both sides of \(-x+6\ge 2\) gives \(-x\ge -4\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality, so \(x\le 4\). Among the given options, only \(x=4\) satisfies this condition; the closest distractor, \(x=5\), is incorrect because it is greater than 4. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
सरल करने पर \(6x-13\ge 4x+1\), इसलिए \(2x\ge 14\) और \(x\ge 7\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय हर पद पर गुणा करें। / Simplifying gives \(6x-13\ge 4x+1\), so \(2x\ge 14\) and \(x\ge 7\). While expanding brackets, multiply every term.
रैखिक रूप \(\frac{3-x}{2}\) घटता है, इसलिए सिरों का क्रम उलटता है। (x=5) पर (y=-1) शामिल है और (x=-2) शामिल नहीं है, इसलिए \(\frac{5}{2}\) शामिल नहीं होगा। / The linear expression \(\frac{3-x}{2}\) is decreasing, so the endpoint order reverses. At (x=5), (y=-1) is included, and since (x=-2) is excluded, \(\frac{5}{2}\) is excluded.
वाक्य को असमिका \(2x-9>15\) के रूप में लिखा जाता है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर \(2x>24\), और 2 से भाग देने पर \(x>12\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में 9 को गलत ढंग से 15 में जोड़कर केवल \(x>3\) जैसा निष्कर्ष निकलता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता। / The statement translates to the inequality \(2x-9>15\). Adding 9 to both sides gives \(2x>24\), and dividing by 2 gives \(x>12\). Therefore, option A is correct. Option C results from mishandling the coefficient 2 and does not satisfy the original inequality in general. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
