Level 69 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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A. (1010)
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर योग (1010) आता है। परीक्षा में (n-1) को ध्यान से रखें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), the sum is (1010). In exams, handle (n-1) carefully.
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If an AP has (a=12), (d=-2), and (n=15), find the value of \(S_{15}\).
B. (-30)
यह घटती हुई श्रेढ़ी है और सूत्र से \(S_{15}=-30\) मिलता है। ऋणात्मक सार्व अंतर का संकेत न भूलें। / This is a decreasing AP, and the formula gives \(S_{15}=-30\). Do not forget the sign of the negative common difference.
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What is the sum of the first (25) positive odd numbers?
C. (625)
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(25^2=625\)। यह परिणाम तेज गणना में उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(25^2=625\). This result is useful for quick calculation.
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Find the sum of all positive multiples of (7) from (7) to (140).
D. (1470)
यह श्रेढ़ी \(7,14,\ldots,140\) है जिसमें (20) पद हैं और योग (1470) है। अंतिम पद से (n) निकालना आसान तरीका है। / The AP is \(7,14,\ldots,140\) with (20) terms, and its sum is (1470). Finding (n) from the last term is an easy method.
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What is the sum of the first (30) terms of the AP \(-5,-2,1,\ldots\)?
A. (1155)
यहाँ (a=-5), (d=3), (n=30), इसलिए योग (1155) है। ऋणात्मक पहले पद के साथ भी वही सूत्र लागू होता है। / Here (a=-5), (d=3), (n=30), so the sum is (1155). The same formula works even with a negative first term.
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An AP has first term (8), last term (62), and number of terms (10). Find the sum of all terms.
A. (350)
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से योग (350) आता है। जब अंतिम पद दिया हो तो यह सूत्र जल्दी काम करता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), the sum is (350). When the last term is given, this formula is faster.
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If \(S_n=3n^2+2n\), what is the sum of the first (12) terms?
B. (456)
(n=12) रखने पर (S_{12}=3(12)2+2(12)=456)। दिए गए योग सूत्र में सीधे (n) का मान रखें। / Putting (n=12), (S_{12}=3(12)2+2(12)=456). Substitute the given value of (n) directly in the sum formula.
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C. (648)
यह (a=18), (d=3), (n=16) वाली समांतर श्रेढ़ी है और योग (648) है। शब्द-प्रश्न में पहले (a,d,n) पहचानें। / This is an AP with (a=18), (d=3), (n=16), and the sum is (648). In word problems, identify (a,d,n) first.
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Find the sum of the first (18) terms of the AP \(50,47,44,\ldots\).
A. (441)
यहाँ (d=-3) है और सूत्र से \(S_{18}=441\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक लिखें। / Here (d=-3), and the formula gives \(S_{18}=441\). In a decreasing AP, write the common difference as negative.
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If an AP has (a=4), (l=100), and \(S_n=1040\), what is the number of terms (n)?
B. (20)
(\frac{n}{2}(4+100)=1040) से (n=20) आता है। अंतिम पद और योग दिए हों तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) लगाएँ। / From (\frac{n}{2}(4+100)=1040), (n=20). When last term and sum are given, use (S_n=\frac{n}{2}(a+l)).
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What is the sum of the first (40) positive even numbers?
C. (1640)
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है, इसलिए \(40\times41=1640\)। इसे सम संख्या वाले प्रश्नों में याद रखें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(40\times41=1640\). Remember it for even-number AP questions.
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In an AP, (a=9) and (d=6). If \(S_n=525\), what is the value of (n)?
A. (10)
(\frac{n}{2}[18+6(n-1)]=525) हल करने पर (n=10) मिलता है। (n) के लिए द्विघात बन सकता है, सही धनात्मक मान चुनें। / Solving (\frac{n}{2}[18+6(n-1)]=525) gives (n=10). For (n), a quadratic may appear, so choose the positive value.
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How many initial terms of the AP \(2,7,12,\ldots\) have sum (287)?
C. (11)
(\frac{n}{2}[4+5(n-1)]=287) से (n=11) मिलता है। योग से पदों की संख्या निकालते समय ऋणात्मक हल छोड़ दें। / From (\frac{n}{2}[4+5(n-1)]=287), (n=11). When finding the number of terms from sum, reject the negative root.
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If \(S_{10}=250\) and \(S_9=207\), what is the (10)th term?
C. 43
किसी AP में पहले n पदों के योगों का अंतर nवाँ पद देता है: \(a_n=S_n-S_{n-1}\)। अतः \(a_{10}=S_{10}-S_9=250-207=43\)। इसलिए सही उत्तर 43 है। 42 प्राप्त करने के लिए योगों का अंतर गलत निकाला जाएगा। परीक्षा टिप: जब लगातार दो आंशिक योग दिए हों, तो उनका अंतर सीधे संबंधित पद होता है। / In an AP, the difference between the sums of the first n and first \(n-1\) terms gives the nth term: \(a_n=S_n-S_{n-1}\). Thus, \(a_{10}=S_{10}-S_9=250-207=43\). Therefore, 43 is correct. Getting 42 would mean subtracting the given sums incorrectly. Exam tip: When two consecutive partial sums are given, subtract them directly to obtain the corresponding term.
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The sum of the first (n) terms of the AP \(6,11,16,\ldots\) is (660). Find (n).
B. (15)
(\frac{n}{2}[12+5(n-1)]=660) हल करने पर (n=15) आता है। पहले कोष्ठक सरल करें, फिर समीकरण हल करें। / Solving (\frac{n}{2}[12+5(n-1)]=660) gives (n=15). Simplify the bracket first, then solve the equation.
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B. (4)
(780=10[10+19d]) से (d=4) मिलता है। योग और पहला पद दिए हों तो सार्व अंतर सीधे निकाला जा सकता है। / From (780=10[10+19d]), (d=4). When sum and first term are given, the common difference can be found directly.
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A. (12600)
यह (a=500), (d=100), (n=12) वाली श्रेढ़ी है और कुल योग (12600) है। वास्तविक जीवन प्रश्नों में राशि को पद मानें। / This is an AP with (a=500), (d=100), (n=12), and the total is (12600). In real-life questions, treat each amount as a term.
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Find the sum of the first (18) terms of the AP \(15,19,23,\ldots\).
B. (882)
सूत्र में (a=15), (d=4), (n=18) रखने पर \(S_{18}=882\) मिलता है। पहले तीन पदों से (d) जरूर जाँचें। / Putting (a=15), (d=4), (n=18) in the formula gives \(S_{18}=882\). Always check (d) from the first three terms.
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Find the sum of all (3)-digit numbers that are divisible by (9).
A. (60984)
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
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In an AP, \(S_n=2n^2+5n\). What is the sum of the first (8) terms?
A. 168
पहले 8 पदों का योग ज्ञात करने के लिए दिए गए व्यंजक में \(n=8\) रखें: \(S_8=2(8)^2+5(8)=2\times64+40=168\)। अतः सही उत्तर 168 है। 160 प्राप्त हो सकता है यदि \(2\times64\) में 40 को सही प्रकार न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: जब \(S_n\) दिया हो, तो मांगे गए पदों की संख्या को सीधे \(n\) के स्थान पर रखें। / To find the sum of the first 8 terms, substitute \(n=8\) in the given expression: \(S_8=2(8)^2+5(8)=2\times64+40=168\). Hence, the correct answer is 168. The value 160 may result from an incorrect addition after calculating \(2\times64\). Exam tip: When \(S_n\) is given, directly substitute the required number of terms for \(n\).
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If an AP has (a=20), (d=-1), and (n=25), what is \(S_{25}\)?
B. (200)
सूत्र से \(S_{25}=\frac{25}{2}[40-24]=200\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में अंतिम पद छोटा हो सकता है। / The formula gives \(S_{25}=\frac{25}{2}[40-24]=200\). In a decreasing AP, the last term may be smaller.
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What is the sum of the first (14) terms of the AP \(4,10,16,\ldots\)?
B. 602
यहाँ प्रथम पद \(a=4\), सार्वांतर \(d=10-4=6\) और \(n=14\) है। सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{14}=\frac{14}{2}[2(4)+13(6)]=7(86)=602\)। अतः सही उत्तर 602 है। 604 निकट का विकल्प है, पर वह सूत्र में सही मान रखने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग-अलग लिखकर ही योग का सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=4\), the common difference is \(d=10-4=6\), and \(n=14\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{14}=\frac{14}{2}[2(4)+13(6)]=7(86)=602\). Therefore, 602 is correct. Although 604 is close, it does not result from correct substitution in the formula. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
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A factory produces \(120,135,150,\ldots\) items per day. What is the total production in (10) days?
A. (1875)
यह उत्पादन समांतर श्रेढ़ी बनाता है और \(S_{10}=1875\) है। दैनिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें। / The production forms an AP, and \(S_{10}=1875\). Treat the daily increase as the common difference.
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If an AP has first term (11), last term (71), and sum (574), what is the number of terms?
C. (14)
(\frac{n}{2}(11+71)=574) से (n=14) मिलता है। अंतिम पद दिए होने पर सार्व अंतर की जरूरत नहीं होती। / From (\frac{n}{2}(11+71)=574), (n=14). When the last term is given, the common difference is not needed.
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Find the sum of the first (20) terms of the AP \(31,28,25,\ldots\).
A. (50)
यहाँ अंतिम पद (-26) है और \(S_{20}=50\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में योग बहुत छोटा भी हो सकता है। / Here the last term is (-26), and \(S_{20}=50\). In a decreasing AP, the sum can become quite small.
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B. \(\frac{43}{17}\)
AP के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। अतः \(441=\frac{18}{2}[2(3)+17d]=9(6+17d)\)। इसलिए \(49=6+17d\), जिससे \(17d=43\) और \(d=\frac{43}{17}\) मिलता है। \(d=3\) रखने पर योग \(513\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n}{2}\) से भाग देकर समीकरण को सरल करें। / For an AP, \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Thus, \(441=\frac{18}{2}[2(3)+17d]=9(6+17d)\). Hence \(49=6+17d\), so \(17d=43\) and \(d=\frac{43}{17}\). If \(d=3\), the sum would be \(513\), so it is not correct. Exam tip: first divide by \(\frac{n}{2}\) to simplify the equation.
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A. \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\)
समांतर श्रेणी का योग = पदों की संख्या × प्रथम और अंतिम पद का औसत होता है। अतः \(S_n=n\times\frac{a+l}{2}\)। विकल्प B में औसत निकालते समय \(2\) से भाग देना छूट गया है। परीक्षा में ‘औसत × पदों की संख्या’ नियम याद रखें। / The sum of an AP equals the number of terms multiplied by the average of its first and last terms. Thus, \(S_n=n\times\frac{a+l}{2}\). Option B misses division by 2. Exam tip: remember “number of terms × average of extreme terms.”
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Find the sum of all numbers divisible by (5) between (100) and (200).
A. (3150)
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
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If the sum of the first (n) terms of the AP \(13,18,23,\ldots\) is (253), what is (n)?
D. (11)
(\frac{n}{2}[26+5(n-1)]=253) से (n=11) मिलता है। सही धनात्मक पूर्णांक ही पदों की संख्या हो सकता है। / From (\frac{n}{2}[26+5(n-1)]=253), (n=11). Only the correct positive integer can be the number of terms.
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What is the sum of the first (30) terms of the AP \(1,4,7,\ldots\)?
C. (1335)
यहाँ (a=1), (d=3), (n=30), इसलिए \(S_{30}=1335\)। छोटे पहले पद के कारण भी योग बड़ा हो सकता है। / Here (a=1), (d=3), (n=30), so \(S_{30}=1335\). Even with a small first term, the sum can be large.
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B. 915 cm
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=40\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=15\) है। \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(40)+14(3)]=\frac{15}{2}(122)=915\) cm। इसलिए सही उत्तर 915 cm है। 900 cm जैसा विकल्प सामान्य अंतर या अंतिम पद को गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n-1\) अवश्य प्रयोग करें। / This is an AP with first term \(a=40\), common difference \(d=3\), and \(n=15\) terms. Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(40)+14(3)]=\frac{15}{2}(122)=915\) cm. Hence, the correct answer is 915 cm. An option such as 900 cm may result from using the common difference or last term incorrectly. Exam tip: always use \(n-1\) in the AP sum formula.
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A. \(3n^2-2n\)
AP के लिए \(S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]\) होता है, इसलिए \(S_n\) शून्य स्थिरांक वाला द्विघात व्यंजक होता है। \(3n^2-2n=n(3n-2)\) इस रूप का है और इसका द्वितीय अंतर \(6\) स्थिर है। \(n^2+n+1\) में स्थिरांक होने से वह सामान्य AP-योग रूप में नहीं है। परीक्षा में \(S_1,S_2,S_3\) से पदों के अंतर जाँचें। / For an AP, \(S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]\), so \(S_n\) is a quadratic expression with zero constant term. \(3n^2-2n=n(3n-2)\) has this form, and its second difference is the constant \(6\). \(n^2+n+1\) has a non-zero constant term, so it does not fit the standard AP-sum form. Exam tip: check differences using \(S_1,S_2,S_3\).
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In an AP, (a=17), (d=2), and \(S_n=580\). Find (n).
C. (20)
(\frac{n}{2}[34+2(n-1)]=580) से (n=20) मिलता है। समीकरण बनने के बाद विकल्पों से भी जाँच कर सकते हैं। / From (\frac{n}{2}[34+2(n-1)]=580), (n=20). After forming the equation, you can also check using options.
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Find the sum of the first (12) terms of the AP \(100,95,90,\ldots\).
A. (870)
अंतिम पद (45) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(100+45)=870)। अंतिम पद मिल जाए तो योग तेजी से निकलेगा। / The last term is (45), so (S_{12}=\frac{12}{2}(100+45)=870). Once the last term is found, the sum is quick.
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If the sum of the first (n) natural numbers is (465), what is (n)?
C. (30)
(\frac{n(n+1)}{2}=465) से (n=30) आता है। प्राकृतिक संख्याओं का योग भी समांतर श्रेढ़ी का विशेष रूप है। / From (\frac{n(n+1)}{2}=465), (n=30). The sum of natural numbers is a special case of AP.
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Find the sum of the AP \(8,13,18,\ldots,83\).
B. (728)
पहले (n) निकालें: (83=8+(n-1)5), इसलिए (n=16) और योग (728) है। अंतिम पद होने पर पहले पदों की संख्या निकालें। / First find (n): (83=8+(n-1)5), so (n=16) and the sum is (728). When the last term is given, find the number of terms first.
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C. (665)
यह \(15,20,25,\ldots\) श्रेढ़ी है और (14) दिनों का योग (665) मिनट है। शब्द-प्रश्न में दिन को पदों की संख्या मानें। / This is the AP \(15,20,25,\ldots\), and the sum for (14) days is (665) minutes. In word problems, treat days as the number of terms.
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If \(S_{25}=1225\) and \(S_{24}=1128\), what is the (25)th term?
C. 97
किसी समान्तर श्रेणी में nवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \(a_n=S_n-S_{n-1}\) प्रयोग किया जाता है। अतः \(a_{25}=S_{25}-S_{24}=1225-1128=97\)। इसलिए सही उत्तर 97 है। 96, \(S_{25}\) और \(S_{24}\) का अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर हमेशा बाद में जुड़ा हुआ पद देता है। / In an AP, the nth term can be found using \(a_n=S_n-S_{n-1}\). Therefore, \(a_{25}=S_{25}-S_{24}=1225-1128=97\). Hence, the correct answer is 97. For example, 96 is incorrect because it is not the difference between \(S_{25}\) and \(S_{24}\). Exam tip: The difference between two consecutive partial sums always gives the newly added term.
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What is the sum of the first (16) terms of the AP \(24,21,18,\ldots\)?
C. (24)
अंतिम पद (-21) है और (S_{16}=\frac{16}{2}(24-21)=24)। धनात्मक और ऋणात्मक पद एक-दूसरे को काफी घटा सकते हैं। / The last term is (-21), and (S_{16}=\frac{16}{2}(24-21)=24). Positive and negative terms can greatly reduce the sum.
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If an AP has \(S_{12}=390\) and (d=5), what is the first term (a)?
B. 5
समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग का सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) है। अतः \(390=\frac{12}{2}[2a+11\times5]=6(2a+55)\)। इसलिए \(2a+55=65\), जिससे \(2a=10\) और \(a=5\) प्राप्त होता है। विकल्प 4 लेने पर योग 378 आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \((n-1)d\) लिखते समय \(n-1\) अवश्य लें, n नहीं। / The sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Thus, \(390=\frac{12}{2}[2a+11\times5]=6(2a+55)\). Hence \(2a+55=65\), so \(2a=10\) and \(a=5\). If 4 were used as the first term, the sum would be 378, so it is not correct. Exam tip: In the sum formula, use \((n-1)d\), not \(nd\).
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What is the sum of all positive multiples of (4) less than (50)?
C. (312)
श्रेढ़ी \(4,8,\ldots,48\) है जिसमें (12) पद हैं और योग (312) है। अंतिम स्वीकार्य गुणज पहचानना जरूरी है। / The AP is \(4,8,\ldots,48\) with (12) terms, and the sum is (312). Identifying the last allowed multiple is important.
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In the AP \(5,9,13,\ldots\), how many first terms have sum (425)?
C. (17)
\(\frac{n}{2}[10+4(n-1)]=425\) से \(n=17\) मिलता है। विकल्पों में मान रखकर भी जाँच कर सकते हैं। / From \(\frac{n}{2}[10+4(n-1)]=425\), \(n=17\). You can also verify by substituting options.
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C. (1950)
यह (6) के पहले (25) गुणजों का योग है, इसलिए कुल दूरी (1950) मीटर है। गुणजों के योग में (a=d) होता है। / This is the sum of the first (25) multiples of (6), so the total distance is (1950) meters. In sums of multiples, (a=d).
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If \(S_n=5n^2-n\), what is the value of \(S_9\)?
A. 396
दिया है कि \(S_n=5n^2-n\)। \(n=9\) रखने पर \(S_9=5(9)^2-9=5\times81-9=405-9=396\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 396 है। 405 केवल \(5\times81\) है; उसमें से 9 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(S_n=5n^2-n\), substitute \(n=9\): \(S_9=5(9)^2-9=5\times81-9=405-9=396\). Hence, 396 is the correct option. 405 is only \(5\times81\); the final subtraction of 9 must also be done. Exam tip: after substituting \(n\), evaluate the power first, then multiply and subtract.
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Find the sum of the AP \(7,12,17,\ldots,82\).
B. (712)
(82=7+(n-1)5) से (n=16), फिर योग (712) है। अंतिम पद से (n) निकालना पहला कदम है। / From (82=7+(n-1)5), (n=16), and then the sum is (712). Finding (n) from the last term is the first step.
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If (a=25), (d=-4), and \(S_n=105\), what is the correct positive value of (n)?
C. (7)
(\frac{n}{2}[50-4(n-1)]=105) से (n=7) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में भी (n) धनात्मक पूर्णांक होता है। / From (\frac{n}{2}[50-4(n-1)]=105), (n=7). Even in a decreasing AP, (n) must be a positive integer.
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Find the sum of the first (32) natural numbers.
B. (528)
\(\frac{32\times33}{2}=528\)। प्राकृतिक संख्याओं के लिए (\frac{n(n+1)}{2}) सबसे तेज सूत्र है। / \(\frac{32\times33}{2}=528\). For natural numbers, (\frac{n(n+1)}{2}) is the fastest formula.
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What is the sum of the first (13) terms of the AP \(9,16,23,\ldots\)?
C. (663)
यहाँ (a=9), (d=7), (n=13), इसलिए \(S_{13}=663\)। विषम (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) से डरें नहीं। / Here (a=9), (d=7), (n=13), so \(S_{13}=663\). Do not worry about \(\frac{n}{2}\) when (n) is odd.
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A. \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)
प्रथम \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) होता है। यहाँ \(l=a+(n-1)d\) रखने पर विकल्प A मिलता है। विकल्प B केवल \(n\)वाँ पद है। परीक्षा टिप: योग और \(n\)वें पद के सूत्र अलग पहचानें। / The sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\). Using \(l=a+(n-1)d\) gives option A. Option B represents only the \(n\)th term. Exam tip: distinguish the formula for a sum from that for an \(n\)th term.
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C. (1121)
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो (d) निकालना जरूरी नहीं है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121). When first and last terms are given, finding (d) is not necessary.
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